0
0

Continued Proportion

Introduction

continued proportion என்பது பல எண்களை ஒன்றுடன் ஒன்று இணைப்பதாகும்; இதில் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான ஜோடியும் ஒரே ratio-ஐ கொண்டிருக்கும். இரண்டு ratios-ஐ மட்டும் ஒப்பிடும் simple proportion-ஐ விட, continued proportion ஒரு சமமான ratios கொண்ட தொடர் சங்கிலியை உருவாக்குகிறது.

இந்த வகை கேள்விகள் சிக்கலானதாக தோன்றலாம்; ஆனால் terms ஒரு geometric progression (GP)ஐ பின்பற்றுகின்றன என்பதை புரிந்துகொண்டால், அவற்றை எளிதாக தீர்க்கலாம்.

Pattern: Continued Proportion

Pattern

Key ideas:

• Continued proportion-இல், ஒவ்வொரு term-மும் முந்தைய term-ஐ ஒரே common ratio r-ஆல் பெருக்கி பெறப்படுகிறது.

• a : b = b : c = c : d = r என்றால் → terms ஒரு GP ஆக இருக்கும்: b = a·r, c = a·r², d = a·r³, மேலும் தொடரும்.

• முதல் term மற்றும் கடைசி term தெரிந்தால், roots பயன்படுத்தி r-ஐ கண்டறியலாம்: r = (last ÷ first)^(1/n), இங்கு n என்பது சமமான ratios எண்ணிக்கை.

Step-by-Step Example

Question

a : b = b : c = c : d மற்றும் a = 2, d = 54 எனில், b மற்றும் c-ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: தொடர்பை எழுதுங்கள்.

    Pattern படி: b = a·r, c = a·r², d = a·r³.

  2. Step 2: a மற்றும் d பயன்படுத்தி r-ஐ கண்டறியுங்கள்.

    d = a·r³ → r³ = d ÷ a = 54 ÷ 2 = 27 → r = ∛27 = 3.

  3. Step 3: b மற்றும் c-ஐ காண்க.

    b = a·r = 2 × 3 = 6
    c = a·r² = 2 × 9 = 18

  4. Step 4: Final Answer.

    காணாமல் போன terms: b = 6, c = 18.

  5. Step 5: Quick Check.

    Ratios: 2 : 6 = 1 : 3, 6 : 18 = 1 : 3, 18 : 54 = 1 : 3 → அனைத்தும் சமம் ✅ ஆகவே, தீர்வு சரியானது.

Quick Variations

நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட terms கொடுக்கப்பட்டால், இதே கருத்தை பயன்படுத்துங்கள்: b² = a × c, c² = b × d போன்றவை.

முதல் term மற்றும் கடைசி term மட்டும் தெரிந்தால், r = (last ÷ first)^(1/n) என்ற formula-வை பயன்படுத்தி common ratio-ஐ கண்டறிந்து, பின்னர் காணாமல் போன terms-ஐ கணக்கிடுங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1: GP அமைப்பை அடையாளம் காணுங்கள்.
  • Step 2: b = a·r, c = a·r² போன்றதாக terms-ஐ எழுதுங்கள்.
  • Step 3: முதல் மற்றும் கடைசி terms-இல் இருந்து roots பயன்படுத்தி r-ஐ கண்டறியுங்கள்.
  • Step 4: காணாமல் போன terms-ஐ கண்டறிந்து ratios-ஐ சரிபார்க்கவும்.

Summary

Summary

continued proportion-இல், terms ஒரு geometric progression-ஐ பின்பற்றுகின்றன. அதன் property:

b = a·r, c = a·r², d = a·r³

  • Step 1: ஒவ்வொரு term-யையும் common ratio r கொண்டு எழுதுங்கள்.
  • Step 2: முதல் மற்றும் கடைசி terms-இல் இருந்து roots பயன்படுத்தி r-ஐ கண்டறியுங்கள்.
  • Step 3: நடுக்கட்ட values-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
  • Step 4: தொடர்ச்சியான அனைத்து ratios-உம் சமமாக உள்ளதா என சரிபார்க்கவும்.

இதை புரிந்துகொண்டால், நீளமான proportion சங்கிலிகளையும் எளிதாக தீர்க்கலாம்.

Practice

(1/5)
1. If a : b = b : c and a = 2, b = 6, find c.
easy
A. 18
B. 12
C. 24
D. 20

Solution

  1. Step 1: Use the three-term continued-proportion identity

    For three terms in continued proportion a, b, c we have b² = a × c.

  2. Step 2: Substitute the given values

    Substitute: 6² = 2 × c → 36 = 2c.

  3. Step 3: Solve for c

    c = 36 ÷ 2 = 18.

  4. Final Answer:

    18 → Option A

  5. Quick Check:

    a : b = 2 : 6 = 1 : 3 and b : c = 6 : 18 = 1 : 3 → continued proportion holds ✅
Hint: Use b² = a × c for three-term continued proportion.
Common Mistakes: Forgetting to square b or mixing up the positions of a, b, c.
2. If 3, x, 48 are in continued proportion, find x.
easy
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20

Solution

  1. Step 1: Apply the mean-proportional rule

    For three terms in continued proportion a, x, c we have x² = a × c.

  2. Step 2: Substitute and compute

    x² = 3 × 48 = 144.

  3. Step 3: Take the square root

    x = √144 = 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option B

  5. Quick Check:

    3 : 12 = 1 : 4 and 12 : 48 = 1 : 4 → continued proportion holds ✅
Hint: Mean proportional = √(first × third).
Common Mistakes: Taking arithmetic mean or neglecting to square/root correctly.
3. If 2, x, 50 are in continued proportion, what is x?
easy
A. 8
B. 9
C. 12
D. 10

Solution

  1. Step 1: Use the three-term continued-proportion identity

    For three terms a, x, c in continued proportion we have x² = a × c.

  2. Step 2: Substitute numbers

    x² = 2 × 50 = 100.

  3. Step 3: Take square root

    x = √100 = 10.

  4. Final Answer:

    10 → Option D

  5. Quick Check:

    2 : 10 = 1 : 5 and 10 : 50 = 1 : 5 → continued proportion holds ✅
Hint: Square root links first and third terms for three-term continued proportion.
Common Mistakes: Using wrong root or miscomputing the product a×c.
4. In a continued proportion of four terms a, b, c, d with a = 5 and d = 135, find c.
medium
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60

Solution

  1. Step 1: Express terms using common ratio r

    For four terms in continued proportion let common ratio = r. Then b = a·r, c = a·r², d = a·r³.

  2. Step 2: Find r from first and last terms

    From d = a·r³ → r³ = d ÷ a = 135 ÷ 5 = 27 → r = ∛27 = 3.

  3. Step 3: Compute c using r

    c = a·r² = 5 × 3² = 5 × 9 = 45.

  4. Final Answer:

    45 → Option C

  5. Quick Check:

    Sequence: 5, 15, 45, 135 → each ratio = 3 → continued proportion holds ✅
Hint: Find r from r³ = d/a, then c = a·r² for 4-term sequences.
Common Mistakes: Applying square-root instead of cube-root for 4-term sequences.
5. If the first term is 4 and the last term is 64 with 4 equal ratios between them, find the common ratio r.
medium
A. 2
B. 3
C. √2
D. 4

Solution

  1. Step 1: Use n-th root formula for equal ratios

    If there are 4 equal ratios between first and last, r = (last ÷ first)^(1/4).

  2. Step 2: Substitute and compute

    r = (64 ÷ 4)^(1/4) = 16^(1/4).

  3. Step 3: Simplify

    16^(1/4) = 2 → r = 2.

  4. Final Answer:

    2 → Option A

  5. Quick Check:

    Sequence: 4, 8, 16, 32, 64 → each step multiply by 2 → r = 2 ✅
Hint: Use the n-th root: r = (last/first)^(1/n) where n is number of equal ratios.
Common Mistakes: Using wrong n (count of steps) when taking the root.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes