0
0

Minute and Hour Hand Swap

Introduction

Swap பிரச்சினைகள், ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்துடன் ஒப்பிடும்போது மணி ஊசி மற்றும் நிமிட ஊசி தங்களின் இடங்களை மாற்றிக் கொண்டிருக்கும் நேரத்தை கண்டறியச் சொல்கின்றன. இதற்கு, இரண்டு நேரங்களில் இரு ஊசிகளின் சரியான கோண நிலைகளை எழுதிக் கொண்டு, swap நிபந்தனைகளை ஒரே நேரத்தில் தீர்க்க வேண்டும். இந்த pattern advanced clock reasoning-க்கு முக்கியமானது, ஏனெனில் இது angle formulas, linear equations மற்றும் normalization ஆகியவற்றை ஒன்றாக இணைக்கிறது.

Pattern: Minute and Hour Hand Swap

Pattern

Key concept: மணி ஊசி மற்றும் நிமிட ஊசியின் நிலைகளை degrees-ல் (அல்லது 60-க்கு உள்ள minute-scale-ல்) காட்டி, swap conditions-ஐ எழுதிக் கொண்டு, இரண்டு linear equations-ஐ தீர்க்கவும்.

பயன்படும் formulas (degrees-ல்):
H மணி m நிமிடங்களில் hour hand: Anglehour = 30H + 0.5m.
m நிமிடங்களில் minute hand: Anglemin = 6m.
T₁ மற்றும் T₂ நேரங்களுக்கு இடையே swap condition (hour/min positions மாற்றம்):
Angle_hour(T₂) = Angle_min(T₁) மற்றும் Angle_min(T₂) = Angle_hour(T₁).

Step-by-Step Example

Question

3 மற்றும் 4 மணிக்கிடையில், மணி ஊசி மற்றும் நிமிட ஊசி, 4 மற்றும் 5 மணிக்கிடையில் இருக்கும் தங்களின் நிலைகளுடன் இடம் மாறும் நேரம் எது? (அதாவது 3-4 மற்றும் 4-5 hour slots-க்கிடையிலான swap)

Solution

  1. Step 1: unknowns-ஐ வரையறுத்து angles-ஐ எழுதுங்கள்

    T₁ = 3 + x minutes (3 மணி கடந்த x நிமிடங்கள்). T₂ = 4 + y minutes (4 மணி கடந்த y நிமிடங்கள்).
    T₁-ல் hour angle = 30×3 + 0.5x = 90 + 0.5x.
    T₁-ல் minute angle = 6x.
    T₂-ல் hour angle = 30×4 + 0.5y = 120 + 0.5y.
    T₂-ல் minute angle = 6y.

  2. Step 2: swap equations-ஐ எழுதுங்கள்

    Swap என்றால், T₂-ல் hour angle = T₁-ல் minute angle, மற்றும் T₂-ல் minute angle = T₁-ல் hour angle. ஆகவே:
    (1) 120 + 0.5y = 6x
    (2) 6y = 90 + 0.5x

  3. Step 3: linear system-ஐ தீர்க்கவும்

    (2) இலிருந்து: y = 15 + x/12. இதை (1)-ல் substitute செய்யுங்கள்:
    120 + 0.5(15 + x/12) = 6x
    120 + 7.5 + x/24 = 6x
    127.5 = 6x - x/24 = x(144/24 - 1/24) = x(143/24)
    x = 127.5 × 24 / 143 = 3060 / 143 = 21 57/143 minutes (≈ 21.3993 min).

  4. Step 4: swap ஆன நேரங்கள் T₁ மற்றும் T₂-ஐ கணக்கிடுங்கள்

    T₁ = 3 : x = 3:21 57/143 (exact).
    முழுமைக்காக, y = 15 + x/12 = 15 + (3060/143)/12 = 15 + 255/143 = (2145 + 255)/143 = 2400/143 = 16 112/143 minutes (≈ 16.7832 min), ஆகவே T₂ = 4:16 112/143.

  5. Final Answer:

    3:21 57/143

  6. Quick Check:

    Angles-ஐ எண்ணிக்கையாக (approx) கணக்கிடுங்கள்: 3:21.399-ல் → hour ≈ 90 + 0.5×21.399 = 100.6995°; minute ≈ 6×21.399 = 128.394°. 4:16.783-ல் → hour ≈ 120 + 0.5×16.783 = 128.3915°; minute ≈ 6×16.783 = 100.698°. T₂-ல் hour angle ≈ T₁-ல் minute angle மற்றும் T₂-ல் minute angle ≈ T₁-ல் hour angle (rounding-க்கு உட்பட்டு) ✅

Quick Variations

1. எந்த adjacent hours H மற்றும் H+1-க்கும் swap அமைக்கலாம் - அதே two-equation முறையைப் பயன்படுத்துங்கள்.

2. சில கேள்விகளில் அதே hour-க்குள் swap கேட்கப்படும் (கவனமாக解釈 செய்யவும் - அது பெரும்பாலும் coincidence-ஆக குறையும்).

3. Quick estimates-க்கு, swaps பெரும்பாலும் hour கடந்த 21-22 நிமிடங்களுக்கு அருகே நிகழும் (H-க்கு ஏற்ப மாறும்).

Trick to Always Use

  • Step 1 → T₁ = H + x மற்றும் T₂ = (H+1) + y (adjacent hours) என எடுத்துக் கொண்டு, இரு நேரங்களுக்கும் angles-ஐ எழுதுங்கள்.
  • Step 2 → Swap equations பயன்படுத்துங்கள்: Angle_hour(T₂)=Angle_min(T₁) மற்றும் Angle_min(T₂)=Angle_hour(T₁).
  • Step 3 → 2×2 linear system-ஐ தீர்த்து, fractional minutes-ஐ normalize செய்து, எண்ணிக்கையாக verify செய்யுங்கள்.

Summary

Summary

  • Key takeaway 1: Hour மற்றும் minute angles-ஐ துல்லியமாக model செய்யுங்கள்: Hour = 30H + 0.5m, Minute = 6m.
  • Key takeaway 2: Swap conditions இரண்டு linear equations-ஐ தரும் - minutes past each hour-ஐ ஒரே நேரத்தில் தீர்க்கவும்.
  • Key takeaway 3: H மற்றும் H+1-க்கிடையிலான swap பொதுவாக H கடந்த 21-22 நிமிடங்களுக்கு அருகே கிடைக்கும் (மேலே exact fractional form கொடுக்கப்பட்டுள்ளது).
  • Key takeaway 4: Swap சரியானதா என்பதை உறுதிப்படுத்த எப்போதும் numerical quick check செய்யுங்கள்.

நினைவில் வைக்க வேண்டிய உதாரணம்:
3 மற்றும் 4 மணிக்கிடையில் swap நேரம் = 3:21 57/143 (≈ 3:21.399).

Practice

(1/5)
1. At what time between 1 and 2 o’clock will the hour and minute hands interchange their positions with those they will have between 2 and 3 o’clock?
easy
A. 1:10 70/143
B. 1:21 50/143
C. 1:15 135/143
D. 1:19 6/11

Solution

  1. Step 1: Define the variables

    Let the time in 1-2 be 1 + x minutes and the swapped time in 2-3 be 2 + y minutes. Then:
    Hour(1+x) = 30 + 0.5x; Minute(1+x) = 6x; Hour(2+y) = 60 + 0.5y; Minute(2+y) = 6y.

  2. Step 2: Write the swap equations

    60 + 0.5y = 6x and 6y = 30 + 0.5x. From the second equation: y = 5 + x/12.

  3. Step 3: Substitute and solve for x

    60 + 0.5(5 + x/12) = 6x → 62.5 + x/24 = 6x → 62.5 = x(143/24) → x = 1500/143 = 10 70/143 minutes.

  4. Final Answer:

    1:10 70/143 → Option A

  5. Quick Check:

    x ≈ 10.49 min → angles swap accurately (hour and minute positions interchange) ✅
Hint: Set hour(T₂)=minute(T₁) and minute(T₂)=hour(T₁), then use y = 5 + x/12.
Common Mistakes: Using right-angle formulas instead of swap equations.
2. At what time between 2 and 3 o’clock will the hands interchange positions with those they will have between 3 and 4 o’clock?
easy
A. 2:15 135/143
B. 2:21 57/143
C. 2:10 70/143
D. 2:26 122/143

Solution

  1. Step 1: Define the variables

    Let the first time be 2 + x and the swapped time 3 + y. Then:
    Hour(2+x) = 60 + 0.5x; Minute(2+x) = 6x; Hour(3+y) = 90 + 0.5y; Minute(3+y) = 6y.

  2. Step 2: Write the swap equations

    90 + 0.5y = 6x and 6y = 60 + 0.5x. From the second: y = 10 + x/12.

  3. Step 3: Substitute and solve for x

    90 + 0.5(10 + x/12) = 6x → 95 + x/24 = 6x → 95 = x(143/24) → x = 2280/143 = 15 135/143 minutes.

  4. Final Answer:

    2:15 135/143 → Option A

  5. Quick Check:

    x ≈ 15.93 min → both angles align in swap condition ✅
Hint: Use y = 10 + x/12 and solve; memorize x = (780H + 720)/143 formula.
Common Mistakes: Neglecting to convert mixed fractions properly.
3. At what time between 4 and 5 o’clock will the hour and minute hands interchange positions with those they will have between 5 and 6 o’clock?
easy
A. 4:21 20/143
B. 4:26 122/143
C. 4:20 58/143
D. 4:32 44/143

Solution

  1. Step 1: Define the variables

    Let first time = 4 + x and swapped time = 5 + y. Then:
    Hour(4+x)=120+0.5x; Minute(4+x)=6x; Hour(5+y)=150+0.5y; Minute(5+y)=6y.

  2. Step 2: Write the swap equations

    150 + 0.5y = 6x and 6y = 120 + 0.5x. From the second: y = 20 + x/12.

  3. Step 3: Substitute and solve for x

    150 + 0.5(20 + x/12) = 6x → 160 + x/24 = 6x → 160 = x(143/24) → x = 3840/143 = 26 122/143 minutes.

  4. Final Answer:

    4:26 122/143 → Option B

  5. Quick Check:

    x ≈ 26.85 → computed angles confirm swap condition ✅
Hint: Apply x = (780H + 720)/143; here H=4 → x = 3840/143.
Common Mistakes: Swapping H and H+1 incorrectly in equations.
4. At what time between 5 and 6 o’clock will the hands interchange positions with those they will have between 6 and 7 o’clock?
medium
A. 5:20 58/143
B. 5:21 57/143
C. 5:32 44/143
D. 5:27 3/11

Solution

  1. Step 1: Define the variables

    Let time between 5-6 be 5 + x and swapped time between 6-7 be 6 + y. Then:
    Hour(5+x) = 150 + 0.5x; Minute(5+x) = 6x; Hour(6+y) = 180 + 0.5y; Minute(6+y) = 6y.

  2. Step 2: Write the swap equations

    180 + 0.5y = 6x and 6y = 150 + 0.5x. From the second: y = 25 + x/12.

  3. Step 3: Substitute and solve for x

    180 + 0.5(25 + x/12) = 6x → 192.5 + x/24 = 6x → 192.5 = x(143/24) → x = 4620/143 = 32 44/143 minutes.

  4. Final Answer:

    5:32 44/143 → Option C

  5. Quick Check:

    x ≈ 32.31 min → angles at hour(5+x) and minute(6+y) match perfectly ✅
Hint: Use y = 25 + x/12; solve systematically to avoid confusion.
Common Mistakes: Swapping x, y definitions or ignoring fractional conversion.
5. At what time between 6 and 7 o’clock will the hour and minute hands interchange their positions with those between 7 and 8 o’clock?
medium
A. 6:32 44/143
B. 6:37 109/143
C. 6:26 122/143
D. 6:21 57/143

Solution

  1. Step 1: Define the variables

    Let time between 6-7 be 6 + x and swapped time between 7-8 be 7 + y. Then:
    Hour(6+x)=180+0.5x; Minute(6+x)=6x; Hour(7+y)=210+0.5y; Minute(7+y)=6y.

  2. Step 2: Write the swap equations

    210 + 0.5y = 6x and 6y = 180 + 0.5x. From the second: y = 30 + x/12.

  3. Step 3: Substitute and solve for x

    210 + 0.5(30 + x/12) = 6x → 225 + x/24 = 6x → 225 = x(143/24) → x = 5400/143 = 37 109/143 minutes.

  4. Final Answer:

    6:37 109/143 → Option B

  5. Quick Check:

    x ≈ 37.76 min → hour(6+x) and minute(7+y) coincide in swapped positions ✅
Hint: Apply x = (780H + 720)/143 for quick calculation.
Common Mistakes: Rounding fractional minutes prematurely or using wrong substitution.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes