0
0

Distance Between Two Points

Introduction

Distance Between Two Points pattern, ஒரு நபர் அல்லது பொருள் North-South மற்றும் East-West நகர்வுகளால் உருவாகும் இரண்டு இடங்களுக்கிடையேயான நேர்க்கோட்டு தூரத்தை (displacement) கணக்கிடுவது எப்படி என்பதை கற்பிக்கிறது. பல route மற்றும் displacement problems-க்கு இறுதியில் shortest (straight-line) distance-ஐ கண்டுபிடிப்பதே முக்கியம் என்பதால் இது aptitude tests-ல் அடிப்படை திறனாகும்.

இந்த pattern-ஐ நன்றாக கற்றுக்கொண்டால் map, navigation, route-tracing போன்ற கேள்விகளை coordinate thinking மற்றும் Pythagoras theorem கொண்டு வேகமாக தீர்க்க முடியும்.

Pattern: Distance Between Two Points

Pattern

முக்கியக் கருத்து: நகர்வுகளை perpendicular axes-இல் coordinate மாற்றங்களாகப் பாருங்கள். Straight-line distance = √(Δx² + Δy²), இங்கு Δx மற்றும் Δy என்பது net East-West மற்றும் North-South displacement.

படிகள்:

  1. நகர்வுகளை signed coordinates-ஆக மாற்றவும் (East/North = positive, West/South = negative - அல்லது எந்த ஒரு நிலையான sign விதியையும் பயன்படுத்தலாம்).
  2. கூறு திசைகளை தனித்தனியாக கூட்டி net Δx (east-west) மற்றும் net Δy (north-south) பெறவும்.
  3. Pythagoras பயன்படுத்து: distance = √(Δx² + Δy²).
  4. Δx, Δy signs-ஐப் பார்த்து magnitude மற்றும் direction (quadrant) இரண்டையும் குறிப்பிடவும்.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு நபர் O இடத்தில் இருந்து ஆரம்பித்து 6 km North, பின்னர் 8 km East நடக்கிறார். அவர் O இடத்திலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில், எந்த திசையில் உள்ளார்?

Solution

  1. Step 1: Identify coordinate changes

    O = (0,0) என எடுத்துக் கொள்வோம்: 6 km North → Δy = +6; 8 km East → Δx = +8.

  2. Step 2: Compute net displacements

    Net Δx = +8 (East), Net Δy = +6 (North).

  3. Step 3: Apply Pythagoras theorem

    Distance = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 km.

  4. Step 4: Determine direction

    Δx > 0 மற்றும் Δy > 0 → first quadrant → direction = North-East (குறிப்பாக arctan(6/8) ≈ 36.87° east-இன் மேற்புறம்).

  5. Final Answer:

    10 km North-East

  6. Quick Check:

    இது 6-8-10 என்ற Pythagorean triple (3-4-5 × 2) → distance = 10 km ✅

Quick Variations

1. North-South, East-West நகர்வுகளில் எதிர்மாறானவை இருந்தால் முதலில் cancel செய்யவும்.

2. நேர் coordinates கொடுத்தால்: points (x₁,y₁), (x₂,y₂) → √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).

3. Mixed units (km/m) இருந்தால் computing முன்பு ஒரே unit-க்கு மாற்றவும்.

4. Direction-ஐ angle-ஆக கேட்டால்: tan⁻¹(|Δy/Δx|) கணக்கிட்டு signs கொண்டு quadrant அமைக்கவும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: எப்போதும் net Δx, Δy values-ஐ sign-களுடன் எழுதுங்கள் (East = +, West = -).
  • Step 2: Opposite movements-ஐ cancel செய்து simplified displacement பெறுங்கள்.
  • Step 3: Pythagorean triples (3-4-5, 5-12-13 போன்றவை) அறிந்திருந்தால் கணக்குகள் வேகமாகும்.
  • Step 4: Direction-க்கு θ = arctan(|Δy/Δx|) கணக்கிட்டு, Δx/Δy signs கொண்டு quadrant-ஐ தீர்மானிக்கவும்.

Summary

Summary

  • East-West & North-South நகர்வுகளை perpendicular components-ஆக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
  • Net displacement எப்போதும் √(Δx² + Δy²) கொண்டு கணக்கிடப்பட வேண்டும்.
  • Opposite திசை நகர்வுகளை cancel செய்தால் கணக்கிடுதல் எளிதாகும்.
  • திசை தேவைப்பட்டால் tangent ratio அல்லது angle பயன்படுத்தலாம்.

நினைவில் கொள்ள உதாரணம்:
6 km North & 8 km East → Distance = 10 km North-East.

Practice

(1/5)
1. A person walks 3 km North and then 4 km East. What is his straight-line distance from the starting point and in which direction?
easy
A. 5 km North-East
B. 1 km East
C. 7 km North-East
D. √13 km North-East

Solution

  1. Step 1: Record component displacements

    North (Δy) = 3 km; East (Δx) = 4 km.

  2. Step 2: Apply distance formula

    Distance = √(Δx² + Δy²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 km.

  3. Step 3: Determine direction

    Δx > 0 and Δy > 0 → first quadrant → North-East.

  4. Final Answer:

    5 km North-East → Option A

  5. Quick Check:

    Recognise 3-4-5 Pythagorean triple → distance 5 km ✅
Hint: Look for 3-4-5 or other Pythagorean triples to get the distance quickly.
Common Mistakes: Adding component distances instead of using √(Δx²+Δy²).
2. From a point O a person walks 6 km North and then 8 km East. How far is he from O and what is the direction?
easy
A. 12 km North-East
B. 10 km North-East
C. 14 km East
D. √20 km North-East

Solution

  1. Step 1: Note component displacements

    Δy = 6 km (North), Δx = 8 km (East).

  2. Step 2: Compute squared components

    Δx² = 8² = 64; Δy² = 6² = 36.

  3. Step 3: Sum and root

    Distance = √(64 + 36) = √100 = 10 km.

  4. Step 4: Direction

    Both components positive → North-East.

  5. Final Answer:

    10 km North-East → Option B

  6. Quick Check:

    6-8-10 is a scaled 3-4-5 triple → 10 km ✅
Hint: Multiply or recognise common triples (3-4-5 scaled) to avoid heavy arithmetic.
Common Mistakes: Swapping Δx and Δy when stating direction (say East-North instead of North-East).
3. A person goes 8 m West, then 15 m South, then 8 m East. How far and in which direction is he from his starting point?
easy
A. 15 m South
B. 23 m South-West
C. √(8²+15²) m South-East
D. 7 m South

Solution

  1. Step 1: Compute net components

    Horizontal: West 8 + East 8 → they cancel → Δx = 0. Vertical: South 15 → Δy = -15 (South).

  2. Step 2: Distance

    Distance = √(Δx² + Δy²) = √(0² + (-15)²) = √225 = 15 m.

  3. Step 3: Direction

    Δx = 0, Δy < 0 → directly South.

  4. Final Answer:

    15 m South → Option A

  5. Quick Check:

    Horizontal cancel → only 15 m South remains ✅
Hint: Cancel equal opposite horizontal/vertical moves first to simplify result.
Common Mistakes: Using diagonal formula when one component is zero.
4. A runner goes 7 m South and then 24 m East. What is his straight-line distance from the start and which quadrant is he in?
medium
A. 25 m South-West
B. 31 m South-East
C. 25 m South-East
D. 17 m South-East

Solution

  1. Step 1: Components

    Δy = -7 m (South taken negative), Δx = +24 m (East positive).

  2. Step 2: Squares

    Δx² = 24² = 576. Δy² = 7² = 49.

  3. Step 3: Distance

    Distance = √(576 + 49) = √625 = 25 m.

  4. Step 4: Direction/quadrant

    Δx > 0 and Δy < 0 → East and South → South-East quadrant.

  5. Final Answer:

    25 m South-East → Option C

  6. Quick Check:

    7-24-25 is a Pythagorean triple → 25 m ✅
Hint: Watch signs: positive Δx, negative Δy → South-East quadrant.
Common Mistakes: Reporting South-West instead of South-East by ignoring sign of Δx.
5. Starting at P, a person walks 9 km East and then 40 km North. What is his straight-line distance from P?
medium
A. 41 km South-East
B. 31 km North-East
C. 41 km North-West
D. 41 km North-East

Solution

  1. Step 1: Record components

    Δx = +9 km (East), Δy = +40 km (North).

  2. Step 2: Square components

    Δx² = 9² = 81. Δy² = 40² = 1600.

  3. Step 3: Distance

    Distance = √(81 + 1600) = √1681 = 41 km.

  4. Step 4: Direction

    Both positive → North-East.

  5. Final Answer:

    41 km North-East → Option D

  6. Quick Check:

    9-40-41 is a Pythagorean triple → 41 km ✅
Hint: Memorise 9-40-41 and other larger triples to spot distances fast.
Common Mistakes: Forgetting to square before adding or mixing up signs for direction.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes