0
0

Chain Mixture Problems

Introduction

Chain Mixture Problems என்பது, ஒவ்வொரு படியும் அடுத்த படிக்கான கலவையின் அமைப்பை மாற்றும் வகையில் தொடர்ச்சியாக mixing அல்லது replacement நடைபெறும் பிரச்சினைகள் ஆகும். பல செயல்பாடுகள் ஒன்றுக்குப் பிறகு ஒன்று செய்யப்படும் போது (உதா., A-யை B-யுடன் கலத்தல், பின்னர் கிடைத்த கலவையை C-யுடன் கலத்தல், அல்லது successive replacements) இவை தோன்றுகின்றன.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது பல கட்டங்களிலும் absolute quantities-ஐ (litres/weights) சரியாக கண்காணிப்பது, தேவையான இடங்களில் retained-fraction formulas-ஐ பயன்படுத்துவது, மேலும் algebraic reasoning-ஐ stepwise bookkeeping-உடன் இணைப்பது ஆகிய திறன்களை பயிற்சி செய்கிறது.

Pattern: Chain Mixture Problems

Pattern

Key concept: ஒவ்வொரு படியையும் தனித்தனி operation ஆகக் கருதுங்கள் - ஒவ்வொரு படிக்கும் முன் மற்றும் பின் component-ன் absolute quantities (litres/weights) கணக்கிடுங்கள், அல்லது ஒரே மாதிரியான repeated removals இருந்தால் retained-fraction formulas-ஐ பயன்படுத்துங்கள்.

இரண்டு பொதுவான அணுகுமுறைகள்:
1. Stepwise bookkeeping: ஒவ்வொரு operation-க்கும், அகற்றப்பட்ட/சேர்க்கப்பட்ட component-ஐ absolute terms-ல் கணக்கிட்டு, totals-ஐ update செய்து, அடுத்த படிக்குச் செல்லுங்கள்.
2. Retained-fraction formula: ஒரே fraction மீண்டும் மீண்டும் அகற்றப்பட்டு அதே component-ஆல் replace செய்யப்படும் போது (உதா., V L-ல் இருந்து x L அகற்றி, தண்ணீர் சேர்த்தல்), பயன்படுத்தவும்: Remaining component = Initial amount × (1 - removed/total)ⁿ இங்கு n = ஒரே மாதிரியான operations எண்ணிக்கை.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு பாத்திரத்தில் ஆரம்பத்தில் 30% உப்பு கரைசல் 100 L உள்ளது. முதலில் இந்த கலவையில் இருந்து 20 L அகற்றப்பட்டு தூய தண்ணீர் சேர்க்கப்படுகிறது. பின்னர் புதிய கலவையில் இருந்து 30 L அகற்றப்பட்டு 50% உப்பு கரைசல் சேர்க்கப்படுகிறது. இறுதியில் உப்பின் concentration எவ்வளவு?

Solution

  1. Step 1: ஆரம்ப உப்பு அளவை கணக்கிடுங்கள்

    ஆரம்ப உப்பு = 100 L-ன் 30% = 30 L.

  2. Step 2: முதல் operation - 20 L அகற்றி தண்ணீர் சேர்த்தல்

    அகற்றப்பட்ட உப்பு = 20-ன் 30% = 0.30 × 20 = 6 L. மீதமுள்ள உப்பு = 30 - 6 = 24 L. Replacement பிறகு மொத்த அளவு = 100 L (உப்பு = 24 L).

  3. Step 3: முதல் operation பிறகு உப்பு fraction கணக்கிடுங்கள்

    உப்பு fraction = 24/100 = 0.24 (24%).

  4. Step 4: இரண்டாம் operation - தற்போதைய கலவையில் இருந்து 30 L அகற்றல்

    அகற்றப்பட்ட உப்பு = 0.24 × 30 = 7.2 L. அகற்றிய பிறகு மீதமுள்ள உப்பு = 24 - 7.2 = 16.8 L. அகற்றிய பிறகு அளவு = 70 L.

  5. Step 5: 50% உப்பு கரைசல் 30 L சேர்த்தல்

    சேர்க்கப்பட்ட உப்பு = 0.50 × 30 = 15 L. இறுதி உப்பு அளவு = 16.8 + 15 = 31.8 L. இறுதி மொத்த அளவு = 100 L.

  6. Step 6: இறுதி concentration கணக்கிடுங்கள்

    இறுதி concentration = (31.8 ÷ 100) × 100 = 31.8%.

  7. Final Answer:

    31.8% உப்பு concentration.

  8. Quick Check:

    Litres-ஆக கண்காணிக்கவும்: உப்பு 30 → -6 = 24 → -7.2 = 16.8 → +15 = 31.8; மொத்த அளவு 100 L ஆகவே உள்ளது → 31.8% ✅

Quick Variations

1. ஒரே மாதிரியான repeated removal & replacement (retained-fraction formula பயன்படுத்தவும்).

2. வெவ்வேறு concentration additions தொடர்ச்சியாக வரும்போது (stepwise bookkeeping பயன்படுத்தவும்).

3. பல solutions-ஐ வரிசையாக கலத்தல் - ஒவ்வொரு mix-ஐயும் ஒரு stage-ஆக கருதி component totals-ஐ பதிவு செய்யுங்கள்.

4. இறுதி concentration கொடுக்கப்பட்டு ஆரம்ப அளவு கேட்கப்படும் பிரச்சினைகள் - algebraic-ஆக படிகளை reverse செய்து பின்னோக்கி வேலை செய்யுங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1: Intermediate steps-ல் percentages அல்ல, absolute units (litres அல்லது kg) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 2: ஒரே மாதிரியான repeated removals-க்கு Remaining = Initial × (1 - r)ⁿ பயன்படுத்துங்கள்; இங்கு r = removed/total.
  • Step 3: புதிய concentration கொண்ட solution-ஆல் replace செய்யும் போது, சேர்க்கப்படும் component-ன் உண்மையான அளவை (replacement volume × concentration) கணக்கிட்டு மீதமுள்ள அளவுடன் சேர்க்குங்கள்.
  • Step 4: Reverse problems-க்கு, variables substitute செய்து படிகளை algebraic-ஆக unwind செய்யுங்கள் (ஒவ்வொரு forward step-ஐ கவனமாக invert செய்யவும்).

Summary

Summary

Chain Mixture Problems கவனமான தொடர்ச்சியான கண்காணிப்பை தேவையாக்குகின்றன:

  • Intermediate கணக்கீடுகளில் percentages-க்கு பதிலாக absolute amounts-ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
  • ஒரே மாதிரியான repeated removals-க்கு retained-fraction formula பயன்படுத்துங்கள்: Remaining = Initial × (1 - removed/total)ⁿ.
  • Replacement ஒரு concentrated solution ஆக இருந்தால், சேர்க்கப்படும் component-ன் துல்லியமான அளவை (replacement volume × concentration) சேர்க்குங்கள்.
  • Backward / unknown-original பிரச்சினைகளில், variables அமைத்து ஒவ்வொரு stage-ஐ algebraic-ஆக reverse செய்து, இறுதி concentration சாத்தியமான வரம்புக்குள் உள்ளதா என்பதை சரிபார்க்குங்கள்.

Practice

(1/5)
1. A vessel contains 100 L of 40% salt solution. 20 L of the mixture is removed and replaced with water. What is the final concentration of salt?
easy
A. 32%
B. 36%
C. 30%
D. 34%

Solution

  1. Step 1: Initial salt amount

    Salt = 40% of 100 = 40 L.

  2. Step 2: Salt removed with 20 L

    Salt removed = 0.40 × 20 = 8 L. Salt left = 40 - 8 = 32 L.

  3. Step 3: Replace with water (total volume returns to 100 L)

    Final salt = 32 L in 100 L → 32%.

  4. Final Answer:

    32% → Option A.

  5. Quick Check:

    40 - 8 = 32; 32/100 = 0.32 → 32% ✅

Hint: Remaining = Initial × (1 - replaced/total) → 40 × (80/100) = 32.
Common Mistakes: Forgetting that total volume stays constant after replacement.
2. A vessel contains 80 L of 25% alcohol solution. 20 L are removed and replaced with pure alcohol. What is the final concentration of alcohol?
easy
A. 35%
B. 37.5%
C. 40%
D. 43.75%

Solution

  1. Step 1: Initial alcohol amount

    Alcohol = 0.25 × 80 = 20 L.

  2. Step 2: Remove 20 L of mixture

    Alcohol removed = 0.25 × 20 = 5 L. Remaining alcohol = 20 - 5 = 15 L.

  3. Step 3: Add 20 L pure alcohol

    Alcohol added = 20 L → final alcohol = 15 + 20 = 35 L.

  4. Step 4: Final concentration

    35/80 = 0.4375 → 43.75%.

  5. Final Answer:

    43.75% → Option D.

  6. Quick Check:

    20 - 5 + 20 = 35; 35/80 = 0.4375 → 43.75% ✅

Hint: Subtract removed component (current%×removed) then add the pure amount.
Common Mistakes: Using the original percentage on the changed total without updating litres.
3. A vessel has 100 L of 20% sugar solution. 25 L are removed and replaced with 40% sugar solution. What is the new concentration?
easy
A. 24%
B. 25%
C. 26%
D. 28%

Solution

  1. Step 1: Initial sugar amount

    Sugar = 0.20 × 100 = 20 L.

  2. Step 2: Remove 25 L of mixture

    Sugar removed = 0.20 × 25 = 5 L. Sugar left = 20 - 5 = 15 L.

  3. Step 3: Add 25 L of 40% solution

    Sugar added = 0.40 × 25 = 10 L. Final sugar = 15 + 10 = 25 L.

  4. Step 4: Final concentration

    25/100 = 25%.

  5. Final Answer:

    25% → Option B.

  6. Quick Check:

    20 - 5 + 10 = 25; 25/100 = 0.25 → 25% ✅

Hint: Track absolute sugar litres through each step, then divide by total volume.
Common Mistakes: Averaging percentages instead of doing mass balance.
4. A container has 100 L of 30% acid. 20 L are replaced by pure acid, then 20 L more are replaced with water. What is the final concentration of acid?
medium
A. 35.2%
B. 36.2%
C. 32.2%
D. 28.2%

Solution

  1. Step 1: Initial acid

    Acid = 0.30 × 100 = 30 L.

  2. Step 2: First replacement (20 L pure acid)

    Acid removed = 0.30 × 20 = 6 L. Acid left = 30 - 6 = 24 L. Add 20 L pure acid → acid = 24 + 20 = 44 L.

  3. Step 3: Second replacement (remove 20 L, add water)

    Concentration before removal = 44/100 = 0.44. Acid removed = 0.44 × 20 = 8.8 L. Acid left = 44 - 8.8 = 35.2 L. After adding water total = 100 L.

  4. Step 4: Final concentration

    35.2/100 = 35.2%.

  5. Final Answer:

    35.2% → Option A.

  6. Quick Check:

    30 - 6 + 20 - 8.8 = 35.2; 35.2/100 = 0.352 → 35.2% ✅

Hint: After each step recompute absolute litres of component before moving on.
Common Mistakes: Using original percentage for the second removal instead of updated concentration.
5. A vessel has 120 L of 25% salt solution. 40 L are replaced with 60% salt solution and then 20 L are replaced with water. Find the final salt concentration (rounded to two decimals).
medium
A. 35.36%
B. 38.26%
C. 30.56%
D. 32.76%

Solution

  1. Step 1: Initial salt

    Salt = 0.25 × 120 = 30 L.

  2. Step 2: Replace 40 L with 60% solution

    Salt removed = 0.25 × 40 = 10 L. Remaining = 30 - 10 = 20 L. Salt added = 0.60 × 40 = 24 L. New salt = 20 + 24 = 44 L.

  3. Step 3: Replace 20 L with water

    Salt removed = (44/120) × 20 = 7.333333... L. Salt left = 44 - 7.333333... = 36.6666667 L.

  4. Step 4: Final concentration

    36.6666667 / 120 = 0.30555556 → 30.56% (rounded to two decimals).

  5. Final Answer:

    30.56% → Option C.

  6. Quick Check:

    30 - 10 + 24 - 7.3333 = 36.6667; 36.6667/120 ≈ 0.3056 → 30.56% ✅

Hint: Handle each replacement step-by-step using absolute litres; round final percent at the end.
Common Mistakes: Rounding intermediate values too early instead of at final step.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes