Recommended
Introduction
Complex Map or Route Puzzle கேள்விகளில், பல படிகளைக் கொண்ட ஒரு பயணம் (multi-step journey) வரைபடத்தில் கொடுக்கப்படும் - இதில் வெவ்வேறு legs, bearings, distances, மற்றும் intermediate stops இருக்கும். இத்தகைய கேள்விகள் displacement, direction sense, vector addition, மற்றும் map-visualization ஆகியவற்றை இணைத்து இறுதி இடம், bearing, அல்லது இடங்களுக்கு இடையிலான distance-ஐ கண்டறியும் திறனை சோதிக்கும்.
இந்த pattern முக்கியமானது; ஏனெனில் பல competitive exams (SSC, CAT, railway exams) இல் intuition-ஐ விட methodical tracing தேவைப்படும் multi-leg route questions அதிகமாக வரும்.
Pattern: Complex Map or Route Puzzle
முக்கியக் கருத்து: முழு route-ஐ வரிசையாக vector components (Δx, Δy) ஆக பிரித்து, ஒரே coordinate system-ஐ பயன்படுத்தி components-ஐ கூட்டுங்கள்; பின்னர் signs மற்றும் Pythagoras மூலம் displacement/bearing-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
Practical rules
- ஒரு fixed origin மற்றும் axis தேர்வு செய்யுங்கள்: East = +x, North = +y. ஒவ்வொரு leg-ஐ (Δx, Δy) ஆக குறிக்கவும்.
- N60°E போன்ற bearings கொடுக்கப்பட்டால், components-ஆக மாற்றுங்கள்: Δx = d·sin(θ), Δy = d·cos(θ) (θ என்பது North-இல் இருந்து East நோக்கி அளவிடப்படும்).
- அனைத்து x-components மற்றும் y-components-ஐ தனித்தனியாக சேர்த்து (ΣΔx, ΣΔy) பெறுங்கள்.
- Straight-line distance = √(ΣΔx² + ΣΔy²). Signs மூலம் quadrant-ஐ தீர்மானித்து, bearing-க்கு arctan(|ΣΔx/ΣΔy|) பயன்படுத்துங்கள்.
- Route-ல் returns அல்லது loops இருந்தால், எதிர் components-ஐ முன்பே cancel செய்து கணக்கை எளிமைப்படுத்துங்கள்.
Step-by-Step Example
Question
City A-இல் இருந்து ஒரு பயணி 10 km North சென்று B-ஐ அடைகிறார், பின்னர் 6 km bearing N60°E கொண்டு C-க்கு, அதன் பின் 8 km East சென்று D-க்கு, இறுதியாக 12 km bearing S30°E கொண்டு E-க்கு செல்கிறார். A-இல் இருந்து E-ன் straight-line distance மற்றும் bearing என்ன?
Solution
Step 1: ஆரம்பம்
A-ஐ origin (0,0) என்று எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். Axis: East = +x, North = +y. ஒவ்வொரு leg-ஐ (Δx, Δy) ஆக மாற்றுங்கள்.Step 2: Leg AB (10 km North)
Δx₁ = 0, Δy₁ = +10 → Position B = (0, 10).Step 3: Leg BC (6 km, bearing N60°E)
N60°E என்றால் North-இல் இருந்து 60° East. Components: Δx₂ = 6·sin(60°) = 3√3 ≈ 5.196; Δy₂ = 6·cos(60°) = 3. Position C = (0 + 3√3, 10 + 3) ≈ (5.196, 13).Step 4: Leg CD (8 km East)
Δx₃ = +8, Δy₃ = 0. Position D ≈ (13.196, 13).Step 5: Leg DE (12 km, bearing S30°E)
S30°E = South-இல் இருந்து 30° East. Δx₄ = 12·sin(30°) = 6. Δy₄ = -12·cos(30°) = -6√3 ≈ -10.392. Position E ≈ (19.196, 2.608).Step 6: A-இல் இருந்து net displacement
ΣΔx = 19.196, ΣΔy = 2.608. Distance AE ≈ √(19.196² + 2.608²) ≈ 19.37 km.Step 7: A-இல் இருந்து bearing
Σx > 0 மற்றும் Σy > 0 → quadrant = North-East. Angle = arctan(19.196 / 2.608) ≈ 82.3°. Bearing ≈ N82.3°E.Final Answer:
Distance ≈ 19.37 km, Bearing ≈ N82.3°EQuick Check:
East component அதிகம், y சிறியது ஆனால் positive → NE quadrant மற்றும் ~19.4 km distance - சரி ✅
Quick Variations
1. Exact bearings-க்கு பதிலாக cardinal turns (எ.கா., right 45°) - முதலில் bearings-ஆக மாற்றுங்கள்.
2. Loops அல்லது retracing legs இருந்தால், components-ஐ cancel செய்து எளிமைப்படுத்துங்கள்.
3. Time-based routes (யார் யாரை சந்திக்கிறார்) - parametric positions பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.
4. City grid maps - தேவைப்பட்டால் Manhattan distance, இல்லையெனில் straight-line answers-க்கு vector method.
Trick to Always Use
- Step 1: ஒவ்வொரு leg-ஐயும் உடனே (Δx, Δy) ஆக மாற்றுங்கள்.
- Step 2: எதிர் components-ஐ முன்பே cancel செய்யுங்கள்.
- Step 3: Bearing-க்கு arctan(|ΣΔx/ΣΔy|) பயன்படுத்தி, signs மூலம் quadrant (NE/NW/SE/SW) தீர்மானிக்கவும்.
Summary
- Route tracing-க்கு முன் origin மற்றும் axes (East = +x, North = +y) நிர்ணயிக்கவும்.
- Bearings-ஐ components-ஆக மாற்றுங்கள்: angle North-இல் இருந்து அளவிடப்பட்டால் sin → East/West, cos → North/South.
- Components-ஐ கூட்டி இறுதி coordinates பெறுங்கள்; distance-க்கு Pythagoras, bearing-க்கு arctan பயன்படுத்துங்கள்.
- Opposite displacements-ஐ முன்பே cancel செய்து கணக்கை வேகமாக்குங்கள்.
நினைவில் கொள்ள உதாரணம்:
ஒவ்வொரு leg-ஐ Δx,Δy ஆக பிரி → கூட்டி → distance = √(ΣΔx² + ΣΔy²) → signs & arctan மூலம் bearing.