0
0

Complex Map or Route Puzzle

Introduction

Complex Map or Route Puzzle கேள்விகளில், பல படிகளைக் கொண்ட ஒரு பயணம் (multi-step journey) வரைபடத்தில் கொடுக்கப்படும் - இதில் வெவ்வேறு legs, bearings, distances, மற்றும் intermediate stops இருக்கும். இத்தகைய கேள்விகள் displacement, direction sense, vector addition, மற்றும் map-visualization ஆகியவற்றை இணைத்து இறுதி இடம், bearing, அல்லது இடங்களுக்கு இடையிலான distance-ஐ கண்டறியும் திறனை சோதிக்கும்.

இந்த pattern முக்கியமானது; ஏனெனில் பல competitive exams (SSC, CAT, railway exams) இல் intuition-ஐ விட methodical tracing தேவைப்படும் multi-leg route questions அதிகமாக வரும்.

Pattern: Complex Map or Route Puzzle

Pattern

முக்கியக் கருத்து: முழு route-ஐ வரிசையாக vector components (Δx, Δy) ஆக பிரித்து, ஒரே coordinate system-ஐ பயன்படுத்தி components-ஐ கூட்டுங்கள்; பின்னர் signs மற்றும் Pythagoras மூலம் displacement/bearing-ஐ கணக்கிடுங்கள்.

Practical rules

  • ஒரு fixed origin மற்றும் axis தேர்வு செய்யுங்கள்: East = +x, North = +y. ஒவ்வொரு leg-ஐ (Δx, Δy) ஆக குறிக்கவும்.
  • N60°E போன்ற bearings கொடுக்கப்பட்டால், components-ஆக மாற்றுங்கள்: Δx = d·sin(θ), Δy = d·cos(θ) (θ என்பது North-இல் இருந்து East நோக்கி அளவிடப்படும்).
  • அனைத்து x-components மற்றும் y-components-ஐ தனித்தனியாக சேர்த்து (ΣΔx, ΣΔy) பெறுங்கள்.
  • Straight-line distance = √(ΣΔx² + ΣΔy²). Signs மூலம் quadrant-ஐ தீர்மானித்து, bearing-க்கு arctan(|ΣΔx/ΣΔy|) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Route-ல் returns அல்லது loops இருந்தால், எதிர் components-ஐ முன்பே cancel செய்து கணக்கை எளிமைப்படுத்துங்கள்.

Step-by-Step Example

Question

City A-இல் இருந்து ஒரு பயணி 10 km North சென்று B-ஐ அடைகிறார், பின்னர் 6 km bearing N60°E கொண்டு C-க்கு, அதன் பின் 8 km East சென்று D-க்கு, இறுதியாக 12 km bearing S30°E கொண்டு E-க்கு செல்கிறார். A-இல் இருந்து E-ன் straight-line distance மற்றும் bearing என்ன?

Solution

  1. Step 1: ஆரம்பம்

    A-ஐ origin (0,0) என்று எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். Axis: East = +x, North = +y. ஒவ்வொரு leg-ஐ (Δx, Δy) ஆக மாற்றுங்கள்.

  2. Step 2: Leg AB (10 km North)

    Δx₁ = 0, Δy₁ = +10 → Position B = (0, 10).

  3. Step 3: Leg BC (6 km, bearing N60°E)

    N60°E என்றால் North-இல் இருந்து 60° East. Components: Δx₂ = 6·sin(60°) = 3√3 ≈ 5.196; Δy₂ = 6·cos(60°) = 3. Position C = (0 + 3√3, 10 + 3) ≈ (5.196, 13).

  4. Step 4: Leg CD (8 km East)

    Δx₃ = +8, Δy₃ = 0. Position D ≈ (13.196, 13).

  5. Step 5: Leg DE (12 km, bearing S30°E)

    S30°E = South-இல் இருந்து 30° East. Δx₄ = 12·sin(30°) = 6. Δy₄ = -12·cos(30°) = -6√3 ≈ -10.392. Position E ≈ (19.196, 2.608).

  6. Step 6: A-இல் இருந்து net displacement

    ΣΔx = 19.196, ΣΔy = 2.608. Distance AE ≈ √(19.196² + 2.608²) ≈ 19.37 km.

  7. Step 7: A-இல் இருந்து bearing

    Σx > 0 மற்றும் Σy > 0 → quadrant = North-East. Angle = arctan(19.196 / 2.608) ≈ 82.3°. Bearing ≈ N82.3°E.

  8. Final Answer:

    Distance ≈ 19.37 km, Bearing ≈ N82.3°E

  9. Quick Check:

    East component அதிகம், y சிறியது ஆனால் positive → NE quadrant மற்றும் ~19.4 km distance - சரி ✅

Quick Variations

1. Exact bearings-க்கு பதிலாக cardinal turns (எ.கா., right 45°) - முதலில் bearings-ஆக மாற்றுங்கள்.

2. Loops அல்லது retracing legs இருந்தால், components-ஐ cancel செய்து எளிமைப்படுத்துங்கள்.

3. Time-based routes (யார் யாரை சந்திக்கிறார்) - parametric positions பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.

4. City grid maps - தேவைப்பட்டால் Manhattan distance, இல்லையெனில் straight-line answers-க்கு vector method.

Trick to Always Use

  • Step 1: ஒவ்வொரு leg-ஐயும் உடனே (Δx, Δy) ஆக மாற்றுங்கள்.
  • Step 2: எதிர் components-ஐ முன்பே cancel செய்யுங்கள்.
  • Step 3: Bearing-க்கு arctan(|ΣΔx/ΣΔy|) பயன்படுத்தி, signs மூலம் quadrant (NE/NW/SE/SW) தீர்மானிக்கவும்.

Summary

Summary

  • Route tracing-க்கு முன் origin மற்றும் axes (East = +x, North = +y) நிர்ணயிக்கவும்.
  • Bearings-ஐ components-ஆக மாற்றுங்கள்: angle North-இல் இருந்து அளவிடப்பட்டால் sin → East/West, cos → North/South.
  • Components-ஐ கூட்டி இறுதி coordinates பெறுங்கள்; distance-க்கு Pythagoras, bearing-க்கு arctan பயன்படுத்துங்கள்.
  • Opposite displacements-ஐ முன்பே cancel செய்து கணக்கை வேகமாக்குங்கள்.

நினைவில் கொள்ள உதாரணம்:
ஒவ்வொரு leg-ஐ Δx,Δy ஆக பிரி → கூட்டி → distance = √(ΣΔx² + ΣΔy²) → signs & arctan மூலம் bearing.

Practice

(1/5)
1. A person travels 8 km North, then 6 km East, and finally 10 km South. What is his final displacement from the starting point (approximate)?
easy
A. 6.3 km South-East
B. 4 km South-East
C. 5.4 km South-West
D. 2 km South-East

Solution

  1. Step 1: Represent each leg as coordinates

    North = +y, East = +x, South = -y.
    Total Δx = +6, Total Δy = (8 - 10) = -2.

  2. Step 2: Compute displacement

    √(6² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40 ≈ 6.32 km.

  3. Step 3: Determine direction

    Positive x (East), Negative y (South) → South-East.

  4. Final Answer:

    6.3 km South-East → Option A

  5. Quick Check:

    East + South → SE; larger east component ✅
Hint: Subtract vertical components and use Pythagoras for final displacement.
Common Mistakes: Adding distances instead of vector subtraction for opposite directions.
2. A person goes 5 km East, then 12 km North, then 5 km West. How far is he from the starting point?
easy
A. 5 km
B. 10 km
C. 13 km
D. 12 km

Solution

  1. Step 1: Compute net movement

    East 5 - West 5 = 0 (cancelled); only 12 km North remains.

  2. Step 2: Displacement

    √(0² + 12²) = 12 km.

  3. Step 3: Check options

    12 km corresponds to the straight-line path.

  4. Final Answer:

    12 km → Option D

  5. Quick Check:

    Horizontal cancelled, only 12 km North ✅
Hint: Cancel exact opposite directions before calculating distance.
Common Mistakes: Forgetting that East-West cancel out completely.
3. A car moves 10 km North, 6 km East, 8 km South, and 6 km West. What is its final position relative to the start?
easy
A. 2 km North
B. 4 km North
C. 2 km South
D. At the same point

Solution

  1. Step 1: Combine vertical

    North 10 - South 8 = 2 km North.

  2. Step 2: Combine horizontal

    East 6 - West 6 = 0.

  3. Step 3: Final position

    2 km North, same longitude.

  4. Final Answer:

    2 km North → Option A

  5. Quick Check:

    Horizontal cancels completely ✅
Hint: Subtract opposite directions before computing displacement.
Common Mistakes: Forgetting to check both axes separately.
4. Ravi travels 6 km North, then 8 km at bearing N45°E. Find his final displacement from the start (approx).
medium
A. 13.0 km
B. 12.5 km
C. 10 km
D. 9.8 km

Solution

  1. Step 1: Break second leg into components

    For N45°E both components are equal: Δx₂ = 8·sin45° = 8/√2 ≈ 5.6569, Δy₂ = 8·cos45° = 8/√2 ≈ 5.6569.

  2. Step 2: Sum totals

    Σx = 0 + 5.6569 = 5.6569; Σy = 6 + 5.6569 = 11.6569.

  3. Step 3: Displacement

    Distance = √(Σx² + Σy²) = √(5.6569² + 11.6569²) ≈ √(32.00 + 135.96) ≈ √167.96 ≈ 12.96 ≈ 13.0 km.

  4. Final Answer:

    13.0 km → Option A

  5. Quick Check:

    Both legs lie in the NE quadrant; combined y (≈11.66) is about twice x (≈5.66), giving hypotenuse ≈13 km ✅
Hint: Resolve the bearing leg into equal x/y components for 45° bearings, then apply Pythagoras.
Common Mistakes: Rounding intermediate components too coarsely or treating the bearing leg as pure N+E without trigonometry.
5. A pilot flies 100 km North, 100 km East, and then 100 km at bearing S45°E. Approximate straight-line distance from start?
medium
A. 141 km
B. 173 km
C. 200 km
D. 224 km

Solution

  1. Step 1: Compute components of each leg

    Leg1: Δx₁=0, Δy₁=+100; Leg2: Δx₂=+100, Δy₂=0; Leg3 (S45°E): Δx₃=100·sin(45)=70.71, Δy₃=-100·cos(45)=-70.71.

  2. Step 2: Net totals

    Σx = 0 + 100 + 70.71 = 170.71; Σy = 100 - 70.71 = 29.29.

  3. Step 3: Displacement

    √(170.71² + 29.29²) ≈ √(29142 + 858) ≈ √30000 = 173.2 km.

  4. Final Answer:

    173 km → Option B

  5. Quick Check:

    Mostly eastward motion → distance ≈ 170+ ✅
Hint: For bearing legs, decompose using sin-cos before summation.
Common Mistakes: Ignoring negative sign for southward component.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes