0
0

Missing Term (Formula-Based)

Introduction

Missing Term (Formula-Based) series இல், ஒவ்வொரு term மும் ஒரு தெளிவான mathematical formula அல்லது விதியின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்படும். அந்த formula, term index (n), முந்தைய terms, அல்லது பல operations (powers, factorial, multiplication/addition patterns) ஆகியவற்றை பயன்படுத்தலாம்.

இந்த pattern முக்கியமானது; ஏனெனில் பல exam-style கேள்விகளில் ஒரு சுருக்கமான rule (உதா., Tn = n² + 1 அல்லது Tn = Tn-1 × n) மறைத்து வைக்கப்பட்டிருக்கும், அதை பயன்படுத்தி காணாமல் போன term ஐ கண்டறிய வேண்டும்.

Pattern: Missing Term (Formula-Based)

Pattern

முக்கிய கருத்து: ஒவ்வொரு term ஐ உருவாக்கும் mathematical formula ஐ கண்டறிந்து அல்லது அடையாளம் கண்டு, அதனை பயன்படுத்தி missing value ஐ கணக்கிட வேண்டும்.

Formula (பொதுவாக வரும் வடிவங்கள்):
Tn = a·n + b - linear formula (arithmetic progression).
Tn = a·r^(n-1) - geometric progression.
Tn = an² + bn + c - quadratic formula (second differences பயன்படுத்தவும்).
Tn = Tn-1 · f(n) அல்லது Tn = Tn-1 + g(n) - recursive / formula-based rules.
Index அடிப்படையிலான கேள்விகளில், term ஐ எப்போதும் n (1,2,3,...) இன் function ஆக எழுத முயற்சிக்கவும்.

Step-by-Step Example

Question

Missing term ஐ கண்டறியவும்: 2, 6, 12, 20, ?, 42.

Solution

  1. Step 1: Positions ஐ கவனித்து formulas ஐ முயற்சிக்கவும்

    Terms க்குக் கீழே n = 1,2,3,4,5,6 என்று எழுதவும்: 2, 6, 12, 20, ?, 42. n², n(n+1), n²+1 போன்ற எளிய index-based formulas ஐ சோதிக்கவும்.

  2. Step 2: n(n+1) formula ஐ சோதிக்கவும்

    n = 1..6 இற்கு n(n+1) கணக்கிடுங்கள்: 1·2=2, 2·3=6, 3·4=12, 4·5=20, 5·6=30, 6·7=42. இது கொடுக்கப்பட்ட terms களுடன் பொருந்துகிறது.

  3. Step 3: Missing position இற்கு formula ஐ பயன்படுத்தவும்

    n = 5 → 5·6 = 30.

  4. Final Answer:

    30

  5. Quick Check:

    n(n+1) மூலம் series: 2, 6, 12, 20, 30, 42 → காலியிடத்தைச் சுற்றிய terms அனைத்தும் பொருந்துகின்றன ✅

Quick Variations

1. Index-based polynomials: Tn = an² + bn + c - second differences ஐச் சரிபார்க்கவும்.

2. Factorial போல வேகமாக உயரும் series: Tn = n! அல்லது n! ± k - பெரிய jumps இருக்கும்; factorial cues ஐ கவனிக்கவும்.

3. Recursive formulas: Tn = Tn-1 + p(n) அல்லது × q(n) - தொடர்ச்சியான terms இடையிலான தொடர்பை ஆய்வு செய்யவும்.

4. Index + previous-term கலந்த விதிகள்: Tn = n·Tn-1 அல்லது Tn = Tn-1 + n² போன்றவை.

Trick to Always Use

  • Step 1 → Index substitution முயற்சிக்கவும்: series க்குக் கீழே term positions (1,2,3, ...) எழுதவும்.
  • Step 2 → எளிய வடிவங்களை வரிசையாக சோதிக்கவும்: linear (an+b), n(n+1), squares/cubes, factorials.
  • Step 3 → Differences நிரந்தரமாக இல்லையெனில், first மற்றும் second differences ஐ கணக்கிட்டு quadratic pattern ஐ கண்டறியவும்.
  • Step 4 → Recursive யோசனைகளுக்கு, ratio அல்லது term/previous-term தொடர்புகளைச் சரிபார்க்கவும்.

Summary

Summary

  • Terms ஐ அவற்றின் index (n) function ஆக எழுத முயற்சிக்கவும்.
  • Linear அல்லது quadratic விதிகளை கண்டறிய differences (first/second) ஐ பயன்படுத்தவும்.
  • Index-based formulas பொருந்தாவிட்டால் recursive rules ஐ சோதிக்கவும்.
  • கண்டறிந்த formula யில் value ஐ substitute செய்து அல்லது அருகிலுள்ள terms ஐ சரிபார்த்து answer ஐ உறுதி செய்யவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்: n(n+1) → 2, 6, 12, 20, 30,... - மிகவும் பொதுவாக வரும் formula-based series.

Practice

(1/5)
1. Find the missing term: 7, 10, 13, ?, 19
easy
A. 16
B. 15
C. 18
D. 14

Solution

  1. Step 1: Observe differences

    10 - 7 = 3, 13 - 10 = 3, 19 - ? should also fit the same gap.

  2. Step 2: Identify the formula

    Constant difference → arithmetic progression with common difference d = 3 (linear formula Tₙ = a₁ + (n-1)d).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next term after 13 = 13 + 3 = 16.

  4. Final Answer:

    16 → Option A

  5. Quick Check:

    Sequence with 16: 7,10,13,16,19 → differences all = 3 ✅
Hint: Check first differences; constant difference → arithmetic progression.
Common Mistakes: Assuming a multiplicative rule when differences are constant.
2. Find the missing term: 3, 6, 12, ?, 48
easy
A. 12
B. 24
C. 18
D. 30

Solution

  1. Step 1: Check ratios

    6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 48 ÷ ? should also equal 2 if geometric.

  2. Step 2: Identify the formula

    Common ratio r = 2 → geometric progression Tₙ = a·r^(n-1).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next term after 12 = 12 × 2 = 24.

  4. Final Answer:

    24 → Option B

  5. Quick Check:

    Sequence: 3,6,12,24,48 → each term ×2 ✅
Hint: Test multiplicative ratio (consecutive division) for geometric sequences.
Common Mistakes: Mixing up additive and multiplicative rules.
3. Find the missing term: 2, 5, 10, 17, ?
easy
A. 25
B. 24
C. 26
D. 27

Solution

  1. Step 1: Try index-based formula

    Test n² + 1 for n = 1,2,3,4,...: 1²+1=2, 2²+1=5, 3²+1=10, 4²+1=17.

  2. Step 2: Identify the formula

    So Tₙ = n² + 1 fits the sequence.

  3. Step 3: Apply the rule

    For n = 5 → 5² + 1 = 26.

  4. Final Answer:

    26 → Option C

  5. Quick Check:

    Values: 1²+1,2²+1,3²+1,4²+1,5²+1 → 2,5,10,17,26 ✅
Hint: Try n² ± k or n³ ± k when differences grow non-linearly.
Common Mistakes: Using first differences only - index formulas often use n explicitly.
4. Find the missing term: 6, 11, 18, 27, ?
medium
A. 36
B. 35
C. 40
D. 38

Solution

  1. Step 1: Compute first differences

    11 - 6 = 5, 18 - 11 = 7, 27 - 18 = 9 → D₁ = 5,7,9.

  2. Step 2: Check second differences

    7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2 → constant second difference = +2, indicating a quadratic formula Tₙ = an² + bn + c.

  3. Step 3: Extend the difference sequence

    Next first difference = 9 + 2 = 11 → Next term = 27 + 11 = 38.

  4. Final Answer:

    38 → Option D

  5. Quick Check:

    First diffs 5,7,9,11 → terms 6,11,18,27,38 ✅
Hint: If second differences are constant, use quadratic extension (add same increment to first differences).
Common Mistakes: Forcing arithmetic progression when second differences reveal quadratic behavior.
5. Find the missing term: 2, 6, 24, ?, 720
medium
A. 120
B. 144
C. 96
D. 480

Solution

  1. Step 1: Recognise rapid growth

    Sequence grows very fast: 2 → 6 → 24 → ? → 720. Test factorials: 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720.

  2. Step 2: Identify the formula

    Terms follow n! starting at n=2 (i.e., T₁=2!, T₂=3!, ...).

  3. Step 3: Apply the rule

    Missing term corresponds to 5! = 120.

  4. Final Answer:

    120 → Option A

  5. Quick Check:

    Factorials: 2!,3!,4!,5!,6! → 2,6,24,120,720 ✅
Hint: For very fast growth, test factorials or powers (n! or n^k).
Common Mistakes: Assuming geometric progression when factorial growth is present.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes