Introduction
சில age problemsல் product of ages அல்லது squared ages பற்றிய தகவல்கள் கொடுக்கப்படும். difference அல்லது ratioக்கு பதிலாக, வயதுகளின் multiplication அல்லது squared-age தொடர்பு கொடுக்கப்படும். இவ்வகை கேள்விகளை எளிய algebra பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.
Statementsஐ equationஆக மாற்றியவுடன், factorization அல்லது quadratic formula பயன்படுத்தி படிப்படியாக solve செய்ய முடியும்.
Pattern: Product of Ages or Squared Ages
Pattern
Key idea:
இரு வயதுகளின் product கொடுக்கப்பட்டால், இளையவரின் வயதை x என்றும், மூத்தவரின் வயதை (x + difference) என்றும் எடுத்துக்கொள்ளவும்.
Equation உருவாக்கவும்: x × (x + difference) = product. இந்த quadratic equationஐ solve செய்து agesஐ காண்க.
Step-by-Step Example
Question
Neha மற்றும் Rahulவின் வயதுகளின் product 180. Rahul, Nehaவை விட 3 years older. அவர்களின் present agesஐ காண்க.
- A: Neha = 12 years, Rahul = 15 years
- B: Neha = 10 years, Rahul = 13 years
- C: Neha = 9 years, Rahul = 12 years
- D: Neha = 15 years, Rahul = 18 years
Solution
-
Step 1: Agesஐ represent செய்யவும்.
Nehaவின் present age = x.
Rahulவின் age = x + 3. -
Step 2: Product equation எழுதவும்.
வயதுகளின் product = 180.
x × (x + 3) = 180 → x² + 3x - 180 = 0. -
Step 3: Quadratic equationஐ solve செய்யவும்.
Product = -180 மற்றும் sum = 3 ஆக வரும் இரண்டு எண்கள் → 15 மற்றும் -12.- Equation: x² + 3x - 180 = 0.
- Middle term split: x² - 12x + 15x - 180 = 0.
- Grouping: (x² - 12x) + (15x - 180) = 0.
- Factor: x(x - 12) + 15(x - 12) = 0.
- Common factor: (x + 15)(x - 12) = 0.
- Solve: x + 15 = 0 → x = -15 (negative age, ignore); x - 12 = 0 → x = 12.
-
Final Answer:
Neha = 12 years; Rahul = 15 years → Option A -
Quick Check:
Product: 12 × 15 = 180 ✅ (conditionக்கு பொருந்துகிறது).
Difference: 15 - 12 = 3 ✅ (conditionக்கு பொருந்துகிறது).
Quick Variations
சில கேள்விகளில் squared ages இடம்பெறும்; உதாரணமாக, “elder ageஇன் square - younger ageஇன் square கொடுக்கப்பட்டுள்ளது”. அதேபோல் variables கொண்டு represent செய்து quadratic equation உருவாக்கவும்.
Trick to Always Use
- Step 1: இளைய வயதை x என்றும், மூத்த வயதை x + difference என்றும் எடுத்துக்கொள்ளவும்.
- Step 2: Product அல்லது squared relation பயன்படுத்தி equation உருவாக்கவும்.
- Step 3: Quadratic equationஐ கவனமாக solve செய்து, negative ageஐ discard செய்யவும்.
- Step 4: உண்மையான agesஐ கண்டுபிடித்து product அல்லது square வைத்து verify செய்யவும்.
Summary
Summary
- இளைய வயதை variableஆகவும், மூத்த வயதை அதன் expressionஆகவும் represent செய்யவும்.
- Product அல்லது squared-age equation உருவாக்கி standard quadraticஆக மாற்றவும்.
- Factorization அல்லது quadratic formula பயன்படுத்தி solve செய்து, negative rootஐ நீக்கவும்.
- Substitute செய்து இரு agesஐ கண்டுபிடித்து original conditionஐ verify செய்யவும்.
நினைவில் வைத்துக்கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
Product problemsல்: younger = x, elder = x + d, x(x + d) = P என அமைத்து solve செய்து answersஐ check செய்யவும்.
Hint: Divide the product by the known age.
Common Mistakes: Multiplying instead of dividing.