0
0

Alternating Pattern Series

Introduction

Alternating Pattern Series என்பது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஒன்றோடொன்று பின்னிய (interleaved) தொடர்களைக் கொண்டதாகும்; ஒவ்வொரு தொடரும் தனித்தனி விதியைப் பின்பற்றும். இத்தகைய தொடர்கள் reasoning தேர்வுகளில் அடிக்கடி காணப்படும்; இதில் ஒற்றை மற்றும் ஜோடி இடங்கள் (அல்லது குழுவாகப் பிரிக்கப்பட்ட இடங்கள்) தனித்தனி sub-series ஆக உருவாகி, அவை தனித்தனியாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட வேண்டும்.

தொடரை சரியாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு sub-series ஐயும் தீர்ப்பதே காணாமல் போன அல்லது அடுத்த term ஐ துல்லியமாக கண்டறிய முக்கிய விசையாகும்.

Pattern: Alternating Pattern Series

Pattern

முக்கிய கருத்து: வேறு வேறு இடங்கள் (odd/even அல்லது குழுவாக்கப்பட்ட indices) தனித்தனி முன்னேற்றங்களைப் பின்பற்றும் - ஒவ்வொன்றையும் தனி தொடராகக் கருதி பின்னர் ஒன்றிணைக்க வேண்டும்.

Formula:
தொடர் இரண்டு arithmetic progressions இடையே மாறி வந்தால்:
aodd,n = a1 + (n - 1)·d1
aeven,n = a2 + (n - 1)·d2
இதில் d1 மற்றும் d2 என்பது முறையே odd மற்றும் even இடங்களுக்கான common difference களை குறிக்கின்றன.

Tip: தொடரை இடங்களின் அடிப்படையில் பிரிக்கவும் (1st, 3rd, 5th → sub-series A; 2nd, 4th, 6th → sub-series B), பின்னர் ஒவ்வொரு sub-series ஐயும் தனித்தனியாக தீர்க்கவும்.

Step-by-Step Example

Question

இந்த series இல் அடுத்த term ஐ கண்டறியவும்: 2, 4, 3, 6, 4, 8, 5, ?

Solution

  1. Step 1: sub-series ஆகப் பிரிக்கவும்

    Odd இட terms (1st, 3rd, 5th, 7th): 2, 3, 4, 5.
    Even இட terms (2nd, 4th, 6th, 8th): 4, 6, 8, ?.

  2. Step 2: ஒவ்வொரு sub-series க்கான pattern ஐ கண்டறியவும்

    Odd sub-series: 2 → 3 → 4 → 5 → வேறுபாடு = +1 (AP with d₁ = 1).
    Even sub-series: 4 → 6 → 8 → ? → வேறுபாடு = +2 (AP with d₂ = 2).

  3. Step 3: அடுத்த term ஐ காண விதியைப் பயன்படுத்தவும்

    Even sub-series இல் அடுத்த term = 8 + 2 = 10.
    காணாமல் போன term 8வது இடத்தில் (even) இருப்பதால், even sub-series முடிவை பயன்படுத்தவும்.

  4. Final Answer:

    10

  5. Quick Check:

    Odd terms: 2, 3, 4, 5 (↑ +1). Even terms: 4, 6, 8, 10 (↑ +2). Combined: 2,4,3,6,4,8,5,10 ✅

Quick Variations

1. Two APs: odd மற்றும் even terms இரண்டும் arithmetic; ஆனால் d வேறுபடும் (மேலுள்ள உதாரணம்).

2. AP & GP mix: ஒரு sub-series arithmetic, மற்றொன்று geometric (உதா., odd: +2, even: ×2).

3. Three-way interleave: 1,4,7... இடங்கள் விதி A; 2,5,8... இடங்கள் விதி B; 3,6,9... இடங்கள் விதி C.

4. Alternating transforms: ஒரு sub-series n² ஆகவும், மற்றொன்று n³ அல்லது n² ± 1 ஆகவும் இருக்கலாம்.

Trick to Always Use

  • Step 1: தொடரை இடங்களின் அடிப்படையில் பிரிக்கவும் (odd/even அல்லது குழுக்கள்).
  • Step 2: ஒவ்வொரு sub-series இலும் உள்ள விதியை கண்டறியவும் (AP, GP, n², போன்றவை).
  • Step 3: காணாமல் போன term எந்த இடத்தில் இருக்கிறதோ, அதற்கேற்ற sub-series ஐ மட்டும் நீட்டிக்கவும்.

Summary

Summary

  • Alternating series பல தனித்தனி விதிகளை மறைத்து வைத்திருக்கும் - முதலில் index அடிப்படையில் பிரிப்பது அவசியம்.
  • ஒவ்வொரு sub-series ஐயும் AP/GP அல்லது அறியப்பட்ட பிற pattern களைப் பயன்படுத்தி தனித்தனியாக தீர்க்கவும்.
  • காணாமல் போன term odd அல்லது even இடமா என்பதைப் பார்த்து சரியான விதியைப் பயன்படுத்தவும்.
  • தீர்த்த பின், pattern ஒரே மாதிரியாக உள்ளதா என்பதை உறுதி செய்ய இரு sub-series களையும் சரிபார்க்கவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
3, 6, 5, 10, 7, 14, ? → Odd terms +2; Even terms +4 → Next = 9

Practice

(1/5)
1. Find the next term in the series: 1, 3, 2, 6, 3, 9, 4, ?
easy
A. 12
B. 11
C. 13
D. 14

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 1, 2, 3, 4. Even-position terms: 3, 6, 9, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series increases by +1. Even sub-series increases by +3 (3 → 6 → 9).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 9 + 3 = 12. The missing term is at the 8th (even) position, so answer = 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option A

  5. Quick Check:

    Odd: 1,2,3,4 (+1); Even: 3,6,9,12 (+3) → Combined sequence holds ✅
Hint: Split into odd/even positions and check small constant steps (+1, +2, +3...).
Common Mistakes: Trying to apply a single rule to the whole sequence instead of splitting.
2. Find the next term in the series: 4, 7, 5, 8, 6, 9, 7, ?
easy
A. 10
B. 9
C. 11
D. 12

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 4, 5, 6, 7. Even-position terms: 7, 8, 9, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: +1 each time. Even sub-series: +1 each time.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 9 + 1 = 10. The missing term is 8th (even), so answer = 10.

  4. Final Answer:

    10 → Option A

  5. Quick Check:

    Odd: 4,5,6,7; Even: 7,8,9,10 → Combined holds ✅
Hint: When both sub-series use the same small increment, extension is straightforward by parity.
Common Mistakes: Overcomplicating with alternate multipliers when simple +1 works.
3. Find the next term in the series: 10, 2, 11, 4, 12, 6, 13, ?
easy
A. 7
B. 8
C. 9
D. 14

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 10, 11, 12, 13. Even-position terms: 2, 4, 6, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: +1 each time. Even sub-series: +2 each time (2 → 4 → 6).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 6 + 2 = 8. The missing term is 8th (even), so answer = 8.

  4. Final Answer:

    8 → Option B

  5. Quick Check:

    Odd: 10,11,12,13; Even: 2,4,6,8 → Combined holds ✅
Hint: Label odd/even subsequences and look for simple +1/+2 patterns.
Common Mistakes: Mixing values across sub-series when predicting the next term.
4. Find the next term in the series: 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, ?
medium
A. 15
B. 16
C. 18
D. 20

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 3, 5, 7, 9. Even-position terms: 6, 10, 14, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: increases by +2. Even sub-series: increases by +4 (6 → 10 → 14).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 14 + 4 = 18. The missing term is 8th (even), so answer = 18.

  4. Final Answer:

    18 → Option C

  5. Quick Check:

    Odd: 3,5,7,9 (+2); Even: 6,10,14,18 (+4) → Combined holds ✅
Hint: When gaps differ (e.g., +2 vs +4), label sub-series and extend the correct one by index.
Common Mistakes: Assuming a single uniform gap for the entire series.
5. Find the next term in the series: 7, 14, 8, 16, 9, 18, 10, ?
medium
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 7, 8, 9, 10. Even-position terms: 14, 16, 18, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: +1 each time. Even sub-series: +2 each time (14 → 16 → 18).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 18 + 2 = 20. The missing term is 8th (even), so answer = 20.

  4. Final Answer:

    20 → Option B

  5. Quick Check:

    Odd: 7,8,9,10 (+1); Even: 14,16,18,20 (+2) → Combined holds ✅
Hint: Always check which sub-series the missing index belongs to before calculating.
Common Mistakes: Swapping odd and even subsequences or mixing their rules.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes