0
0

Simple Arithmetic Progression (AP Series)

Introduction

Arithmetic Progression (AP) series-கள் aptitude tests-ல் அதிகம் கேட்கப்படும் number-series patterns-களில் ஒன்றாகும். இவை முக்கியமானவை; ஏனெனில் steady, linear change-ஐ விரைவாக அடையாளம் காண உதவுகின்றன - exam நேரத்தில் simple trends-ஐ சீக்கிரம் கண்டுபிடிக்க இது பயனுள்ளது.

Pattern: Simple Arithmetic Progression (AP Series)

Pattern

முக்கியக் கருத்து: Arithmetic Progression (AP)-ல் உள்ள ஒவ்வொரு term-மும் ஒரு நிரந்தர மதிப்பால் (fixed constant) அதிகரிக்கவோ குறையவோ செய்கிறது - அந்த மதிப்பை common difference (d) என்று அழைப்பார்கள்.

இப்படியான series-ல், முதல் term a1 என்றும், common difference d என்றும் இருந்தால், ஒவ்வொரு term-ஐயும் தொடர்ந்து d-ஐ கூட்டி (அல்லது கழித்து) பெறலாம்.

General Form of an AP:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …

Formulas to Remember:
• n-th term: an = a1 + (n - 1) × d
• Common difference: d = a2 - a1
• Sum of first n terms: Sn = n/2 × [2a1 + (n - 1)d]
• (Alternate form) Sn = n/2 × (a1 + an)

Key Notes:
• d > 0 என்றால், series increasing ஆக இருக்கும்.
• d < 0 என்றால், series decreasing ஆக இருக்கும்.
• d = 0 என்றால், எல்லா terms-உம் சமம் (constant series).
• Difference ஒரே மாதிரி (constant) இருக்கும் எந்த linear pattern-உம் ஒரு AP ஆகும்.

Step-by-Step Example

Question

கீழ்காணும் series-ல் அடுத்த term-ஐ கண்டுபிடியுங்கள்: 2, 5, 8, 11, 14, ?

Solution

  1. Step 1: தொடர்ந்து வரும் differences-ஐ கணக்கிடுங்கள்

    5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3, 14 - 11 = 3.

  2. Step 2: Common difference-ஐ அடையாளம் காணுங்கள்

    எல்லா consecutive differences-உம் 3 என்பதால், common difference d = 3. இதனால் இது ஒரு AP என உறுதியாகிறது.

  3. Step 3: n-th term rule-ஐ பயன்படுத்துங்கள் அல்லது last term-க்கு d-ஐ கூட்டுங்கள்

    Next term = Last term + d = 14 + 3 = 17.

  4. Final Answer:

    17

  5. Quick Check:

    Difference சரிபார்ப்பு: (17 - 14) = 3 ✅ - differences மாறாமல் உள்ளன, series AP தான்.

Quick Variations

1. Decreasing AP: terms ஒரு நிரந்தர மதிப்பால் குறையும் (எ.கா., 50, 45, 40, 35 → d = -5).

2. Non-integer d கொண்ட AP: common difference fractional ஆக இருக்கலாம் (எ.கா., 1.5, 2.25, 3.0 → d = 0.75).

3. Long pattern-களில் மறைந்துள்ள AP: ஒவ்வொரு 2-வது அல்லது 3-வது term-ல் AP இருக்கலாம் (sub-series extraction பயன்படுத்துங்கள்).

Trick to Always Use

  • முதலில் எப்போதும் consecutive differences-ஐ கணக்கிடுங்கள் (இரண்டு அல்லது மூன்று gaps-ஐ விரைவாக பாருங்கள்).
  • Differences constant ஆக இருந்தால், Next = Last + d பயன்படுத்துங்கள்; இல்லையெனில் alternating sub-series அல்லது higher differences-ஐ சரிபாருங்கள்.

Summary

Summary

  • Common difference (d)-ஐ இரண்டு consecutive terms-ஐ கழித்து கண்டுபிடியுங்கள்.
  • d constant ஆக இருந்தால், series AP; அடுத்த term = last term + d (அல்லது an = a1 + (n - 1)d).
  • Decreasing AP-க்கு d negative ஆக இருக்கும் - அதே add rule-ஐ பயன்படுத்தினால் numeric-ஆக கழிக்கப்படும்.
  • Differences constant இல்லை என்றால், sub-series-ஆக பிரிக்கவும் அல்லது higher-order differences-ஐ பார்க்கவும்.

நினைவில் கொள்ள உதாரணம்:
Series: 3, 7, 11, 15 → d = 4 → Next = 19

Practice

(1/5)
1. Find the next number in the series: 4, 8, 12, 16, ?
easy
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24

Solution

  1. Step 1: Identify the difference

    8 - 4 = 4, 12 - 8 = 4, 16 - 12 = 4 → constant difference d = 4.

  2. Step 2: Apply AP rule

    Next term = Last term + d = 16 + 4 = 20.

  3. Final Answer:

    20 → Option B

  4. Quick Check:

    All terms differ by 4 → consistent AP ✅
Hint: Check for constant addition or subtraction between terms.
Common Mistakes: Adding a different number assuming pattern changes.
2. Find the missing term: 10, 15, 20, 25, ?
easy
A. 30
B. 32
C. 35
D. 28

Solution

  1. Step 1: Identify difference

    15 - 10 = 5, 20 - 15 = 5, 25 - 20 = 5.

  2. Step 2: Apply AP formula

    Next term = Last + d = 25 + 5 = 30.

  3. Final Answer:

    30 → Option A

  4. Quick Check:

    All differences are 5 → correct AP ✅
Hint: When differences are same, just add once more to get next term.
Common Mistakes: Adding variable gaps instead of constant difference.
3. Find the next term: 50, 45, 40, 35, ?
easy
A. 25
B. 30
C. 32
D. 28

Solution

  1. Step 1: Compute differences

    45 - 50 = -5, 40 - 45 = -5, 35 - 40 = -5 → constant d = -5.

  2. Step 2: Apply AP rule

    Next term = 35 + (-5) = 30.

  3. Final Answer:

    30 → Option B

  4. Quick Check:

    All terms reduce by 5 → correct AP ✅
Hint: Negative difference means decreasing AP - subtract constant difference.
Common Mistakes: Adding instead of subtracting when the sequence is decreasing.
4. Find the next number: 7, 14, 21, 28, ?
medium
A. 32
B. 33
C. 35
D. 36

Solution

  1. Step 1: Find difference

    14 - 7 = 7, 21 - 14 = 7, 28 - 21 = 7 → constant difference d = 7.

  2. Step 2: Apply AP formula

    Next term = 28 + 7 = 35.

  3. Final Answer:

    35 → Option C

  4. Quick Check:

    Each term increases by 7 → correct AP ✅
Hint: Always check first two differences; if same, continue pattern.
Common Mistakes: Assuming multiplication instead of addition in simple AP.
5. Find the missing term: 3, 9, 15, 21, ?
medium
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28

Solution

  1. Step 1: Find difference

    9 - 3 = 6, 15 - 9 = 6, 21 - 15 = 6 → constant d = 6.

  2. Step 2: Apply AP rule

    Next term = 21 + 6 = 27.

  3. Final Answer:

    27 → Option C

  4. Quick Check:

    All differences = 6 → correct AP ✅
Hint: Once difference found, keep adding same value - simple AP logic.
Common Mistakes: Overthinking - no complex pattern, only constant addition.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes