Introduction
சில நேரங்களில், இரண்டு தனித்தனி observation groups ஒன்றாக இணைக்கப்படும் போது, அவற்றின் combined standard deviation ஐ கண்டறிய வேண்டும். combined SD என்பது ஒவ்வொரு group இன் size, mean மற்றும் variance ஆகியவற்றை பயன்படுத்துகிறது - இது group உள்ளேயான spread மற்றும் group means இடையிலான மாற்றத்தையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.
class scores, batch measurements, அல்லது இரண்டு subgroups இன் sample results ஒன்றாக சேர்க்கப்படும் problems இல் இந்த pattern மிகவும் முக்கியமானது.
Pattern: Combined Standard Deviation (Two Data Sets)
Pattern
Key concept: Combined variance = (ஒவ்வொரு group இன் variance + group mean மற்றும் combined mean இடையிலான squared difference) ஆகியவற்றின் weighted sum ÷ total size. SD = combined variance இன் square root.
Group 1 க்கு size n₁, mean x̄₁, SD σ₁ உள்ளது.
Group 2 க்கு size n₂, mean x̄₂, SD σ₂ உள்ளது.
Combined mean:
x̄ = (n₁ × x̄₁ + n₂ × x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)
Combined variance formula:
σ² = [ n₁ × (σ₁² + (x̄₁ - x̄)²) + n₂ × (σ₂² + (x̄₂ - x̄)²) ] ÷ (n₁ + n₂)
Combined standard deviation:
σ = √σ²
Step-by-Step Example
Question
Class A: n₁ = 10 students, mean = 50, SD = 4.
Class B: n₂ = 15 students, mean = 55, SD = 5.
அனைத்து 25 students க்கும் combined mean மற்றும் combined standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.
Solution
-
Step 1: combined mean x̄ ஐ கணக்கிடுங்கள்
x̄ = (n₁ × x̄₁ + n₂ × x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)
= (10 × 50 + 15 × 55) ÷ 25
= (500 + 825) ÷ 25 = 1,325 ÷ 25 = 53. -
Step 2: group means மற்றும் combined mean இடையிலான squared deviations ஐ கணக்கிடுங்கள்
(x̄₁ - x̄) = 50 - 53 = -3 → (x̄₁ - x̄)² = 9.
(x̄₂ - x̄) = 55 - 53 = 2 → (x̄₂ - x̄)² = 4. -
Step 3: ஒவ்வொரு group க்கும் n × (σ² + (x̄ - x̄)²) ஐ உருவாக்குங்கள்
Group A க்கு: n₁ × (σ₁² + (x̄₁ - x̄)²) = 10 × (4² + 9) = 10 × (16 + 9) = 10 × 25 = 250.
Group B க்கு: n₂ × (σ₂² + (x̄₂ - x̄)²) = 15 × (5² + 4) = 15 × (25 + 4) = 15 × 29 = 435. -
Step 4: கூட்டி total size மூலம் வகுத்து combined variance ஐ பெறுங்கள்
Total = 250 + 435 = 685.
Combined variance σ² = 685 ÷ (10 + 15) = 685 ÷ 25 = 27.4. -
Step 5: combined SD க்கு square root எடுக்குங்கள்
Combined SD σ = √27.4 ≈ 5.24.
-
Final Answer:
Combined Mean = 53
Combined SD ≈ 5.24 -
Quick Check:
Combined mean (53) என்பது 50 மற்றும் 55 இடையில் உள்ளது - Class B க்கு அருகில் (students அதிகம்).
Combined SD (≈5.24) என்பது 4 மற்றும் 5 இடையில் உள்ளது - mean difference காரணமாக சிறிது அதிகம் ✅
Quick Variations
1. Group sizes சமமாக இருந்தால் (n₁ = n₂), combined mean = means இன் simple average.
2. Group means சமமாக இருந்தால் (x̄₁ = x̄₂), combined variance = [n₁σ₁² + n₂σ₂²] ÷ (n₁ + n₂) ஆக எளிதாகும்.
3. இரண்டு group களை விட அதிகமான groups இருந்தால், எல்லா groups க்கும் nᵢ(σᵢ² + (x̄ᵢ - x̄)²) ஐ கூட்டி, total N மூலம் வகுக்கவும்.
Trick to Always Use
- Step 1: எப்போதும் முதலில் combined mean ஐ கணக்கிடுங்கள் - அது formula இல் தேவையானது.
- Step 2: ஒவ்வொரு bracket இலும் இரண்டு பகுதிகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: within-group variance மற்றும் between-group difference.
- Step 3: பெரிய groups (n அதிகம்) combined SD மீது அதிக தாக்கம் செலுத்தும்.
Summary
Summary
Combined Standard Deviation (Two Data Sets) pattern இல்:
- Combined Mean: (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)
- Combined Variance: [ n₁(σ₁² + (x̄₁ - x̄)²) + n₂(σ₂² + (x̄₂ - x̄)²) ] ÷ (n₁ + n₂)
- Combined SD = √(Combined Variance)
- இந்த formula, within-group spread மற்றும் between-group mean differences இரண்டையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.
Hint: Use weighted average: larger group pulls the combined mean toward its mean.
Common Mistakes: Taking simple average of the two means instead of weighting by group sizes.