Introduction
Geometric Progression (GP) என்பது ஒரு அடிப்படை number-series pattern ஆகும். இதில் ஒவ்வொரு term-மும் முந்தைய term-ஐ ஒரு நிரந்தர எண்ணால் பெருக்குவதாலோ அல்லது பகுப்பதாலோ பெறப்படுகிறது. GP patterns-ஐ அடையாளம் காண்பது ratio-based மற்றும் growth-type series கேள்விகளை விரைவாக தீர்க்க உதவுகிறது - இது Reasoning மற்றும் Quantitative sections இரண்டிலும் மிகவும் பயனுள்ளது.
Pattern: Geometric Progression (GP Series)
Pattern
முக்கியக் கருத்து: ஒவ்வொரு term-மும் முந்தைய term-ஐ ஒரு நிரந்தர மதிப்பால் பெருக்கி அல்லது பகுத்து பெறப்படுகிறது - அந்த நிரந்தர மதிப்பை common ratio (r) என்று அழைக்கிறோம்.
முதல் term a1 என்றும், common ratio r என்றும் இருந்தால், series இவ்வாறு அமையும்:
a1, a1×r, a1×r², a1×r³, …
Formulas to Remember:
• n-th term: an = a1 × rn-1
• Common ratio: r = a2 ÷ a1
• Sum of first n terms: Sn = a1 × (rn - 1) ÷ (r - 1) (r ≠ 1 ஆக இருந்தால்)
• |r| < 1 மற்றும் n → ∞ என்றால், Sum to infinity: S = a1 ÷ (1 - r)
Key Notes:
• r > 1 என்றால், series வேகமாக அதிகரிக்கும் (growth pattern).
• 0 < r < 1 என்றால், series மெதுவாக குறையும்.
• r = 1 என்றால், எல்லா terms-உம் சமம் (constant series).
• r negative ஆக இருந்தால், terms positive மற்றும் negative ஆக மாறிமாறி வரும்.
Step-by-Step Example
Question
கீழ்காணும் series-ல் அடுத்த term-ஐ கண்டுபிடியுங்கள்: 3, 6, 12, 24, ?
Solution
-
Step 1: Common ratio (r)-ஐ கண்டறியுங்கள்
ஒவ்வொரு term-ஐ முந்தைய term-ஆல் பகுக்கவும்: 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2 → common ratio r = 2. -
Step 2: GP rule-ஐ பயன்படுத்துங்கள்
Next term = Last term × r = 24 × 2 = 48. -
Final Answer:
48 -
Quick Check:
ஒவ்வொரு term-மும் முந்தையதை இரட்டிப்பு செய்கிறது: 3 → 6 → 12 → 24 → 48 ✅
Quick Variations
1. Decreasing GP: terms ஒரு நிரந்தர எண்ணால் பகுக்கப்படும் (எ.கா., 128, 64, 32 → r = 1/2).
2. Alternating GP: ratio negative ஆக இருக்கும் (எ.கா., 2, -4, 8, -16 → r = -2).
3. Fractional GP: terms மெதுவாக 0-ஐ நோக்கி குறையும் (எ.கா., 81, 27, 9, 3 → r = 1/3).
4. GP + AP கலவை: multiplication மற்றும் addition மாறிமாறி வரும் (advanced patterns-ல் சாதாரணம்).
Trick to Always Use
- Consecutive terms-ஐ பகுக்கவும் - ratio constant ஆக இருந்தால், அது GP.
- Next term பெற last term-ஐ ratio (r)-ஆல் பெருக்குங்கள்.
- Ratio sign மாறிமாறி வந்தால், ஒவ்வொரு next term-க்கும் sign மாற்றத்தை கவனிக்கவும்.
Summary
Summary
- Terms இடையே உள்ள நிரந்தர multiplication அல்லது division-ஐ (ratio r) கண்டறியுங்கள்.
- Next term = previous term × r.
- n-th term formula:
an = a1 × rn-1. - Sum-க்கு:
Sn = a1 × (rn - 1)/(r - 1)பயன்படுத்துங்கள்.
நினைவில் கொள்ள உதாரணம்:
Series: 2, 4, 8, 16 → r = 2 → Next = 32
Hint: Divide two consecutive terms - if constant, multiply last term by that ratio.
Common Mistakes: Adding instead of multiplying when ratio pattern is clear.