0
0

Variance and Standard Deviation Formula (Direct Method)

Introduction

Variance மற்றும் Standard Deviation (SD) என்பது data values தங்களின் mean இலிருந்து எவ்வளவு விலகுகின்றன என்பதை அளவிடும் முக்கியமான measures ஆகும். mean என்பது மைய மதிப்பை காட்டும்; ஆனால் variance மற்றும் standard deviation என்பது அந்த mean ஐ சுற்றி data எவ்வளவு பரவலாக உள்ளது என்பதை காட்டுகிறது.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது data analysis, statistics, மற்றும் consistency, reliability, risk போன்ற aptitude questions இன் பெரும்பாலான தலைப்புகளுக்கான அடிப்படையாக உள்ளது.

Pattern: Variance and Standard Deviation Formula (Direct Method)

Pattern

Key concept: Variance என்பது mean இலிருந்து கிடைக்கும் squared deviations இன் average ஆகும்; Standard Deviation என்பது variance இன் square root ஆகும்.

Formulas:
Variance (σ²) = [ Σ (x - x̄)² ] ÷ n
Standard Deviation (σ) = √(Variance) = √([ Σ (x - x̄)² ] ÷ n)

Step-by-Step Example

Question

5, 7, 9 என்ற எண்ணுகளுக்கான variance மற்றும் standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: கொடுக்கப்பட்ட data ஐ அடையாளம் காணுங்கள்

    Data: 5, 7, 9
    Number of items (n) = 3

  2. Step 2: mean (x̄) ஐ கணக்கிடுங்கள்

    Mean (x̄) = (5 + 7 + 9) ÷ 3 = 21 ÷ 3 = 7

  3. Step 3: ஒவ்வொரு deviation (x - x̄) மற்றும் அதன் square ஐ கண்டறியுங்கள்

    Deviation மற்றும் Square Calculation
    Value (x)Deviation (x - 7)(x - 7)²
    5-24
    700
    9+24

  4. Step 4: variance formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்

    Variance (σ²) = (4 + 0 + 4) ÷ 3 = 8 ÷ 3 = 2.67

  5. Step 5: standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்

    Standard Deviation (σ) = √(2.67) ≈ 1.63

  6. Final Answer:

    Variance = 2.67
    Standard Deviation = 1.63

  7. Quick Check:

    அனைத்து எண்ணுகளும் mean (7) க்கு அருகில் இருப்பதால், SD குறைவாக (≈1.6) உள்ளது ✅

Quick Variations

1. பெரிய datasets க்கு, அதிக observations உடன் அதே formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்.

2. data க்கு frequencies இருந்தால், ஒவ்வொரு (x - mean)² ஐ அதன் frequency யுடன் பெருக்கி பிறகு sum செய்யுங்கள்.

3. values சம இடைவெளியில் இருந்தால், variance மற்றும் SD ஐ வேகமாக கணக்கிட pattern shortcuts ஐ பயன்படுத்தலாம்.

Trick to Always Use

  • Step 1: mean ஐ கணக்கிடுங்கள் - deviation calculations அனைத்திற்கும் இது அடிப்படை.
  • Step 2: ஒவ்வொரு deviation (x - mean) ஐ கண்டறிந்து, square செய்து, அனைத்தையும் கூட்டுங்கள்.
  • Step 3: squared deviations மொத்தத்தை items எண்ணிக்கையால் வகுத்து variance ஐ பெறுங்கள்.
  • Step 4: variance இன் square root எடுத்து standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.

Summary

Summary

Variance மற்றும் Standard Deviation (Direct Method) pattern இல்:

  • Variance = mean இலிருந்து வரும் squared deviations இன் average.
  • Standard Deviation = variance இன் square root.
  • SD குறைவாக இருந்தால் → data நெருக்கமாக இருக்கும்; SD அதிகமாக இருந்தால் → data அதிகமாக பரவியிருக்கும்.
  • எப்போதும் முதலில் mean ஐ கணக்கிட்டு, பின்னர் deviations ஐ காணுங்கள்.
  • Aptitude questions இல், குறைந்த SD என்பது data இல் அதிக consistency அல்லது stability இருப்பதை குறிக்கிறது.

Practice

(1/5)
1. Find the variance and standard deviation for the numbers 2, 4, and 6.
easy
A. Variance=2.67, SD=1.63
B. Variance=3, SD=1.73
C. Variance=4, SD=2
D. Variance=2, SD=1.41

Solution

  1. Step 1: Identify the data

    Numbers = 2, 4, 6; n = 3.

  2. Step 2: Find the mean

    Mean = (2 + 4 + 6) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4.

  3. Step 3: Compute deviations and squares

    Deviations: 2-4=-2, 4-4=0, 6-4=+2. Squares: 4, 0, 4.

  4. Step 4: Calculate variance and SD

    Variance = (4 + 0 + 4) ÷ 3 = 8 ÷ 3 = 2.67; SD = √2.67 ≈ 1.63.

  5. Final Answer:

    Variance = 2.67, SD = 1.63 → Option A.

  6. Quick Check:

    Sum of squared deviations = 8; dividing by 3 gives 2.67 ✅
Hint: Find mean first, then average of squared deviations.
Common Mistakes: Taking square root before dividing by n.
2. The numbers are 5, 7, and 9. Find their variance and standard deviation.
easy
A. Variance=3, SD=1.73
B. Variance=2.67, SD=1.63
C. Variance=2, SD=1.41
D. Variance=4, SD=2

Solution

  1. Step 1: Identify data

    Values: 5, 7, 9; n = 3.

  2. Step 2: Find mean

    Mean = (5 + 7 + 9) ÷ 3 = 21 ÷ 3 = 7.

  3. Step 3: Compute deviations and squares

    Deviations: 5-7=-2, 7-7=0, 9-7=+2 → Squares: 4, 0, 4.

  4. Step 4: Calculate variance and SD

    Variance = (4 + 0 + 4) ÷ 3 = 8 ÷ 3 = 2.67; SD = √2.67 ≈ 1.63.

  5. Final Answer:

    Variance = 2.67, SD = 1.63 → Option B.

  6. Quick Check:

    Pattern matches any shift of an evenly spaced trio; variance unchanged ✅
Hint: For equally spaced triplets, shifting all values doesn't change variance.
Common Mistakes: Forgetting to square negative deviations.
3. For the data 10, 20, and 30, find variance and standard deviation.
easy
A. Variance=66.67, SD=8.16
B. Variance=100, SD=10
C. Variance=50, SD=7.07
D. Variance=80, SD=9

Solution

  1. Step 1: Identify data

    Values: 10, 20, 30; n = 3.

  2. Step 2: Find mean

    Mean = (10 + 20 + 30) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20.

  3. Step 3: Calculate deviations and squares

    Deviations: 10-20=-10; 20-20=0; 30-20=+10 → Squares: 100, 0, 100.

  4. Step 4: Apply formula

    Variance = (100 + 0 + 100) ÷ 3 = 200 ÷ 3 = 66.67; SD = √66.67 ≈ 8.16.

  5. Final Answer:

    Variance = 66.67, SD = 8.16 → Option A.

  6. Quick Check:

    Large gaps increase variance; 200 ÷ 3 = 66.67 ✅
Hint: Bigger gaps in data increase variance sharply.
Common Mistakes: Using (n-1) instead of n in denominator for population SD.
4. For 4, 6, 8, and 10, find the variance and standard deviation.
medium
A. Variance=4, SD=2
B. Variance=3.5, SD=1.87
C. Variance=5, SD=2.24
D. Variance=6, SD=2.45

Solution

  1. Step 1: Identify data

    Values = 4, 6, 8, 10; n = 4.

  2. Step 2: Find mean

    Mean = (4 + 6 + 8 + 10) ÷ 4 = 28 ÷ 4 = 7.

  3. Step 3: Compute deviations and squares

    Deviations: 4-7=-3; 6-7=-1; 8-7=+1; 10-7=+3 → Squares: 9, 1, 1, 9.

  4. Step 4: Find variance and SD

    Variance = (9 + 1 + 1 + 9) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5; SD = √5 ≈ 2.24.

  5. Final Answer:

    Variance = 5, SD = 2.24 → Option C.

  6. Quick Check:

    Sum of squared deviations = 20; 20 ÷ 4 = 5 ✅
Hint: Even spacing with more numbers increases precision of mean and SD.
Common Mistakes: Adding squared deviations incorrectly.
5. For the numbers 3, 9, 12, and 18, find the variance and standard deviation.
medium
A. Variance=36.75, SD=6.06
B. Variance=35, SD=5.92
C. Variance=30, SD=5.48
D. Variance=29.25, SD=5.41

Solution

  1. Step 1: Identify given data

    Numbers = 3, 9, 12, 18; n = 4.

  2. Step 2: Find mean

    Mean = (3 + 9 + 12 + 18) ÷ 4 = 42 ÷ 4 = 10.5.

  3. Step 3: Compute deviations and squares

    Deviations: 3-10.5=-7.5; 9-10.5=-1.5; 12-10.5=+1.5; 18-10.5=+7.5 → Squares: 56.25, 2.25, 2.25, 56.25.

  4. Step 4: Calculate variance and SD

    Variance = (56.25 + 2.25 + 2.25 + 56.25) ÷ 4 = 117 ÷ 4 = 29.25; SD = √29.25 ≈ 5.41.

  5. Final Answer:

    Variance = 29.25, SD = 5.41 → Option D.

  6. Quick Check:

    Sum of squared deviations = 117; 117 ÷ 4 = 29.25 ✅
Hint: Use careful decimal handling for means and squares; keep two decimals for SD.
Common Mistakes: Squaring deviations incorrectly or using wrong denominator (n-1).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes