Recommended
Introduction
data class intervals உடன் frequencies ஆக கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், Mean, Variance, மற்றும் Standard Deviation (SD) ஐ கணக்கிட grouped data formulas பயன்படுத்த வேண்டும். இந்த pattern இல், ஒவ்வொரு class இன் midpoints (class marks) மற்றும் frequency weights ஐ பயன்படுத்தி spread மற்றும் dispersion ஐ கணக்கிடுகிறோம்.
marks distribution, income groups, மற்றும் frequency tables போன்றவற்றில் data தனித்தனியாக கொடுக்கப்படாமல் summary ஆக வழங்கப்படும் aptitude மற்றும் statistics questions இல் இந்த method மிகவும் அவசியமானது.
Pattern: Frequency Distribution (Grouped Data)
Key concept: ஒவ்வொரு class க்கும் representative value ஆக midpoints ஐ பயன்படுத்தி, frequencies உடன் weighted formulas ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
Grouped data க்கு,
Mean (x̄) = (Σf×x) ÷ Σf
Variance (σ²) = [Σf(x - x̄)²] ÷ Σf
Standard Deviation (σ) = √[Σf(x - x̄)² ÷ Σf]
Step-by-Step Example
Question
கீழ்காணும் அட்டவணை 50 students இன் marks ஐ காட்டுகிறது. அவர்களின் marks க்கான standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.
Solution
-
Step 1: class marks (x) ஐ கண்டறியுங்கள்
Class marks (midpoints) = (Lower + Upper) ÷ 2 → 5, 15, 25, 35, 45
-
Step 2: mean (x̄) ஐ கணக்கிடுங்கள்
Σf = 50 Σf×x = (5×5) + (8×15) + (12×25) + (15×35) + (10×45) = 1,440 Mean x̄ = 1,440 ÷ 50 = 28.8
-
Step 3: deviations மற்றும் squared deviations ஐ கணக்கிடுங்கள்
x f (x - 28.8) (x - 28.8)² f(x - 28.8)² 5 5 -23.8 566.4 2,832.0 15 8 -13.8 190.4 1,523.2 25 12 -3.8 14.4 172.8 35 15 6.2 38.4 576.0 45 10 16.2 262.4 2,624.0 -
Step 4: variance formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்
Σf(x - x̄)² = 7,728.0 Variance = 7,728 ÷ 50 = 154.56
-
Step 5: Standard Deviation ஐ கண்டறியுங்கள்
SD = √154.56 = 12.43
-
Final Answer:
Mean = 28.8, Variance = 154.56, SD = 12.43
-
Quick Check:
நடுப்பகுதி classes இல் frequencies அதிகம் → moderate spread (SD ≈ 12.4). ✅
Quick Variations
1. data values பெரியதாக அல்லது repetitive ஆக இருந்தால் assumed mean (A) அல்லது step-deviation method ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
2. சமமான class widths இருந்தால், பொதுவான class width (h) ஐ பயன்படுத்தி calculations ஐ எளிதாக்கலாம்.
3. unequal class widths இருந்தால், எப்போதும் exact frequency மற்றும் actual mean இலிருந்து உள்ள difference ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
Trick to Always Use
- Step 1: deviations ஐ கணக்கிடும் முன் எப்போதும் midpoints ஐ கண்டறியுங்கள்.
- Step 2: mean அல்லது class values பெரியதாக இருந்தால் step-deviation formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
- Step 3: ஒவ்வொரு squared deviation க்கும் frequency (f) ஒரு weight ஆக செயல்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
Summary
Frequency Distribution (Grouped Data) pattern இல்:
- Data, class intervals மற்றும் frequencies ஆக அமைக்கப்படுகிறது.
- Representative values ஆக class marks பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
- Mean = (Σf×x)/Σf, Variance = Σf(x - x̄)²/Σf, SD = √Variance.
- assumed mean அல்லது step-deviation method பெரிய calculations ஐ எளிதாக்குகிறது.
- SD குறைவாக இருந்தால் → mean ஐ சுற்றி data நெருக்கமாக இருக்கும் (அதிக consistency).