Raised Fist0

Hands Forming Same Angle Multiple Times

Start learning this pattern below

Jump into concepts and practice - no test required

or
Recommended
Test this pattern10 questions across easy, medium, and hard to know if this pattern is strong

Introduction

பல கடிகாரக் கேள்விகளில், ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் (12 hours அல்லது 24 hours) மணி ஊசி மற்றும் நிமிட ஊசி ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை (எ.கா., 0°, 90°, அல்லது 45°) எத்தனை முறை உருவாக்குகின்றன என்று கேட்கப்படும். ஊசிகளுக்கிடையிலான relative motion-ஐ புரிந்து கொண்டு, angle equation-ஐ தீர்ப்பது occurrences-ஐ எண்ணவும், சரியான நேரங்களை கண்டறியவும் உதவுகிறது.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது algebraic roots-ஐ modular/time normalization-உடன் இணைக்கிறது மற்றும் exceptions-ஐ தெளிவுபடுத்துகிறது (ஒரு root அந்த hour-க்கு வெளியே விழும் போது).

Pattern: Hands Forming Same Angle Multiple Times

Pattern: Hands Forming Same Angle Multiple Times

Key concept: relative-angle equation மற்றும் root normalization-ஐ பயன்படுத்தி நேரங்களை கண்டறிந்து, பின்னர் time-window முழுவதிலும் valid roots-ஐ எண்ணுங்கள்.

H மணி கடந்த பின், θ கோணம் உருவாகும் நிமிடங்களை கண்டறிய பயன்படும் formula:
|(30H - (11/2)·m)| = θ
Rearrange செய்தால் (normalization-க்கு முன்) ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு roots கிடைக்கும்:
m = (60/11)·(H ± θ/30)

Practical steps:

  1. ஒவ்வொரு integer hour H = 0,1,2,...,11-க்கு இரண்டு roots m-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
  2. Roots-ஐ normalize செய்யுங்கள்: 0 ≤ m < 60 என்றால் accept செய்யவும்; m ≥ 60 என்றால் 60-ஐ கழித்து hour-ஐ +1 ஆக shift செய்யவும் (அல்லது அடுத்த hour-ன் root-ஆக கருதவும்); m < 0 என்றால் 60-ஐ சேர்த்து hour-ஐ -1 ஆக shift செய்யவும்.
  3. கோரப்பட்ட interval-இல் (எ.கா., 12 hours) உள்ள அனைத்து normalized valid times-ஐ எண்ணுங்கள். Exceptions-ஐ கவனியுங்கள்: θ = 0° (coincidence) 12 hours-ல் 11 முறை மட்டும்; θ = 180° (opposition) கூட 12 hours-ல் 11 identical positions; பல θ-களுக்கு 22 occurrences (ஒரு hour-க்கு இரண்டு) கிடைக்கும், ஆனால் normalization exceptions-ஐ hour-by-hour சரிபார்க்கவும்.

Step-by-Step Example

Question

12 hours-ல், கடிகார ஊசிகள் right angle (90°) எத்தனை முறை உருவாக்குகின்றன?

Solution

  1. Step 1: θ = 90°-க்கு root formula-ஐ பயன்படுத்துங்கள்

    θ = 90° என்றால், θ/30 = 3. ஆகவே ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு roots:
    m = (60/11)·(H ± 3)

  2. Step 2: hour-by-hour roots-ஐ சரிபார்க்கவும்

    H = 0 முதல் 11 வரை, m₁ = (60/11)(H - 3) மற்றும் m₂ = (60/11)(H + 3) கணக்கிடுங்கள்.
    Normalization செய்த பின் (0 ≤ m < 60 மட்டும் accept செய்து, தேவையெனில் hour shift செய்து) பெரும்பாலான hours-ல் இரண்டு valid minutes கிடைக்கும்.

  3. Step 3: valid occurrences-ஐ எண்ணுங்கள்

    Right angles பெரும்பாலான hours-ல் இரண்டு முறை ஏற்படும்; 12 hours-க்கு naive count = 24. ஆனால் அந்த naive roots-ல் இரண்டு, normalization செய்தபோது ஒவ்வொரு முறையும் 0-12 hour window-க்கு வெளியே shift ஆகும்; எனவே actual count 22 ஆக குறைகிறது.
    (அல்லது: ஒரு hour-க்கு 2 right-angle positions × 12 hours = 24, அதில் 2 duplicate/out-of-hour roots கழித்தால் = 22.)

  4. Final Answer:

    22 times

  5. Quick Check:

    Standard result: 12 hours-ல் right angles 22 முறை (24 hours-ல் 44). Hour-by-hour root-check method-உம் இதையே தருகிறது. ✅

Quick Variations

1. Coincidence (0°): 12 hours-ல் ஊசிகள் 11 முறை coincide ஆகும் (12 அல்ல).

2. Opposition (180°): 12 hours-ல் 11 முறை opposite ஆகும்.

3. General θ (0 அல்லது 180 அல்ல): பொதுவாக 12 hours-ல் 22 occurrences கிடைக்கும் - ஆனால் H = 0..11-க்கு normalization-ஐ எப்போதும் சரிபார்க்கவும்; சில சமயங்களில் ஒரு root per hour 0-60-க்கு வெளியே விழுந்து adjacent hour-க்கு shift ஆகும்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → ஒவ்வொரு H (0..11)-க்கும் m = (60/11)·(H ± θ/30) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 2 → ஒவ்வொரு root-ஐ normalize செய்யுங்கள் (0 ≤ m < 60). m ≥ 60 என்றால் 60-ஐ கழித்து next-hour root-ஆக; m < 0 என்றால் 60-ஐ சேர்த்து previous-hour root-ஆக கருதுங்கள்.
  • Step 3 → கோரப்பட்ட interval-இல் unique normalized times-ஐ tally செய்யுங்கள்; boundary duplicates-ஐ கவனியுங்கள் (இவை naive 2×12 count-ஐ குறைக்கும்).

Summary

  • Key takeaway 1: θ கோணத்திற்கு ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு algebraic roots பெற m = (60/11)·(H ± θ/30) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Key takeaway 2: Roots-ஐ 0 ≤ m < 60-க்கு normalize செய்து, வெளியே இருந்தால் hour-ஐ shift செய்யுங்கள்.
  • Key takeaway 3: Interval முழுவதிலும் normalized unique times-ஐ எண்ணுங்கள்; θ = 0° மற்றும் θ = 180° என்பவை 12 hours-ல் 11 occurrences மட்டும் தரும் (12 அல்ல) என்பதை நினைவில் வையுங்கள்.
  • Key takeaway 4: சந்தேகம் இருந்தால் hour-by-hour கணக்கிட்டு, known standard results-ஐ வைத்து quick check செய்யுங்கள் (எ.கா., 90° → 12 hours-ல் 22 times).

நினைவில் வைக்க வேண்டிய உதாரணம்:
Right angle (90°) → 12 hours-ல் 22 முறை (ஒரு hour-க்கு இரண்டு, ஆனால் இரண்டு roots shift ஆகும்).

Practice

(1/5)
1. How many times do the hands of a clock form a 45° angle in 12 hours?
easy
A. 22 times
B. 24 times
C. 11 times
D. 12 times

Solution

  1. Step 1: Use the general counting rule

    For any angle θ except 0° and 180°, the algebraic formula gives two roots per hour before normalization, so the naive count is 2 × 12 = 24.

  2. Step 2: Account for shifted roots

    Two of those naive roots shift into adjacent hours after normalization, so the actual count reduces by 2 → 24 - 2 = 22 times.

  3. Final Answer:

    22 times → Option A

  4. Quick Check:

    Standard result: any θ (≠0,180) appears 22 times in 12 hours ✅
Hint: Except 0°/180°, most angles appear 22 times in 12 hours.
Common Mistakes: Assuming 2×12 = 24 without normalization adjustments.
2. Between 1 and 2 o'clock, at what times are the hands 30° apart?
easy
A. 1:05 and 1:20
B. 1:00 and 1:10 10/11
C. 1:06 6/11 and 1:24 8/11
D. 1:02 2/11 and 1:27 3/11

Solution

  1. Step 1: Formula for minutes

    Use m = (60/11)·(H ± θ/30). Here θ = 30°, so θ/30 = 1. For H = 1: m = (60/11)·(1 ± 1).

  2. Step 2: Compute the two roots

    m₁ = (60/11)·(1 - 1) = 0 → 1:00.
    m₂ = (60/11)·(1 + 1) = (60/11)·2 = 120/11 = 10 10/11 minutes → 1:10 10/11.

  3. Final Answer:

    1:00 and 1:10 10/11 → Option B

  4. Quick Check:

    At 1:00 angle = 30° (hour at 30°, minute at 0°). The computed fractional minute also satisfies the formula ✅
Hint: Plug θ/30 into (60/11)(H ± ...) and normalize roots into 0-60.
Common Mistakes: Ignoring the m = 0 root (exact hour) when it appears.
3. How many minutes are there between two successive coincidences (hands together)?
easy
A. 65 5/11 minutes
B. 32 8/11 minutes
C. 60 minutes
D. 55 minutes

Solution

  1. Step 1: Use relative speed

    The minute hand gains on the hour hand at (6 - 0.5) = 11/2 degrees per minute.

  2. Step 2: Time for full 360° gain

    Time = 360 ÷ (11/2) = 360 × (2/11) = 720/11 = 65 5/11 minutes.

  3. Final Answer:

    65 5/11 minutes → Option A

  4. Quick Check:

    11 coincidences occur in 12 hours → 12 hours ÷ 11 ≈ 65.4545 min ✅
Hint: Time between identical relative positions = (2/11)×360 = 720/11 min.
Common Mistakes: Using 360 ÷ 6 (minute speed) instead of relative speed 11/2.
4. Between 11 and 12 o'clock, at what times are the hands 150° apart?
medium
A. 11:05 5/11 and 11:50 10/11
B. 11:22 2/11 and 11:37 8/11
C. 11:27 3/11 and 11:32 8/11
D. 11:15 and 11:45

Solution

  1. Step 1: Apply root formula

    m = (60/11)·(H ± θ/30). Here θ = 150°, so θ/30 = 5. For H = 11: m = (60/11)·(11 ± 5).

  2. Step 2: Compute and normalize

    m₁ = (60/11)·(11 - 5) = (60/11)·6 = 360/11 = 32 8/11 → 11:32 8/11.
    m₂ = (60/11)·(11 + 5) = (60/11)·16 = 960/11 = 87 3/11 → normalize by subtracting 60 → 27 3/11 → 11:27 3/11.

  3. Final Answer:

    11:27 3/11 and 11:32 8/11 → Option C

  4. Quick Check:

    Both minutes lie within 0-60 after normalization and satisfy |30H - 11m/2| = 150° ✅
Hint: If a root > 60, subtract 60 and shift hour forward (or interpret as next-hour root).
Common Mistakes: Failing to normalize >60 roots back into the hour window.
5. Between 2 and 3 o'clock, at what time do the hands coincide (0°)?
medium
A. 2:00
B. 2:16 4/11
C. 2:21 9/11
D. 2:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use coincidence formula

    For coincidence (θ = 0°) the minute m = (60/11)·H.

  2. Step 2: Substitute H = 2

    m = (60/11)·2 = 120/11 = 10 10/11 minutes → 2:10 10/11.

  3. Final Answer:

    2:10 10/11 → Option D

  4. Quick Check:

    Standard coincidences: 1:05 5/11, 2:10 10/11, 3:16 4/11 ... and so on - matches sequence ✅
Hint: Coincidence times follow m = (60/11)·H exactly for integer H.
Common Mistakes: Confusing coincidence with right-angle formula (θ = 90°).