0
0

Hands Forming Same Angle Multiple Times

Introduction

பல கடிகாரக் கேள்விகளில், ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் (12 hours அல்லது 24 hours) மணி ஊசி மற்றும் நிமிட ஊசி ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை (எ.கா., 0°, 90°, அல்லது 45°) எத்தனை முறை உருவாக்குகின்றன என்று கேட்கப்படும். ஊசிகளுக்கிடையிலான relative motion-ஐ புரிந்து கொண்டு, angle equation-ஐ தீர்ப்பது occurrences-ஐ எண்ணவும், சரியான நேரங்களை கண்டறியவும் உதவுகிறது.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது algebraic roots-ஐ modular/time normalization-உடன் இணைக்கிறது மற்றும் exceptions-ஐ தெளிவுபடுத்துகிறது (ஒரு root அந்த hour-க்கு வெளியே விழும் போது).

Pattern: Hands Forming Same Angle Multiple Times

Pattern

Key concept: relative-angle equation மற்றும் root normalization-ஐ பயன்படுத்தி நேரங்களை கண்டறிந்து, பின்னர் time-window முழுவதிலும் valid roots-ஐ எண்ணுங்கள்.

H மணி கடந்த பின், θ கோணம் உருவாகும் நிமிடங்களை கண்டறிய பயன்படும் formula:
|(30H - (11/2)·m)| = θ
Rearrange செய்தால் (normalization-க்கு முன்) ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு roots கிடைக்கும்:
m = (60/11)·(H ± θ/30)

Practical steps:

  1. ஒவ்வொரு integer hour H = 0,1,2,...,11-க்கு இரண்டு roots m-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
  2. Roots-ஐ normalize செய்யுங்கள்: 0 ≤ m < 60 என்றால் accept செய்யவும்; m ≥ 60 என்றால் 60-ஐ கழித்து hour-ஐ +1 ஆக shift செய்யவும் (அல்லது அடுத்த hour-ன் root-ஆக கருதவும்); m < 0 என்றால் 60-ஐ சேர்த்து hour-ஐ -1 ஆக shift செய்யவும்.
  3. கோரப்பட்ட interval-இல் (எ.கா., 12 hours) உள்ள அனைத்து normalized valid times-ஐ எண்ணுங்கள். Exceptions-ஐ கவனியுங்கள்: θ = 0° (coincidence) 12 hours-ல் 11 முறை மட்டும்; θ = 180° (opposition) கூட 12 hours-ல் 11 identical positions; பல θ-களுக்கு 22 occurrences (ஒரு hour-க்கு இரண்டு) கிடைக்கும், ஆனால் normalization exceptions-ஐ hour-by-hour சரிபார்க்கவும்.

Step-by-Step Example

Question

12 hours-ல், கடிகார ஊசிகள் right angle (90°) எத்தனை முறை உருவாக்குகின்றன?

Solution

  1. Step 1: θ = 90°-க்கு root formula-ஐ பயன்படுத்துங்கள்

    θ = 90° என்றால், θ/30 = 3. ஆகவே ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு roots:
    m = (60/11)·(H ± 3)

  2. Step 2: hour-by-hour roots-ஐ சரிபார்க்கவும்

    H = 0 முதல் 11 வரை, m₁ = (60/11)(H - 3) மற்றும் m₂ = (60/11)(H + 3) கணக்கிடுங்கள்.
    Normalization செய்த பின் (0 ≤ m < 60 மட்டும் accept செய்து, தேவையெனில் hour shift செய்து) பெரும்பாலான hours-ல் இரண்டு valid minutes கிடைக்கும்.

  3. Step 3: valid occurrences-ஐ எண்ணுங்கள்

    Right angles பெரும்பாலான hours-ல் இரண்டு முறை ஏற்படும்; 12 hours-க்கு naive count = 24. ஆனால் அந்த naive roots-ல் இரண்டு, normalization செய்தபோது ஒவ்வொரு முறையும் 0-12 hour window-க்கு வெளியே shift ஆகும்; எனவே actual count 22 ஆக குறைகிறது.
    (அல்லது: ஒரு hour-க்கு 2 right-angle positions × 12 hours = 24, அதில் 2 duplicate/out-of-hour roots கழித்தால் = 22.)

  4. Final Answer:

    22 times

  5. Quick Check:

    Standard result: 12 hours-ல் right angles 22 முறை (24 hours-ல் 44). Hour-by-hour root-check method-உம் இதையே தருகிறது. ✅

Quick Variations

1. Coincidence (0°): 12 hours-ல் ஊசிகள் 11 முறை coincide ஆகும் (12 அல்ல).

2. Opposition (180°): 12 hours-ல் 11 முறை opposite ஆகும்.

3. General θ (0 அல்லது 180 அல்ல): பொதுவாக 12 hours-ல் 22 occurrences கிடைக்கும் - ஆனால் H = 0..11-க்கு normalization-ஐ எப்போதும் சரிபார்க்கவும்; சில சமயங்களில் ஒரு root per hour 0-60-க்கு வெளியே விழுந்து adjacent hour-க்கு shift ஆகும்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → ஒவ்வொரு H (0..11)-க்கும் m = (60/11)·(H ± θ/30) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 2 → ஒவ்வொரு root-ஐ normalize செய்யுங்கள் (0 ≤ m < 60). m ≥ 60 என்றால் 60-ஐ கழித்து next-hour root-ஆக; m < 0 என்றால் 60-ஐ சேர்த்து previous-hour root-ஆக கருதுங்கள்.
  • Step 3 → கோரப்பட்ட interval-இல் unique normalized times-ஐ tally செய்யுங்கள்; boundary duplicates-ஐ கவனியுங்கள் (இவை naive 2×12 count-ஐ குறைக்கும்).

Summary

Summary

  • Key takeaway 1: θ கோணத்திற்கு ஒவ்வொரு hour-க்கும் இரண்டு algebraic roots பெற m = (60/11)·(H ± θ/30) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Key takeaway 2: Roots-ஐ 0 ≤ m < 60-க்கு normalize செய்து, வெளியே இருந்தால் hour-ஐ shift செய்யுங்கள்.
  • Key takeaway 3: Interval முழுவதிலும் normalized unique times-ஐ எண்ணுங்கள்; θ = 0° மற்றும் θ = 180° என்பவை 12 hours-ல் 11 occurrences மட்டும் தரும் (12 அல்ல) என்பதை நினைவில் வையுங்கள்.
  • Key takeaway 4: சந்தேகம் இருந்தால் hour-by-hour கணக்கிட்டு, known standard results-ஐ வைத்து quick check செய்யுங்கள் (எ.கா., 90° → 12 hours-ல் 22 times).

நினைவில் வைக்க வேண்டிய உதாரணம்:
Right angle (90°) → 12 hours-ல் 22 முறை (ஒரு hour-க்கு இரண்டு, ஆனால் இரண்டு roots shift ஆகும்).

Practice

(1/5)
1. How many times do the hands of a clock form a 45° angle in 12 hours?
easy
A. 22 times
B. 24 times
C. 11 times
D. 12 times

Solution

  1. Step 1: Use the general counting rule

    For any angle θ except 0° and 180°, the algebraic formula gives two roots per hour before normalization, so the naive count is 2 × 12 = 24.

  2. Step 2: Account for shifted roots

    Two of those naive roots shift into adjacent hours after normalization, so the actual count reduces by 2 → 24 - 2 = 22 times.

  3. Final Answer:

    22 times → Option A

  4. Quick Check:

    Standard result: any θ (≠0,180) appears 22 times in 12 hours ✅
Hint: Except 0°/180°, most angles appear 22 times in 12 hours.
Common Mistakes: Assuming 2×12 = 24 without normalization adjustments.
2. Between 1 and 2 o'clock, at what times are the hands 30° apart?
easy
A. 1:05 and 1:20
B. 1:00 and 1:10 10/11
C. 1:06 6/11 and 1:24 8/11
D. 1:02 2/11 and 1:27 3/11

Solution

  1. Step 1: Formula for minutes

    Use m = (60/11)·(H ± θ/30). Here θ = 30°, so θ/30 = 1. For H = 1: m = (60/11)·(1 ± 1).

  2. Step 2: Compute the two roots

    m₁ = (60/11)·(1 - 1) = 0 → 1:00.
    m₂ = (60/11)·(1 + 1) = (60/11)·2 = 120/11 = 10 10/11 minutes → 1:10 10/11.

  3. Final Answer:

    1:00 and 1:10 10/11 → Option B

  4. Quick Check:

    At 1:00 angle = 30° (hour at 30°, minute at 0°). The computed fractional minute also satisfies the formula ✅
Hint: Plug θ/30 into (60/11)(H ± ...) and normalize roots into 0-60.
Common Mistakes: Ignoring the m = 0 root (exact hour) when it appears.
3. How many minutes are there between two successive coincidences (hands together)?
easy
A. 65 5/11 minutes
B. 32 8/11 minutes
C. 60 minutes
D. 55 minutes

Solution

  1. Step 1: Use relative speed

    The minute hand gains on the hour hand at (6 - 0.5) = 11/2 degrees per minute.

  2. Step 2: Time for full 360° gain

    Time = 360 ÷ (11/2) = 360 × (2/11) = 720/11 = 65 5/11 minutes.

  3. Final Answer:

    65 5/11 minutes → Option A

  4. Quick Check:

    11 coincidences occur in 12 hours → 12 hours ÷ 11 ≈ 65.4545 min ✅
Hint: Time between identical relative positions = (2/11)×360 = 720/11 min.
Common Mistakes: Using 360 ÷ 6 (minute speed) instead of relative speed 11/2.
4. Between 11 and 12 o'clock, at what times are the hands 150° apart?
medium
A. 11:05 5/11 and 11:50 10/11
B. 11:22 2/11 and 11:37 8/11
C. 11:27 3/11 and 11:32 8/11
D. 11:15 and 11:45

Solution

  1. Step 1: Apply root formula

    m = (60/11)·(H ± θ/30). Here θ = 150°, so θ/30 = 5. For H = 11: m = (60/11)·(11 ± 5).

  2. Step 2: Compute and normalize

    m₁ = (60/11)·(11 - 5) = (60/11)·6 = 360/11 = 32 8/11 → 11:32 8/11.
    m₂ = (60/11)·(11 + 5) = (60/11)·16 = 960/11 = 87 3/11 → normalize by subtracting 60 → 27 3/11 → 11:27 3/11.

  3. Final Answer:

    11:27 3/11 and 11:32 8/11 → Option C

  4. Quick Check:

    Both minutes lie within 0-60 after normalization and satisfy |30H - 11m/2| = 150° ✅
Hint: If a root > 60, subtract 60 and shift hour forward (or interpret as next-hour root).
Common Mistakes: Failing to normalize >60 roots back into the hour window.
5. Between 2 and 3 o'clock, at what time do the hands coincide (0°)?
medium
A. 2:00
B. 2:16 4/11
C. 2:21 9/11
D. 2:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use coincidence formula

    For coincidence (θ = 0°) the minute m = (60/11)·H.

  2. Step 2: Substitute H = 2

    m = (60/11)·2 = 120/11 = 10 10/11 minutes → 2:10 10/11.

  3. Final Answer:

    2:10 10/11 → Option D

  4. Quick Check:

    Standard coincidences: 1:05 5/11, 2:10 10/11, 3:16 4/11 ... and so on - matches sequence ✅
Hint: Coincidence times follow m = (60/11)·H exactly for integer H.
Common Mistakes: Confusing coincidence with right-angle formula (θ = 90°).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes