0
0

Right Angle Between Hands

Introduction

இந்த வகை கேள்விகள் பொதுவாக இவ்வாறு கேட்கப்படும்: “ஒரு clock-ல் hour hand மற்றும் minute hand துல்லியமாக right angle (90°) ஆக எப்போது இருக்கும்?” இதை கற்றுக்கொள்வது 90° மட்டுமல்ல, 45°, 135°, 180° போன்ற angles-ஐயும் அதே logic பயன்படுத்தி கையாள உதவும்.

Pattern: Right Angle Between Hands

Pattern

Key idea: hands 90° இடைவெளியில் இருக்கும் நேரத்தை கீழ்கண்ட formula மூலம் கண்டறியலாம்:
|(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)| = 90

இந்த equation இரண்டு possible answers தரும்; காரணம் hands இரண்டு விதமாக right angle உருவாக்க முடியும் (overlap-க்கு முன் மற்றும் overlap-க்கு பின்):

  • minute hand, hour hand-ஐ விட முன்னால் இருந்தால்: m = (60/11)(H + 3)
  • minute hand, hour hand-க்கு பின்னால் இருந்தால்: m = (60/11)(H - 3)

m மதிப்பு 0 மற்றும் 60 இடையில் இருந்தால் மட்டுமே அது valid (அந்த hour-க்கு கடந்த minutes).

Step-by-Step Example

Question

2 மணி முதல் 3 மணி வரை, clock-ன் hands எப்போது right angle-ல் இருக்கும்?

Solution

  1. Step 1: Formula எழுதவும்

    |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)| = 90

  2. Step 2: H = 2 என substitute செய்யவும்

    |(30 × 2) - (11/2 × m)| = 90 → |60 - 5.5m| = 90

  3. Step 3: Absolute value-ஐ நீக்கவும்

    இரண்டு equations கிடைக்கும்:
    (a) 60 - 5.5m = 90 மற்றும் (b) 60 - 5.5m = -90

  4. Step 4: இரண்டையும் solve செய்யவும்

    (a) இலிருந்து: 5.5m = -30 → m = -5.45 (இது சாத்தியமில்லை; minutes negative ஆக முடியாது).
    (b) இலிருந்து: 5.5m = 150 → m = 27.27 minutes = 27 3/11 minutes.

  5. Step 5: Result-ஐ பொருள் படுத்தவும்

    2-3 interval-க்கு positive value மட்டும் பொருந்தும். ஆகவே right angle ஏற்படும் நேரம் 2:27 3/11.

  6. Step 6: அடுத்த interval-ஐ சரிபார்க்கவும்

    அடுத்த right angle, அடுத்த hour (3-4) இல் 3:32 8/11 இல் ஏற்படும்.

  7. Final Answer:

    2 மற்றும் 3 இடையில் → 2:27 3/11
    3 மற்றும் 4 இடையில் → 3:00 மற்றும் 3:32 8/11

  8. Quick Check:

    2:27 3/11 substitute செய்தால் → (30×2) - (11/2×27.27) = 60 - 150 = -90 → |-90| = 90° ✅

Quick Variations

1. எந்த hour-க்கும், formula-வில் H-ஐ மாற்றி இதே முறையை பயன்படுத்தலாம்.

2. negative minute வந்தால், right angle முந்தைய hour-ல் ஏற்பட்டுள்ளது என்று அர்த்தம்.

3. 45° அல்லது 135° போன்ற angles-க்கு, இதே formula-வில் 90-க்கு பதிலாக அந்த மதிப்பை இடுங்கள்.

Trick to Always Use

  • எளிய formula-ஐ பயன்படுத்துங்கள்: |30H - 11M/2| = 90.
  • எப்போதும் இரண்டு times-ஐ சரிபார்க்கவும் - overlap-க்கு முன் ஒன்று, பின் ஒன்று.
  • negative அல்லது 60-ஐ கடந்த minute values-ஐ புறக்கணிக்கவும்; அவை அருகிலுள்ள hours-க்கு சேர்ந்தவை.

Summary

Summary

  • |30H - 11M/2| = 90 என்றால் right angle உருவாகும்.
  • பொதுவாக ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு such times இருக்கும் (2-4 மற்றும் 8-10 அருகில் தவிர).
  • valid minute values 0 மற்றும் 60 இடையே இருக்க வேண்டும்.
  • negative அல்லது >60 வந்தால், angle அந்த hour-க்கு வெளியே ஏற்பட்டுள்ளது என்று பொருள்.

நினைவில் வைக்க வேண்டிய உதாரணம்:
2 மற்றும் 3 இடையில் → 2:27 3/11
3 மற்றும் 4 இடையில் → 3:00 மற்றும் 3:32 8/11

Practice

(1/5)
1. At what time between 1 and 2 o’clock will the hands of a clock be at a right angle for the first time?
easy
A. 1:21 9/11
B. 1:27 3/11
C. 1:32 8/11
D. 1:15 5/11

Solution

  1. Step 1: Write the right-angle condition

    |(30 × H) - (11/2 × m)| = 90.

  2. Step 2: Substitute H = 1

    |30 - 5.5m| = 90.

  3. Step 3: Remove the absolute value and solve

    Case (a): 30 - 5.5m = 90 → 5.5m = -60 → m = -60/5.5 (invalid).
    Case (b): 30 - 5.5m = -90 → 5.5m = 120 → m = 120/5.5 = 21 9/11 minutes.

  4. Step 4: Interpret

    m = 21 9/11 is within 0-60, so the first right angle is at 1:21 9/11.

  5. Final Answer:

    1:21 9/11 → Option A

  6. Quick Check:

    Hour position = 30×1 + 0.5×(21 9/11) ≈ 30 + 10.545 = 40.545°; minute = 6×21.818 ≈ 130.909°; difference ≈ 90° ✅
Hint: Use |30H - 11M/2| = 90 and discard negative minute roots for that hour.
Common Mistakes: Accepting negative minute values as valid for the same hour.
2. At what time between 4 and 5 o’clock will the hands of a clock be at right angles for the first time?
easy
A. 4:05 5/11
B. 4:16 4/11
C. 4:27 3/11
D. 4:38 2/11

Solution

  1. Step 1: Use the general formulas

    m = (60/11)(H ± 3).

  2. Step 2: Compute for H = 4

    m₁ = (60/11)(4 - 3) = 60/11 = 5 5/11 minutes.
    m₂ = (60/11)(4 + 3) = 420/11 = 38 2/11 minutes.

  3. Step 3: Choose the first occurrence after 4:00

    The earlier valid time is 4:05 5/11 (m₁).

  4. Final Answer:

    4:05 5/11 → Option A

  5. Quick Check:

    Hour position = 30×4 + 0.5×5.454 ≈ 120 + 2.727 = 122.727°; minute = 6×5.454 ≈ 32.727°; difference ≈ 90° ✅
Hint: Compute (60/11)(H - 3) for the earlier right angle in the hour.
Common Mistakes: Mixing up which of the ± roots is earlier in the hour.
3. At what time after 5:00 (between 5 and 6) will the hands of a clock be at a right angle for the first time?
easy
A. 5:10 10/11
B. 5:21 9/11
C. 5:16 4/11
D. 5:32 8/11

Solution

  1. Step 1: Use m = (60/11)(H - 3) or (60/11)(H + 3)

  2. Step 2: Substitute H = 5

    m₁ = (60/11)(5 - 3) = (60/11)×2 = 120/11 = 10 10/11 minutes.
    m₂ = (60/11)(5 + 3) = (60/11)×8 = 480/11 = 43 7/11 minutes.

  3. Step 3: The first right angle after 5:00

    is at 5:10 10/11 (m₁).

  4. Final Answer:

    5:10 10/11 → Option A

  5. Quick Check:

    Hour = 30×5 + 0.5×10.909 ≈ 150 + 5.455 = 155.455°; minute ≈ 65.455°; difference ≈ 90° ✅
Hint: For the earlier time use (60/11)(H - 3) when it stays positive.
Common Mistakes: Rounding fractions too early and losing precision.
4. How many times do the hands of a clock make a right angle between 12 noon and 6 p.m.?
medium
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

Solution

  1. Step 1: Understand the hourly pattern

    Typically, hands form a right angle twice in an hour (one when minute hand is ahead, one when behind), giving 2 per hour.

  2. Step 2: Count hours from 12 to 6

    There are 6 hours (12→1, 1→2, …, 5→6). If each hour gives 2 right angles, total = 6 × 2 = 12.

  3. Step 3: Check exceptions

    Special-hour exceptions (where a root falls outside the hour) do not remove a count within 12-6 range, so total remains 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option C

  5. Quick Check:

    2 right angles × 6 hours = 12 ✅
Hint: Multiply the number of hours by 2 (for standard intervals).
Common Mistakes: Forgetting that some hours may shift a root into adjacent hour-verify when needed.
5. At what time between 8 and 9 o’clock will the hands of a clock be at a right angle?
medium
A. 8:05 5/11
B. 8:16 4/11
C. 8:27 3/11
D. 8:49 1/11

Solution

  1. Step 1: Set H = 8 in m = (60/11)(H ± 3)

  2. Step 2: Compute both roots

    m₁ = (60/11)(8 - 3) = (60/11)×5 = 300/11 = 27 3/11 minutes.
    m₂ = (60/11)(8 + 3) = (60/11)×11 = 60 → corresponds to 9:00 (not inside 8-9).

  3. Step 3: Choose the valid time in 8-9

    The valid right angle in 8-9 is 8:27 3/11.

  4. Final Answer:

    8:27 3/11 → Option C

  5. Quick Check:

    Hour ≈ 30×8 + 0.5×27.273 = 240 + 13.636 = 253.636°; minute = 6×27.273 = 163.636°; difference = 90° ✅
Hint: If (60/11)(H + 3) = 60, it means the other right angle is exactly at the next hour (e.g., 9:00).
Common Mistakes: Assuming both ± roots always lie within the same hour.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes