Recommended
Introduction
Distance Between Two Points pattern, ஒரு நபர் அல்லது பொருள் North-South மற்றும் East-West நகர்வுகளால் உருவாகும் இரண்டு இடங்களுக்கிடையேயான நேர்க்கோட்டு தூரத்தை (displacement) கணக்கிடுவது எப்படி என்பதை கற்பிக்கிறது. பல route மற்றும் displacement problems-க்கு இறுதியில் shortest (straight-line) distance-ஐ கண்டுபிடிப்பதே முக்கியம் என்பதால் இது aptitude tests-ல் அடிப்படை திறனாகும்.
இந்த pattern-ஐ நன்றாக கற்றுக்கொண்டால் map, navigation, route-tracing போன்ற கேள்விகளை coordinate thinking மற்றும் Pythagoras theorem கொண்டு வேகமாக தீர்க்க முடியும்.
Pattern: Distance Between Two Points
முக்கியக் கருத்து: நகர்வுகளை perpendicular axes-இல் coordinate மாற்றங்களாகப் பாருங்கள். Straight-line distance = √(Δx² + Δy²), இங்கு Δx மற்றும் Δy என்பது net East-West மற்றும் North-South displacement.
படிகள்:
- நகர்வுகளை signed coordinates-ஆக மாற்றவும் (East/North = positive, West/South = negative - அல்லது எந்த ஒரு நிலையான sign விதியையும் பயன்படுத்தலாம்).
- கூறு திசைகளை தனித்தனியாக கூட்டி net Δx (east-west) மற்றும் net Δy (north-south) பெறவும்.
- Pythagoras பயன்படுத்து: distance = √(Δx² + Δy²).
- Δx, Δy signs-ஐப் பார்த்து magnitude மற்றும் direction (quadrant) இரண்டையும் குறிப்பிடவும்.
Step-by-Step Example
Question
ஒரு நபர் O இடத்தில் இருந்து ஆரம்பித்து 6 km North, பின்னர் 8 km East நடக்கிறார். அவர் O இடத்திலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில், எந்த திசையில் உள்ளார்?
Solution
-
Step 1: Identify coordinate changes
O = (0,0) என எடுத்துக் கொள்வோம்: 6 km North → Δy = +6; 8 km East → Δx = +8. -
Step 2: Compute net displacements
Net Δx = +8 (East), Net Δy = +6 (North). -
Step 3: Apply Pythagoras theorem
Distance = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 km. -
Step 4: Determine direction
Δx > 0 மற்றும் Δy > 0 → first quadrant → direction = North-East (குறிப்பாக arctan(6/8) ≈ 36.87° east-இன் மேற்புறம்). -
Final Answer:
10 km North-East -
Quick Check:
இது 6-8-10 என்ற Pythagorean triple (3-4-5 × 2) → distance = 10 km ✅
Quick Variations
1. North-South, East-West நகர்வுகளில் எதிர்மாறானவை இருந்தால் முதலில் cancel செய்யவும்.
2. நேர் coordinates கொடுத்தால்: points (x₁,y₁), (x₂,y₂) → √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
3. Mixed units (km/m) இருந்தால் computing முன்பு ஒரே unit-க்கு மாற்றவும்.
4. Direction-ஐ angle-ஆக கேட்டால்: tan⁻¹(|Δy/Δx|) கணக்கிட்டு signs கொண்டு quadrant அமைக்கவும்.
Trick to Always Use
- Step 1: எப்போதும் net Δx, Δy values-ஐ sign-களுடன் எழுதுங்கள் (East = +, West = -).
- Step 2: Opposite movements-ஐ cancel செய்து simplified displacement பெறுங்கள்.
- Step 3: Pythagorean triples (3-4-5, 5-12-13 போன்றவை) அறிந்திருந்தால் கணக்குகள் வேகமாகும்.
- Step 4: Direction-க்கு θ = arctan(|Δy/Δx|) கணக்கிட்டு, Δx/Δy signs கொண்டு quadrant-ஐ தீர்மானிக்கவும்.
Summary
- East-West & North-South நகர்வுகளை perpendicular components-ஆக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
- Net displacement எப்போதும் √(Δx² + Δy²) கொண்டு கணக்கிடப்பட வேண்டும்.
- Opposite திசை நகர்வுகளை cancel செய்தால் கணக்கிடுதல் எளிதாகும்.
- திசை தேவைப்பட்டால் tangent ratio அல்லது angle பயன்படுத்தலாம்.
நினைவில் கொள்ள உதாரணம்:
6 km North & 8 km East → Distance = 10 km North-East.