0
0

Weighted Mean and SD

Introduction

Weighted mean மற்றும் weighted standard deviation என்பது, வெவ்வேறு observations-க்கு வெவ்வேறு முக்கியத்துவம் (weights அல்லது frequencies) இருக்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சமமாகக் கருதாமல், ஒவ்வொரு observation-வும் அதன் weight-ஆல் பெருக்கப்படுகிறது - இது வெவ்வேறு weightage கொண்ட marks, மாறுபட்ட எண்ணிக்கையுள்ள inventory, அல்லது grouped frequency tables போன்றவற்றில் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த pattern முக்கியமானது; ஏனெனில் data points சமமல்லாத அளவில் பங்களிக்கும் போது, இது மேலும் துல்லியமான central value மற்றும் spread-ஐ வழங்குகிறது.

Pattern: Weighted Mean and SD

Pattern

முக்கிய கருத்து: weighted average-ஐ கணக்கிட weights-ஐ பயன்படுத்துங்கள்; weighted variance-ஐ கண்டறிய weighted squared deviations-ஐ கணக்கிட்டு, பின்னர் square root எடுத்தால் weighted SD கிடைக்கும்.

Formulas:
Weighted mean (μ) = (Σ wᵢ × xᵢ) ÷ (Σ wᵢ)
Weighted variance (σ²) = (Σ wᵢ × (xᵢ - μ)²) ÷ (Σ wᵢ)
Weighted standard deviation (σ) = √[ (Σ wᵢ × (xᵢ - μ)²) ÷ (Σ wᵢ) ]

Notes:
• weights frequencies ஆக இருந்தால், இந்த formulas grouped-data formulas-க்கு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
• aptitude problems-க்கு பொதுவாக population form-ஐ (Σw-ஆல் divide செய்வது) பயன்படுத்தவும்; sample correction கேட்கப்பட்டால் மட்டும் வேறு.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு test-இல் மூன்று sections உள்ளன; scores மற்றும் weights பின்வருமாறு: Section A score = 80 (weight 2), Section B score = 70 (weight 3), Section C score = 90 (weight 1). weighted mean மற்றும் weighted standard deviation-ஐ கண்டறியவும்.

Solution

  1. Step 1: values மற்றும் weights-ஐ அடையாளம் காண்க

    Observations x: 80, 70, 90.
    அதற்கான weights w: 2, 3, 1.

  2. Step 2: weighted mean μ-ஐ கணக்கிடுங்கள்

    Σ wᵢ = 2 + 3 + 1 = 6.
    Σ wᵢ × xᵢ = (2×80) + (3×70) + (1×90) = 160 + 210 + 90 = 460.
    Weighted mean μ = 460 ÷ 6 = 76.67 (2 decimals-க்கு round செய்தது).

  3. Step 3: deviations (xᵢ - μ) மற்றும் squared deviations-ஐ கணக்கிடுங்கள்

    80-க்கு: deviation = 80 - 76.67 = 3.33 → squared = 11.09 → weighted = 2 × 11.09 = 22.18.
    70-க்கு: deviation = 70 - 76.67 = -6.67 → squared = 44.49 → weighted = 3 × 44.49 = 133.47.
    90-க்கு: deviation = 90 - 76.67 = 13.33 → squared = 177.69 → weighted = 1 × 177.69 = 177.69.

  4. Step 4: weighted squared deviations-ஐ கூட்டி variance-ஐ கணக்கிடுங்கள்

    Σ wᵢ × (xᵢ - μ)² = 22.18 + 133.47 + 177.69 = 333.34.
    Weighted variance σ² = 333.34 ÷ Σw = 333.34 ÷ 6 = 55.56.

  5. Step 5: weighted standard deviation

    Weighted SD σ = √55.56 ≈ 7.45.

  6. Final Answer:

    Weighted mean ≈ 76.67, Weighted SD ≈ 7.45.

  7. Quick Check:

    Weighted mean, அதிக weight (3) கொண்ட Section B (score 70)-க்கு அருகே நகர்கிறது; அதனால் mean < 80 மற்றும் >70 - 76.67 என்பது நியாயமானது. SD, ஒரு high (90) மற்றும் ஒரு low (70) மதிப்பு இருப்பதால், மிதமான spread-ஐ காட்டுகிறது. ✅

Quick Variations

1. எல்லா weights-உம் சமமாக இருந்தால், weighted mean என்பது simple arithmetic mean-ஆகவும், weighted SD என்பது வழக்கமான SD-ஆகவும் மாறும்.

2. grouped frequency tables-க்கு, ஒவ்வொரு class midpoint-க்கும் frequency-ஐ weight-ஆக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

3. weights-ன் கூட்டுத்தொகை 1 (probability weights) ஆக இருந்தால், அதே formulas பயன்படுத்தலாம்; Σw = 1 என்பதால் variance denominator எளிமையாகும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: முதலில் எப்போதும் Σw-ஐ கணக்கிடுங்கள் - mean மற்றும் variance இரண்டிற்கும் இதுவே divisor.
  • Step 2: Σ(w×x)-ஐ கணக்கிட்டு weighted mean-ஐ விரைவாகப் பெறுங்கள்.
  • Step 3: variance-க்கு Σ(w×(x - μ)²) பயன்படுத்துங்கள்; squared deviations-ஐ கூட்டுவதற்கு முன் அவற்றை weights-ஆல் பெருக்க மறக்க வேண்டாம்.

Summary

Summary

Weighted Mean and SD pattern-இல்:

  • Weighted mean = Σ(w×x) ÷ Σw - weights, முக்கியமான observations-க்கு அருகே centre-ஐ நகர்த்தும்.
  • Weighted variance = Σ[w×(x - μ)²] ÷ Σw; weighted SD = இந்த variance-ன் square root.
  • Frequencies என்பது weights-ன் ஒரு சிறப்பு நிலை; grouped data-க்கும் இதே steps-ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
  • Squared deviations-ஐ கூட்டுவதற்கு முன் அவற்றை weights-ஆல் பெருக்க வேண்டும் - இது அதிகமாக செய்யப்படும் பிழை.

Practice

(1/5)
1. Find the weighted mean of scores 80, 70, 90 with weights 2, 3 and 1 respectively.
easy
A. 76.67
B. 77.50
C. 75.00
D. 74.33

Solution

  1. Step 1: Identify values and weights

    Scores: 80, 70, 90. Weights: 2, 3, 1.

  2. Step 2: Compute Σ(w×x) and Σw

    Σ(w×x) = (2×80) + (3×70) + (1×90) = 160 + 210 + 90 = 460.
    Σw = 2 + 3 + 1 = 6.

  3. Step 3: Weighted mean

    Weighted mean = 460 ÷ 6 = 76.666… ≈ 76.67.

  4. Final Answer:

    76.67 → Option A.

  5. Quick Check:

    Result lies between lowest (70) and highest (90) and is pulled toward the score with larger weight (70) - sensible ✅

Hint: Compute Σ(w×x) then divide by Σw.
Common Mistakes: Forgetting to sum weights or using equal weights by mistake.
2. Given grouped data midpoints 10, 20, 30 with frequencies 2, 3, 5 respectively, find the mean (use frequencies as weights).
easy
A. 22.00
B. 23.00
C. 21.50
D. 24.00

Solution

  1. Step 1: Treat frequencies as weights

    Values x: 10, 20, 30. Weights f: 2, 3, 5.

  2. Step 2: Compute Σ(f×x) and Σf

    Σ(f×x) = (2×10) + (3×20) + (5×30) = 20 + 60 + 150 = 230.
    Σf = 2 + 3 + 5 = 10.

  3. Step 3: Weighted mean

    Mean = 230 ÷ 10 = 23.00.

  4. Final Answer:

    23.00 → Option B.

  5. Quick Check:

    Most weight is on 30 so mean > 20 - 23 fits ✅

Hint: Frequencies act as weights; use Σ(f×x)/Σf.
Common Mistakes: Dividing by number of classes instead of total frequency.
3. Find the weighted standard deviation for values 2, 4, 6 with weights 1, 1, 2 respectively (round to 2 decimals).
medium
A. 1.50
B. 1.25
C. 1.80
D. 1.66

Solution

  1. Step 1: Compute weighted mean

    Σ(w×x) = (1×2)+(1×4)+(2×6)=2+4+12=18. Σw = 1+1+2=4.
    Weighted mean μ = 18 ÷ 4 = 4.5.

  2. Step 2: Compute weighted squared deviations

    For 2: (2-4.5)² = 6.25 → weighted = 1×6.25 = 6.25.
    For 4: (4-4.5)² = 0.25 → weighted = 1×0.25 = 0.25.
    For 6: (6-4.5)² = 2.25 → weighted = 2×2.25 = 4.50.
    Σw×(x-μ)² = 6.25 + 0.25 + 4.50 = 11.00.

  3. Step 3: Weighted variance & SD

    Variance = 11.00 ÷ Σw = 11.00 ÷ 4 = 2.75.
    SD = √2.75 ≈ 1.6583 ≈ 1.66.

  4. Final Answer:

    1.66 → Option D.

  5. Quick Check:

    SD small since values are close; heavier weight on 6 pulls mean up - calculation consistent ✅

Hint: Compute μ first, then Σ[w×(x-μ)²] ÷ Σw, then square-root.
Common Mistakes: Forgetting to multiply squared deviations by weights before summing.
4. An exam has three sections with weights 30%, 30%, 40%. Scores: 78, 82, 90. Find the weighted mean score.
medium
A. 84.00
B. 83.40
C. 82.60
D. 85.00

Solution

  1. Step 1: Convert percentage weights to decimals

    Weights: 0.30, 0.30, 0.40.

  2. Step 2: Compute weighted sum

    Weighted sum = 0.30×78 + 0.30×82 + 0.40×90 = 23.4 + 24.6 + 36 = 84.0.

  3. Step 3: Weighted mean

    Weighted mean = 84.0 (weights sum to 1).

  4. Final Answer:

    84.00 → Option A.

  5. Quick Check:

    Highest weight on 90 pulls mean upward; 84 is between 82 and 90 - sensible ✅

Hint: If weights sum to 1, the weighted mean is just Σ(w×x).
Common Mistakes: Forgetting to convert percentages to decimals or not ensuring weights sum to 1.
5. Values 10, 20, 30 have weights 2, 3, 5 respectively. Find the weighted standard deviation (round to 2 decimals).
medium
A. 7.55
B. 8.00
C. 7.81
D. 9.00

Solution

  1. Step 1: Compute weighted mean

    Σ(w×x) = (2×10)+(3×20)+(5×30)=20+60+150=230. Σw=2+3+5=10.
    Weighted mean μ = 230 ÷ 10 = 23.0.

  2. Step 2: Compute weighted squared deviations

    For 10: (10-23)² = 169 → weighted = 2×169 = 338.
    For 20: (20-23)² = 9 → weighted = 3×9 = 27.
    For 30: (30-23)² = 49 → weighted = 5×49 = 245.
    Σw×(x-μ)² = 338 + 27 + 245 = 610.

  3. Step 3: Weighted variance & SD

    Variance = 610 ÷ 10 = 61. SD = √61 ≈ 7.81.

  4. Final Answer:

    7.81 → Option C.

  5. Quick Check:

    Distribution spans 10-30; weighted mean 23 and SD ≈ 7.81 are consistent ✅

Hint: Do Σ(w×x) then Σ[w×(x-μ)²] ÷ Σw, then sqrt.
Common Mistakes: Using unweighted variance formula or dividing by number of unique values instead of Σw.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes