0
0

Fibonacci Type Series

Introduction

Fibonacci Type Series இல், ஒவ்வொரு புதிய எண்ணும் முந்தைய ஒரு அல்லது இரண்டு எண்களை கூட்டி (சில நேரங்களில் இணைத்து) உருவாக்கப்படும். இவ்வகை pattern, ஒவ்வொரு term மும் அதற்கு முந்தைய term களின் மீது சார்ந்திருக்கும் தொடரை அடையாளம் காணும் உங்கள் திறனை சோதிக்கிறது.

மிக பொதுவான Fibonacci pattern இல், ஒவ்வொரு term மும் முந்தைய இரண்டு term களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். உதாரணம்: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - ஒவ்வொரு term மும் கடந்த இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை.

Pattern: Fibonacci Type Series

Pattern

முக்கிய கருத்து: ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய ஒரு அல்லது இரண்டு எண்களை கூட்டி பெறப்படுகிறது.

வழக்கமான Fibonacci pattern இல்:

Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂
உதாரணம்: கடைசி இரண்டு எண்கள் 3 மற்றும் 5 ஆக இருந்தால், அடுத்த term = 3 + 5 = 8.

மேம்பட்ட variations இல், அடுத்த term பின்வரும் முறைகளில் வரலாம்:

  • கடைசி மூன்று எண்களை கூட்டுதல் (Tribonacci type)
  • மாறி மாறி கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்
  • அல்லது ஒரு term ஐ பெருக்கி அதன் பின் ஒரு constant ஐ சேர்த்தல்

ஒவ்வொரு புதிய term மும் அதற்கு முந்தைய ஒரு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட term களுடன் இணையும் ஒரே மாதிரியான விதியை கண்டறிதலே இலக்கு.

Step-by-Step Example

Question

இந்த series இல் அடுத்த term ஐ கண்டறியவும்: 2, 3, 5, 8, 13, ?

Solution

  1. Step 1: சமீபத்திய term களை கவனிக்கவும்

    கடைசி இரண்டு எண்கள்: 8 மற்றும் 13.

  2. Step 2: Pattern ஐ கண்டறியவும்

    ஒவ்வொரு term மும் முந்தைய இரண்டு term களின் கூட்டுத்தொகையா என்பதை சரிபார்க்கவும்:
    2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13.
    விதி Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ என பொருந்துகிறது.

  3. Step 3: விதியைப் பயன்படுத்தவும்

    அடுத்த term = 8 + 13 = 21.

  4. Final Answer:

    21

  5. Quick Check:

    முந்தைய படிகளை உறுதி செய்யவும்: 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 ✅

Quick Variations

1. Standard Fibonacci: கடைசி இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை.

2. Tribonacci: கடைசி மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகை (உதா., 1, 2, 3, 6, 11, 20...).

3. Mixed Pattern: மாறி மாறி கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் (உதா., +, -, +, -).

4. Multiplicative Mix: ஒரு term ஐ பெருக்கி அதன் பின் ஒரு constant ஐ சேர்த்தல் (உதா., ×2 + 3).

5. Offset Pattern: முதல் மற்றும் மூன்றாவது முந்தைய term களை கூட்டுதல் (உதா., Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₃).

Trick to Always Use

  • Step 1 → தற்போதைய எண் அதற்கு முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையா என்று பார்க்கவும்.
  • Step 2 → இல்லையெனில், கடைசி மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகையை (Tribonacci) சோதிக்கவும்.
  • Step 3 → மாறி வரும் addition/subtraction அல்லது சிறிய constant சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை கவனிக்கவும்.
  • Step 4 → முடிவு எடுக்கும் முன், பல term களில் விதி ஒரே மாதிரியாக பொருந்துகிறதா என்று உறுதி செய்யவும்.

Summary

Summary

  • Fibonacci Series → அடுத்த term = முந்தைய இரண்டு term களின் கூட்டுத்தொகை.
  • Tribonacci அல்லது அதற்கு மேல் → அடுத்த term = 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முந்தைய term களின் கூட்டுத்தொகை.
  • சில versions இல் alternation (add பின்னர் subtract) அல்லது multiplication பயன்படுத்தப்படும்.
  • விதி எல்லா term களிலும் ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறதா என்பதை எப்போதும் உறுதி செய்யவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்: 2, 3, 5, 8, 13, 21 → ஒவ்வொரு term மும் முந்தைய இரண்டு term களின் கூட்டுத்தொகை.

Practice

(1/5)
1. Find the missing term: ?, 2, 3, 5, 8
easy
A. 1
B. 0
C. 4
D. 2

Solution

  1. Step 1: Look at the known terms

    Sequence (from second term): 2, 3, 5, 8.

  2. Step 2: Use reverse Fibonacci

    If Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ then earlier term = later - previous. So missing = 3 - 2 = 1.

  3. Final Answer:

    1 → Option A

  4. Quick Check:

    1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 ✅
Hint: Work backward: subtract to find the earlier term.
Common Mistakes: Trying to add forward instead of subtracting for missing earlier term.
2. Find the next term: 2, 3, 6, 10, 17, ?
easy
A. 26
B. 28
C. 30
D. 29

Solution

  1. Step 1: Test a modified Fibonacci rule

    Check if Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ + 1.

  2. Step 2: Verify initial steps

    2+3+1=6, 3+6+1=10, 6+10+1=17 - rule holds.

  3. Step 3: Compute next term

    Next = 10 + 17 + 1 = 28.

  4. Final Answer:

    28 → Option B

  5. Quick Check:

    Sequence: 2,3,6,10,17,28 → each term = prev + one-before-prev + 1 ✅
Hint: When sums are slightly larger than plain Fibonacci, check for a constant +1/+2 offset.
Common Mistakes: Assuming pure Fibonacci without the small constant offset.
3. Find the next term: 4, 6, 10, 16, 26, ?
easy
A. 40
B. 41
C. 42
D. 43

Solution

  1. Step 1: Test classic Fibonacci addition

    Check whether each term = sum of the previous two.

  2. Step 2: Verify

    4+6=10, 6+10=16, 10+16=26 - rule holds.

  3. Step 3: Compute next

    Next = 16 + 26 = 42.

  4. Final Answer:

    42 → Option C

  5. Quick Check:

    4,6,10,16,26,42 - simple Fibonacci-type addition ✅
Hint: If differences grow, try adding the last two terms.
Common Mistakes: Looking for constant differences instead of summing.
4. Find the next term: 1, 2, 3, 6, 9, 16, ?
medium
A. 25
B. 24
C. 26
D. 27

Solution

  1. Step 1: Identify alternating rule

    Here odd-index terms follow Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂, while even-index terms use Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ + 1.

  2. Step 2: Verify

    1+2=3 (odd), 2+3+1=6 (even), 3+6=9 (odd), 6+9+1=16 (even) - pattern holds.

    3. Step 3: Compute next (odd index)

    Next = 9 + 16 = 25.

  3. Final Answer:

    25 → Option A

  4. Quick Check:

    1,2,3,6,9,16,25 → alternation of +0/+1 offset verified ✅
Hint: Check for alternating small offsets on even/odd positions.
Common Mistakes: Assuming a single uniform rule for all positions.
5. Find the next term: 2, 3, 7, 13, 27, 53, ?
medium
A. 100
B. 101
C. 102
D. 107

Solution

  1. Step 1: Test a multiplicative blend rule

    Try Tₙ = Tₙ₋₁ + 2×Tₙ₋₂.

  2. Step 2: Verify

    2 and 3 → 3 + 2×2 = 7, 7 + 2×3 = 13, 13 + 2×7 = 27, 27 + 2×13 = 53 - rule holds.

  3. Step 3: Compute next

    Next = 53 + 2×27 = 53 + 54 = 107.

  4. Final Answer:

    107 → Option D

  5. Quick Check:

    Sequence: 2,3,7,13,27,53,107 - each term = previous + 2×one-before-prev ✅
Hint: If sums grow faster than Fibonacci, try small multiplicative blends (e.g., +2×previous-2).
Common Mistakes: Forcing pure Fibonacci when growth suggests multiplication.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes