0
0

Straight Line / Coinciding Hands

Introduction

Straight-line clock கேள்விகள் என்பது, மணி ஊசி (hour hand) மற்றும் நிமிட ஊசி (minute hand) சரியாக ஒரே இடத்தில் (coinciding) அல்லது சரியாக எதிரெதிராக (180° apart) இருக்கும் நேரத்தை கண்டறிவதைக் குறிக்கும்.
இவை clock problems-இல் அடிப்படை patterns ஆகும். இதை நன்றாக தெரிந்திருந்தால் overlaps, opposites, frequency போன்ற பல angle-based கேள்விகளை எளிதாக தீர்க்க முடியும்.

Pattern: Straight Line / Coinciding Hands

Pattern

Key formulas - மணி ஊசி மற்றும் நிமிட ஊசியின் position-களை அடிப்படையாகக் கொண்டு பெறப்பட்டவை (hour = 30H + 0.5m; minute = 6m):

  • Hands coincide (0°): 30H - (11/2)m = 0 என்பதை தீர்க்கவும் → m = (60/11)·H
  • Hands opposite (180°): |30H - (11/2)m| = 180 என்பதை தீர்க்கவும் → m = (60/11)·(H ± 6)

கொடுக்கப்பட்ட hour-க்கு பொருத்தமானது, 0 ≤ m < 60 என்ற நிமிட மதிப்புகள் மட்டுமே. m negative ஆகவோ அல்லது 60-க்கு சமம் / அதிகமாகவோ இருந்தால், அந்த நிகழ்வு அடுத்த அல்லது முந்தைய hour-ல் நடைபெறும்.

Step-by-Step Example

Question

5 மணி முதல் 6 மணி வரை, கடிகார ஊசிகள் எப்போது ஒன்றாக (coincide) இருக்கும்? அதே நேர இடைவெளியில், அவை எப்போது எதிரெதிராக (opposite) இருக்கும்?

Solution

  1. Step 1: Coincidence formula பயன்படுத்தவும்

    Coinciding hands-க்கு: m = (60/11)·H. இங்கு H = 5.

  2. Step 2: Coincidence-க்கான m கணக்கிடவும்

    m = (60/11) × 5 = 300/11 = 27 3/11 நிமிடங்கள்.
    ஆகவே ஊசிகள் ஒன்றாக இருக்கும் நேரம்: 5:27 3/11.

  3. Step 3: Opposite-hand formula பயன்படுத்தவும்

    Opposite-க்கு: m = (60/11)·(H ± 6). இங்கு H = 5.

  4. Step 4: Opposite positions-க்கான m கணக்கிடவும்

    m₁ = (60/11)·(5 + 6) = (60/11)·11 = 60 → இது 6:00 (interval-ன் edge).
    m₂ = (60/11)·(5 - 6) = (60/11)·(-1) = -60/11 = -5 5/11 (முந்தைய hour-ல் வருகிறது).
    எனவே 5-6 இடைவெளிக்குள், ஊசிகள் சரியாக opposite ஆக இருக்கும் நேரம் இல்லை.

  5. Final Answer:

    Coincide → 5:27 3/11.
    Opposite → 6:00 (edge) - 5-6 இடைவெளிக்குள் இல்லை.

  6. Quick Check:

    5:27 3/11-ல், hour position = 30×5 + 0.5×(300/11) = 150 + 150/11 = 163 7/11°.
    minute position = 6×(300/11) = 1800/11 = 163 7/11° → இரண்டும் சமம் → coincide ✅

Quick Variations

1. அடுத்த coincidence-ஐ கண்டறிய, H-ஐ 1 அதிகரித்து m = (60/11)·(H+1) பயன்படுத்தவும் - coincidences சுமார் ஒவ்வொரு 65 5/11 நிமிடங்களுக்கும் ஒருமுறை நிகழும்.

2. Opposite-ல், (H + 6) வைத்து m = 60 வந்தால், அந்த opposite நேரம் சரியாக அடுத்த hour-ல் இருக்கும்.

3. m negative அல்லது ≥ 60 வந்தால், அந்த நிகழ்வு adjacent hour-க்கு சொந்தமானது.

Trick to Always Use

  • Step 1 → Coincide-க்கு m = (60/11)·H, Opposite-க்கு m = (60/11)·(H ± 6) பயன்படுத்தவும்.
  • Step 2 → உடனே 0 ≤ m < 60 என்பதை சரிபார்க்கவும். இல்லையெனில் adjacent hour-க்கு மாற்றவும்.
  • Step 3 → hour-position = 30H + 0.5m, minute-position = 6m என கணக்கிட்டு verify செய்யவும்.

Summary

Summary

  • Coinciding hands-க்கு m = (60/11)·H பயன்படுத்தவும்.
  • Opposite hands-க்கு m = (60/11)·(H ± 6) பயன்படுத்தவும்.
  • 0 முதல் 60 வரை உள்ள m மதிப்புகள் மட்டுமே valid; negative அல்லது ≥60 என்றால் adjacent hour-ல் இருக்கும்.
  • 12 மணி நேரத்தில், ஊசிகள் 11 முறை coincide ஆகவும், 11 முறை opposite ஆகவும் இருக்கும்.

Example to remember:
5:27 3/11-ல் coincide; 6:00-ல் opposite (interval edge).

Practice

(1/5)
1. When do the hour and minute hands coincide between 3 and 4 o’clock?
easy
A. 3:16 4/11
B. 3:21 9/11
C. 3:27 3/11
D. 3:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use the coincidence formula

    For coincidence use m = (60/11)·H, where H is the hour.

  2. Step 2: Substitute H = 3

    m = (60/11) × 3 = 180/11 = 16 4/11 minutes.

  3. Step 3: Write the time

    So the hands coincide at 3:16 4/11.

  4. Final Answer:

    3:16 4/11 → Option A

  5. Quick Check:

    Hour pos = 30×3 + 0.5×(16 4/11) ≈ 90 + 8.182 = 98.182°; minute = 6×16.364 ≈ 98.182° → coincide ✅
Hint: Use m = (60/11)·H to find coincidence quickly.
Common Mistakes: Forgetting to convert the fractional minutes (elevenths) correctly.
2. When are the hands opposite (180° apart) between 1 and 2 o’clock?
easy
A. 1:21 9/11
B. 1:38 2/11
C. 1:27 3/11
D. 1:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use opposite-hand formula

    For opposite positions use m = (60/11)·(H ± 6).

  2. Step 2: Substitute H = 1

    m₁ = (60/11)(1 + 6) = 420/11 = 38 2/11 minutes; m₂ = (60/11)(1 - 6) = (60/11)(-5) (negative, discard for 1-2).

  3. Step 3: Choose valid time

    Valid opposite time in 1-2 is 1:38 2/11.

  4. Final Answer:

    1:38 2/11 → Option B

  5. Quick Check:

    Hour pos ≈ 30 + 0.5×38.182 = 30 + 19.091 = 49.091°; minute ≈ 229.091°; difference = 180° ✅
Hint: Compute (H + 6) first for opposites; check the (H - 6) root for previous hour.
Common Mistakes: Accepting negative m as valid inside the same hour.
3. At what time after 12:00 will the hands next coincide?
easy
A. 12:05 5/11
B. 12:10 10/11
C. 1:05 5/11
D. 12:16 4/11

Solution

  1. Step 1: Use coincidence formula

    m = (60/11)·H gives coincidence times for hour H.

  2. Step 2: Find next hour's coincidence

    For H = 1, m = (60/11) × 1 = 60/11 = 5 5/11 minutes → time = 1:05 5/11.

  3. Step 3: Interpret

    After 12:00 the next coincidence happens when H = 1 at 1:05 5/11.

  4. Final Answer:

    1:05 5/11 → Option C

  5. Quick Check:

    Hour pos ≈ 30 + 0.5×5.455 = 30 + 2.727 = 32.727°; minute = 6×5.455 = 32.727° → coincide ✅
Hint: The first coincidence after 12:00 is at 1:05 5/11 (use H=1).
Common Mistakes: Looking for a coincidence inside the 12th hour instead of the next hour.
4. How many times do the hands coincide in a 12-hour period?
medium
A. 11
B. 12
C. 10
D. 13

Solution

  1. Step 1: Understand spacing of coincidences

    Hands coincide roughly every 65 5/11 minutes, not exactly once each hour.

  2. Step 2: Count within 12 hours

    Because coincidences repeat every ≈65.454 minutes, they occur 11 times in 12 hours (the 12th-hour overlap falls at the next cycle boundary).

  3. Step 3: Conclude

    Total coincidences in 12 hours = 11.

  4. Final Answer:

    11 → Option A

  5. Quick Check:

    Check early sequence: 12:00, ~1:05 5/11, ~2:10 10/11 … after 11 occurrences the next is just past 12 hours ✅
Hint: Remember: coincidences occur 11 times per 12 hours (not 12).
Common Mistakes: Assuming one coincidence per hour (gives 12 incorrectly).
5. Between 7 and 8 o’clock, when are the hands exactly opposite (180° apart)?
medium
A. 7:21 9/11
B. 7:27 3/11
C. 7:38 2/11
D. 7:05 5/11

Solution

  1. Step 1: Use opposite-hand formula

    m = (60/11)·(H ± 6).

  2. Step 2: Substitute H = 7

    m₁ = (60/11)(7 - 6) = (60/11)×1 = 5 5/11 minutes. m₂ = (60/11)(7 + 6) = (60/11)×13 = 780/11 = 70 10/11 (invalid for 7-8).

  3. Step 3: Choose valid time

    The valid opposite time in 7-8 is 7:05 5/11.

  4. Final Answer:

    7:05 5/11 → Option D

  5. Quick Check:

    Hour pos ≈ 210 + 0.5×5.455 = 210 + 2.727 = 212.727°; minute ≈ 32.727°; difference = 180° ✅
Hint: For opposites, try (H - 6) first; it often gives the earlier valid time in the hour.
Common Mistakes: Accepting >60-minute root as valid for the same hour.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes