0
0

Partial or Negative Work (Leak or Undo Work)

Introduction

Partial or Negative Work problems-ல், ஏற்கனவே செய்யப்பட்ட work-ஐ ஒரு agent undo செய்யும் சூழ்நிலைகள் இருக்கும் - பொதுவாக tank-ல் leak அல்லது ஒருவர் முடிந்த work-ஐ அகற்றுவது போன்றவை. இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் பல Time & Work questions-ல் progress-ஐ குறைக்கும் elements (leaks, theft, cancellation) இடம்பெறும்; இவற்றை negative rates ஆக எடுத்துக்கொண்டால் logic எளிதாகும்.

Key idea: ஒவ்வொரு contributor-ஐயும் ஒரு rate (ஒரு unit time-ல் செய்யும் work) ஆகக் காண்பிக்கவும். undo செய்யும் agent (leak/undo) negative rate ஆக எடுத்துக்கொண்டு, எல்லா rates-ஐயும் algebraic-ஆக கூட்டி net progress-ஐ கண்டறியவும்.

Pattern: Partial or Negative Work (Leak or Undo Work)

Pattern

Key concept: Undo actions-ஐ negative rates-ஆக model செய்யவும்; net rate = positive rates-ன் கூட்டுத்தொகை - negative rates-ன் கூட்டுத்தொகை. Time problems-ல், Time = Total work ÷ Net rate.

Formula summary:
Worker rate = 1 / time_to_complete (fill/doing ஆக இருந்தால் positive).
Leak/undo rate = -(1 / time_to_empty_or_undo) (negative).
Net rate = Σ(positive rates) + Σ(negative rates).

Step-by-Step Example

Question

Pipe A ஒரு tank-ஐ 10 hours-ல் நிரப்புகிறது; Pipe B அதையே 15 hours-ல் நிரப்புகிறது. ஒரு leak, நிரம்பிய tank-ஐ 30 hours-ல் காலி செய்யும். A மற்றும் B leak-உடன் சேர்ந்து திறந்தால், tank நிரம்ப எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

Solution

  1. Step 1: Individual rates-ஐ (positive & negative) கண்டறியவும்:

    A-ன் filling rate = 1/10 tank/hour. B-ன் filling rate = 1/15 tank/hour. Leak-ன் emptying rate = -1/30 tank/hour.

  2. Step 2: Net rate-ஐ கணக்கிடவும்:

    Net rate = 1/10 + 1/15 - 1/30. LCM = 30 → (3 + 2 - 1)/30 = 4/30 = 2/15 tank/hour.

  3. Step 3: 1 tank நிரம்ப நேரம்:

    Time = Total work ÷ Net rate = 1 ÷ (2/15) = 15/2 = 7.5 hours.

  4. Final Answer:

    tank 7 hours 30 minutes-ல் நிரம்பும்.

  5. Quick Check:

    7.5 hours-ல் A செய்கிறது 7.5×(1/10)=0.75, B செய்கிறது 7.5×(1/15)=0.5, leak அகற்றுவது 7.5×(1/30)=0.25. மொத்தம் = 0.75+0.5-0.25=1.0 (full tank) ✅

Quick Variations

1. Multiple leaks/undoers: எல்லா negative rates-ன் கூட்டுத்தொகையையும் positive rates-லிருந்து கழிக்கவும்.

2. Leak பின்னர் தொடங்கினால் அல்லது முன்பே நிறுத்தினால்: phases-ஆகப் பிரித்து - leak-க்கு முன்/பின் work-ஐ தனித்தனியாக கணக்கிடவும்.

3. Worker நடுவில் விட்டு சென்றால், leak தொடர்ந்தால்: phases-ஆகப் பிரித்து contributions-ஐ கூட்டவும்.

4. Leak மட்டும் tank-ஐ காலி செய்ய எவ்வளவு நேரம் என கேட்டால்: leak rate-ஐ கண்டுபிடித்து invert செய்யவும் (time = 1 / leak rate).

Trick to Always Use

  • Step 1: ஒவ்வொரு actor-ஐயும் rate (1/time)-ஆக மாற்றவும்; undo செய்பவர்களுக்கு negative sign பயன்படுத்தவும்.
  • Step 2: எல்லா rates-ஐயும் algebraic-ஆக கூட்டி net rate-ஐ பெறவும்.
  • Step 3: Events phases-ஆக நடந்தால் (start/stop வேறு வேறு நேரங்களில்), ஒவ்வொரு phase-க்கும் Work = rate × time என்று கணக்கிட்டு கூட்டவும்.
  • Step 4: Final phase-க்கு Time = Remaining work ÷ net rate. எப்போதும் quick-check செய்து மொத்த work = 1 ஆகிறதா என்பதை உறுதி செய்யவும்.

Summary

Summary

Partial / Negative Work problems-க்கு:

  • எல்லா participants-ஐயும் rates-ஆக மாற்றவும் (doing → positive, undoing → negative).
  • Net progress = rates-ன் algebraic sum; net rate-ஐ invert செய்து unit work-க்கு தேவையான time-ஐ கண்டறியவும்.
  • Phased actions இருந்தால், ஒவ்வொரு phase-ல் செய்யப்படும் work-ஐ கணக்கிட்டு contributions-ஐ கூட்டவும்.
  • எப்போதும் quick check: positive contributions-ஐ கூட்டி, undoing contributions-ஐ கழித்து 1 unit work ஆகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும்.

Practice

(1/5)
1. Pipe A can fill a tank in 12 hours, and a leak at the bottom can empty the full tank in 24 hours. How long will it take to fill the tank if the leak is also open?
easy
A. 18 hours
B. 16 hours
C. 24 hours
D. 20 hours

Solution

  1. Step 1: Identify rates:

    Pipe A filling rate = 1/12 tank/hour; Leak emptying rate = -1/24 tank/hour.

  2. Step 2: Compute net rate:

    Net rate = 1/12 - 1/24 = (2 - 1)/24 = 1/24 tank/hour.

  3. Step 3: Find total time:

    Time = 1 ÷ (1/24) = 24 hours.

  4. Final Answer:

    24 hours → Option C.

  5. Quick Check:

    24×(1/12 - 1/24)=24×(1/24)=1 (full tank) ✅
Hint: Subtract leak rate from filler rate to get net rate; invert net rate to get time.
Common Mistakes: Forgetting to subtract the leak's rate (treating it as positive).
2. Pipe A can fill a tank in 10 hours and Pipe B in 15 hours. A leak can empty the tank in 30 hours. All are open together. How long will it take to fill the tank?
easy
A. 8.5 hours
B. 9.25 hours
C. 7.25 hours
D. 7.5 hours

Solution

  1. Step 1: Identify rates:

    Pipe A fills 1/10 of the tank per hour, Pipe B fills 1/15 per hour, and the leak empties 1/30 per hour.

  2. Step 2: Compute net rate:

    Net rate = 1/10 + 1/15 - 1/30 = (3 + 2 - 1)/30 = 4/30 = 2/15 tank/hour.

  3. Step 3: Find total time to fill:

    Time = 1 ÷ (2/15) = 15/2 = 7.5 hours.

  4. Final Answer:

    The tank will be filled in 7.5 hours → Option D.

  5. Quick Check:

    7.5 × (1/10 + 1/15 - 1/30) = 7.5 × (2/15) = 1 ✅
Hint: Treat the leak as a negative rate, add all rates, and take the reciprocal for total time.
Common Mistakes: Using the leak rate as positive instead of negative or forgetting to take LCM correctly.
3. Pipe A can fill a tank in 6 hours. But due to a leak, it takes 8 hours to fill it. How long will the leak alone take to empty the full tank?
easy
A. 24 hours
B. 16 hours
C. 20 hours
D. 18 hours

Solution

  1. Step 1: Identify rates:

    Filling rate (A) = 1/6 tank/hour. Net (with leak) = 1/8 tank/hour.

  2. Step 2: Compute leak rate:

    Leak rate = A - Net = 1/6 - 1/8 = (4 - 3)/24 = 1/24 tank/hour (emptying).

  3. Step 3: Leak alone empties tank in:

    Time = 1 ÷ (1/24) = 24 hours.

  4. Final Answer:

    24 hours → Option A.

  5. Quick Check:

    1/6 - 1/24 = 1/8 (net), which matches the given 8-hour fill time ✅
Hint: Leak rate = filling rate - net rate; invert to get emptying time.
Common Mistakes: Subtracting in the wrong order (net - fill instead of fill - net).
4. Two pipes A and B can fill a tank in 12 and 18 hours respectively. A leak can empty the full tank in 36 hours. If all are opened together, how long will it take to fill the tank?
medium
A. 10 hours
B. 9 hours
C. 8 hours
D. 7.2 hours

Solution

  1. Step 1: Filling and leak rates:

    A = 1/12, B = 1/18, Leak = -1/36 (tank/hour).

  2. Step 2: Net rate:

    1/12 + 1/18 - 1/36 = (3 + 2 - 1)/36 = 4/36 = 1/9 tank/hour.

  3. Step 3: Total time:

    Time = 1 ÷ (1/9) = 9 hours.

  4. Final Answer:

    9 hours → Option B.

  5. Quick Check:

    9×(1/12 + 1/18 - 1/36) = 9×(1/9) = 1 ✅
Hint: Add filler rates, subtract leak rate, then invert to find time.
Common Mistakes: Using wrong LCM or forgetting the negative sign for the leak.
5. A pipe can fill a tank in 8 hours. Because of a leak, the tank is filled in 10 hours. How long will the leak take to empty the tank completely?
medium
A. 40 hours
B. 20 hours
C. 30 hours
D. 24 hours

Solution

  1. Step 1: Filling and net rates:

    Filling rate = 1/8 tank/hour; Net (with leak) = 1/10 tank/hour.

  2. Step 2: Compute leak rate:

    Leak = Filling - Net = 1/8 - 1/10 = (5 - 4)/40 = 1/40 tank/hour (emptying).

  3. Step 3: Leak empties tank in:

    Time = 1 ÷ (1/40) = 40 hours.

  4. Final Answer:

    40 hours → Option A.

  5. Quick Check:

    1/8 - 1/40 = 1/10 (net), which matches the given 10-hour fill time ✅
Hint: Leak time = 1 ÷ (filling rate - net rate).
Common Mistakes: Mixing denominators when subtracting fractional rates.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes