0
0

Difference or Double Difference Series

Introduction

Difference or Double Difference Series இல், தொடர்ச்சியான terms களுக்கிடையிலான வேறுபாடுகள் தான் ஒரு pattern ஐப் பின்பற்றும்; terms தாங்களே நேரடி Arithmetic Progression அல்லது Geometric Progression ஆக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. முதல் நிலை வேறுபாடுகள் (first-level differences) நிரந்தரமாக இல்லாவிட்டால், second-level differences (அதாவது double differences) ஐ கணக்கிட்டு pattern ஐ கண்டறிவோம்.

இத்தகைய series கள் reasoning aptitude தேர்வுகளில், எளிய addition அல்லது multiplication ஐ விட ஆழமான எண்ணியல் pattern களை அடையாளம் காணும் திறனை மதிப்பீடு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Pattern: Difference or Double Difference Series

Pattern

முக்கிய கருத்து: தொடர்ச்சியான எண்களுக்கிடையிலான வேறுபாடு தொடர்ந்து மாறினால், அந்த வேறுபாடுகளுக்கிடையிலான வேறுபாட்டை (அதாவது double difference) கண்டறியவும்.

எளிய வார்த்தைகளில் சொன்னால், ஒவ்வொரு term எவ்வளவு அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது என்பதை பார்க்கவும். அந்த அதிகரிப்பு/குறைவு itself ஒரே மாதிரியாக இல்லையெனில், அந்த மாற்றமே எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைப் பாருங்கள் - அதுவே second difference.

Formulas (easy way):
1st Difference (D₁) = T₂ - T₁ → தொடர்ச்சியான இரண்டு terms களுக்கிடையிலான வேறுபாடு.
2nd Difference (D₂) = next D₁ - previous D₁ → தொடர்ச்சியான இரண்டு first differences களுக்கிடையிலான வேறுபாடு.
அனைத்து D₂ மதிப்புகளும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அந்த series ஒரு Quadratic (square number) pattern ஐப் பின்பற்றுகிறது.

Example pattern rule: Tₙ = a × n² + b × n + c (second difference நிரந்தரமாக இருக்கும் போது பயன்படுத்தப்படும்).

Step-by-Step Example

Question

இந்த series இல் அடுத்த term ஐ கண்டறியவும்: 2, 5, 10, 17, 26, ?

Solution

  1. Step 1: First differences ஐ கண்டறியவும்

    5 - 2 = 3, 10 - 5 = 5, 17 - 10 = 7, 26 - 17 = 9 → differences = 3, 5, 7, 9.

  2. Step 2: Second differences ஐ சரிபார்க்கவும்

    5 - 3 = 2, 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2 → second difference நிரந்தரமாக (+2) உள்ளது.

  3. Step 3: விதியைப் பயன்படுத்தவும்

    அடுத்த first difference = 9 + 2 = 11 → அடுத்த term = 26 + 11 = 37.

  4. Final Answer:

    37

  5. Quick Check:

    1st diff: 3, 5, 7, 9, 11 → ஒரே மாதிரியான +2 pattern ✅

Quick Variations

1. First difference நிரந்தரம் → Arithmetic Progression.

2. Second difference நிரந்தரம் → Quadratic (Double Difference) Series.

3. மாறும் difference ஒரு arithmetic pattern ஐப் பின்பற்றினால் → Higher order series.

4. சில நேரங்களில் even மற்றும் odd இடங்களில் மாறி வரும் patterns காணப்படலாம்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → தொடர்ச்சியான terms களின் first difference ஐ கணக்கிடவும்.
  • Step 2 → அது நிரந்தரமாக இல்லையெனில், second (double) difference ஐ கணக்கிடவும்.
  • Step 3 → கடைசி term க்கு அடுத்த difference ஐ சேர்த்து அடுத்த எண்ணை பெறவும்.
  • Step 4 → சரியான quadratic sequences இற்கு n² pattern பொருந்துகிறதா என்று சரிபார்க்கவும்.

Summary

Summary

  • First difference நிரந்தரமாக இல்லாவிட்டால், second difference (D₂) ஐ சோதிக்கவும்.
  • D₂ நிரந்தரமாக இருந்தால், series ஒரு quadratic தொடர்பை பின்பற்றுகிறது.
  • Next term = last term + next first difference.
  • Alternating differences இருப்பின், odd மற்றும் even term patterns இரண்டையும் சரிபார்க்கவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
3, 6, 11, 18, 27 → next = 38 (+3, +5, +7, +9, +11)

Practice

(1/5)
1. Find the next term in the series: 4, 7, 10, 13, ?
easy
A. 16
B. 15
C. 18
D. 14

Solution

  1. Step 1: Find first differences

    7 - 4 = 3, 10 - 7 = 3, 13 - 10 = 3 → first differences = 3, 3, 3.

  2. Step 2: Observe pattern

    First differences are constant (+3) → it's an AP.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next term = 13 + 3 = 16.

  4. Final Answer:

    16 → Option A

  5. Quick Check:

    Adding +3 each step: 4,7,10,13,16 ✅
Hint: If first differences are constant, it's an AP - just add the common difference.
Common Mistakes: Looking for a more complex rule when a simple AP exists.
2. Find the next term in the series: 1, 4, 9, 16, ?
easy
A. 25
B. 20
C. 24
D. 26

Solution

  1. Step 1: Try first differences

    4 - 1 = 3, 9 - 4 = 5, 16 - 9 = 7 → first differences = 3,5,7 (not constant).

  2. Step 2: Check second differences

    5 - 3 = 2, 7 - 5 = 2 → second differences constant = +2 → indicates a square pattern.

  3. Step 3: Apply the rule

    Recognize terms as perfect squares: 1², 2², 3², 4² → next = 5² = 25.

  4. Final Answer:

    25 → Option A

  5. Quick Check:

    Squares: 1,4,9,16,25 ✅
Hint: If second differences are constant (+2), check for perfect squares or quadratic form.
Common Mistakes: Assuming first differences must be constant before checking second differences.
3. Find the next term in the series: 20, 17, 13, 8, 2, ?
easy
A. -4
B. -6
C. -7
D. -5

Solution

  1. Step 1: Compute first differences

    17 - 20 = -3, 13 - 17 = -4, 8 - 13 = -5, 2 - 8 = -6 → first differences = -3, -4, -5, -6.

  2. Step 2: Check second differences

    (-4) - (-3) = -1, (-5) - (-4) = -1, (-6) - (-5) = -1 → second differences constant = -1.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next first difference = -6 + (-1) = -7 → Next term = 2 + (-7) = -5.

  4. Final Answer:

    -5 → Option D

  5. Quick Check:

    First diffs: -3,-4,-5,-6,-7 → terms: 20,17,13,8,2,-5 ✅
Hint: Second differences can be negative - use the same rule: extend the second-difference to get the next first-difference.
Common Mistakes: Assuming second differences must be positive; negative constants are valid too.
4. Find the next term in the series: 2, 7, 15, 26, 40, ?
medium
A. 55
B. 57
C. 60
D. 58

Solution

  1. Step 1: Compute first differences

    7 - 2 = 5, 15 - 7 = 8, 26 - 15 = 11, 40 - 26 = 14 → first differences = 5, 8, 11, 14.

  2. Step 2: Check second differences

    8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3, 14 - 11 = 3 → second differences constant = +3.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next first difference = 14 + 3 = 17 → Next term = 40 + 17 = 57.

  4. Final Answer:

    57 → Option B

  5. Quick Check:

    First diffs: 5,8,11,14,17 (↑+3) → terms: 2,7,15,26,40,57 ✅
Hint: If second differences are constant but not +2, extend that second-difference to find the next first-difference.
Common Mistakes: Failing to check second differences when first differences are non-constant.
5. Find the next term in the series: 6, 10, 16, 24, 34, ?
medium
A. 44
B. 45
C. 46
D. 47

Solution

  1. Step 1: Compute first differences

    10 - 6 = 4, 16 - 10 = 6, 24 - 16 = 8, 34 - 24 = 10 → differences = 4, 6, 8, 10.

  2. Step 2: Check second differences

    6 - 4 = 2, 8 - 6 = 2, 10 - 8 = 2 → constant second difference = +2.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next first difference = 10 + 2 = 12 → Next term = 34 + 12 = 46.

  4. Final Answer:

    46 → Option C

  5. Quick Check:

    First diffs: 4,6,8,10,12 → sequence: 6,10,16,24,34,46 ✅
Hint: If first differences grow by +2 each time, extend the pattern and add to last term.
Common Mistakes: Using +10 repeatedly instead of increasing the difference.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes