0
0

Mixed Arithmetic & Geometric Series

Introduction

Mixed Arithmetic & Geometric Series இல், terms இரண்டு விதிகளின் கலவையைப் பின்பற்றும் - ஒன்று arithmetic (ஒரு நிரந்தர எண்ணை கூட்டல் அல்லது கழித்தல்) மற்றும் மற்றொன்று geometric (ஒரு நிரந்தர ratio மூலம் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல்). இத்தகைய series கள், கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் மாற்றங்கள் மாறி மாறி அல்லது தொடர்ச்சியாக பயன்படுத்தப்படும் blended patterns ஐ அடையாளம் காணும் உங்கள் திறனை சோதிக்கின்றன.

×2 + 1, ×3 - 2 போன்ற patterns அல்லது +2, ×2, +3, ×3 போன்ற மாறி வரும் operations காணப்படலாம். எந்த இடத்தில் எந்த operation பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை கண்டறிவதே முக்கியம்.

Pattern: Mixed Arithmetic & Geometric Series

Pattern

முக்கிய கருத்து: ஒரே series இல் addition/subtraction மற்றும் multiplication/division விதிகள் இரண்டும் இருக்கும் - அவை மாறி மாறி அல்லது ஒவ்வொரு படியிலும் இணைந்து செயல்படலாம்.

Formula (general idea):
Tₙ = (Tₙ₋₁ × r) + d அல்லது Tₙ = (Tₙ₋₁ + a) × r
இதில் r = multiplication factor (ratio) மற்றும் d அல்லது a = addition/subtraction constant.

பொதுவான உதாரணங்கள்:
• Multiply செய்து பின்னர் add → ×2 + 1
• Add செய்து பின்னர் multiply → +2 × 2
• ஒவ்வொரு படியிலும் addition மற்றும் multiplication மாறி மாறி வரும்.

Step-by-Step Example

Question

இந்த series இல் அடுத்த term ஐ கண்டறியவும்: 2, 5, 11, 23, ?

Solution

  1. Step 1: Pattern ஐ கவனிக்கவும்

    2 → 5 (+3), 5 → 11 (+6), 11 → 23 (+12). ஒவ்வொரு முறையும் சேர்க்கப்படும் மதிப்பு இரட்டிப்பாகிறது: +3, +6, +12 → அடுத்த addition +24 ஆக இருக்க வேண்டும்.

  2. Step 2: விதியைப் பயன்படுத்தவும்

    23 + 24 = 47 → அடுத்த term = 47.

  3. Step 3: மாற்று logic ஐ சரிபார்க்கவும்

    மாற்றாக, pattern ஐ ×2 + 1 எனவும் பார்க்கலாம்: 2×2+1=5, 5×2+1=11, 11×2+1=23, 23×2+1=47.

  4. Final Answer:

    47

  5. Quick Check:

    2×2+1=5 → 5×2+1=11 → 11×2+1=23 → 23×2+1=47 ✅

Quick Variations

1. நிரந்தர multiplication மற்றும் நிரந்தர addition (உதா., ×2 + 3).

2. Addition மற்றும் multiplication மாறி மாறி வரும் (உதா., +2, ×2, +3, ×3).

3. Multiplication மற்றும் subtraction (உதா., ×3 - 2).

4. 2 அல்லது 3 படிகளுக்கு ஒருமுறை விதிகள் மீண்டும் வரும் complex blends.

Trick to Always Use

  • மாற்றம் + மற்றும் × இடையே மாறுகிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
  • Additive மற்றும் multiplicative differences ஐ தனித்தனியாக எழுதவும்.
  • அவற்றை இணைத்து முயற்சிக்கவும் - உதா., multiply செய்து பின்னர் add, அல்லது add செய்து பின்னர் multiply.
  • முந்தைய அனைத்து terms மீதும் விதி பொருந்துகிறதா என்று சோதித்து உறுதி செய்யவும்.

Summary

Summary

  • Mixed series இல் arithmetic மற்றும் geometric progressions இரண்டும் சேர்ந்து இருக்கும்.
  • மாறி வரும் அல்லது இணைந்த (+, ×) patterns ஐ தேடவும்.
  • Logic ஐ உறுதிப்படுத்த addition மற்றும் multiplication இரண்டையும் பயன்படுத்தி சோதிக்கவும்.
  • குறைந்தது மூன்று தொடர்ச்சியான terms மீது விதி பொருந்துகிறதா என்பதை எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
2, 5, 11, 23 → ×2 + 1 pattern → Next = 47

Practice

(1/5)
1. Find the next term in the series: 2, 6, 14, 30, ?
easy
A. 46
B. 54
C. 62
D. 64

Solution

  1. Step 1: Identify the rule

    The sequence follows the rule: each term = previous term × 2 + 2.

  2. Step 2: Verify the pattern

    2×2+2=6, 6×2+2=14, 14×2+2=30 → pattern holds.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next term = 30×2 + 2 = 62.

  4. Final Answer:

    62 → Option C

  5. Quick Check:

    Sequence: 2,6,14,30,62 (each = previous ×2 + 2) ✅
Hint: Test ×2 + constant when numbers roughly double each step.
Common Mistakes: Missing the additive constant after multiplication.
2. Find the missing number: 3, 6, 13, 28, ?
easy
A. 57
B. 58
C. 59
D. 60

Solution

  1. Step 1: Observe pattern

    Each term = previous term × 2 + increment increasing by +1.

  2. Step 2: Verify

    3×2+0=6, 6×2+1=13, 13×2+2=28 → pattern confirmed.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next = 28×2+3=56+3=59.

  4. Final Answer:

    59 → Option C

  5. Quick Check:

    3,6,13,28,59 ✅
Hint: Identify both the multiplication and growing additive pattern together.
Common Mistakes: Using only the ×2 rule without noticing the increasing addition.
3. Find the next term in the series: 4, 9, 19, 40, ?
medium
A. 81
B. 82
C. 83
D. 84

Solution

  1. Step 1: Observe successive operations

    The operations follow a mixed pattern: 4×2+1=9, 9×2+1=19, 19×2+2=40. The additive increments are +1, +1, +2.

  2. Step 2: Predict next additive increment

    The additive sequence increases slowly: 1, 1, 2 → next increment = 3.

  3. Step 3: Compute next term

    Next term = 40×2 + 3 = 80 + 3 = 83.

  4. Final Answer:

    83 → Option C

  5. Quick Check:

    Operations follow ×2 + (1,1,2,3) → sequence becomes 4, 9, 19, 40, 83.
Hint: When ×2 is consistent but results vary slightly, check if the additive constant grows slowly (e.g., +1, +1, +2, +3).
Common Mistakes: Assuming pure doubling or relying only on first differences instead of checking blended × and + patterns.
4. Find the missing number in the series: 5, 10, 21, 44, ?
medium
A. 91
B. 90
C. 92
D. 93

Solution

  1. Step 1: Observe the rule

    The sequence follows the rule: each term = previous term × 2 + k, where k increases by 1 each step starting at 0.

  2. Step 2: Verify

    5×2+0=10, 10×2+1=21, 21×2+2=44 → additive constants are 0,1,2 respectively.

  3. Step 3: Apply the next increment

    Next additive constant = 3 → Next term = 44×2 + 3 = 88 + 3 = 91.

  4. Final Answer:

    91 → Option A

  5. Quick Check:

    Sequence check: 5,10,21,44,91 (×2 + 0, then +1, then +2, then +3) ✅
Hint: When additive part grows by 1, list the additive constants and extend them.
Common Mistakes: Assuming a fixed additive constant for all steps.
5. Find the next term in the series: 6, 14, 30, 62, ?
medium
A. 126
B. 128
C. 130
D. 132

Solution

  1. Step 1: Recognize pattern

    The rule is: each term = previous ×2 + 2.

  2. Step 2: Verify

    6×2+2=14, 14×2+2=30, 30×2+2=62 → pattern confirmed.

  3. Step 3: Apply rule

    Next = 62 × 2 + 2 = 124 + 2 = 126.

  4. Final Answer:

    126 → Option A

  5. Quick Check:

    Each step doubles then adds 2 → consistent mixed pattern.
Hint: When values nearly double, test ×2 followed by a small addition.
Common Mistakes: Using ×2+1 (wrong) or pure doubling (also wrong).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes