0
0

Frequency Distribution (Grouped Data)

Introduction

data class intervals உடன் frequencies ஆக கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், Mean, Variance, மற்றும் Standard Deviation (SD) ஐ கணக்கிட grouped data formulas பயன்படுத்த வேண்டும். இந்த pattern இல், ஒவ்வொரு class இன் midpoints (class marks) மற்றும் frequency weights ஐ பயன்படுத்தி spread மற்றும் dispersion ஐ கணக்கிடுகிறோம்.

marks distribution, income groups, மற்றும் frequency tables போன்றவற்றில் data தனித்தனியாக கொடுக்கப்படாமல் summary ஆக வழங்கப்படும் aptitude மற்றும் statistics questions இல் இந்த method மிகவும் அவசியமானது.

Pattern: Frequency Distribution (Grouped Data)

Pattern

Key concept: ஒவ்வொரு class க்கும் representative value ஆக midpoints ஐ பயன்படுத்தி, frequencies உடன் weighted formulas ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.

Grouped data க்கு, Mean (x̄) = (Σf×x) ÷ Σf
Variance (σ²) = [Σf(x - x̄)²] ÷ Σf
Standard Deviation (σ) = √[Σf(x - x̄)² ÷ Σf]

Step-by-Step Example

Question

கீழ்காணும் அட்டவணை 50 students இன் marks ஐ காட்டுகிறது. அவர்களின் marks க்கான standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: class marks (x) ஐ கண்டறியுங்கள்

    Class marks (midpoints) = (Lower + Upper) ÷ 2 → 5, 15, 25, 35, 45

  2. Step 2: mean (x̄) ஐ கணக்கிடுங்கள்

    Σf = 50 Σf×x = (5×5) + (8×15) + (12×25) + (15×35) + (10×45) = 1,440 Mean x̄ = 1,440 ÷ 50 = 28.8

  3. Step 3: deviations மற்றும் squared deviations ஐ கணக்கிடுங்கள்

    xf(x - 28.8)(x - 28.8)²f(x - 28.8)²
    55-23.8566.42,832.0
    158-13.8190.41,523.2
    2512-3.814.4172.8
    35156.238.4576.0
    451016.2262.42,624.0

  4. Step 4: variance formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்

    Σf(x - x̄)² = 7,728.0 Variance = 7,728 ÷ 50 = 154.56

  5. Step 5: Standard Deviation ஐ கண்டறியுங்கள்

    SD = √154.56 = 12.43

  6. Final Answer:

    Mean = 28.8, Variance = 154.56, SD = 12.43

  7. Quick Check:

    நடுப்பகுதி classes இல் frequencies அதிகம் → moderate spread (SD ≈ 12.4). ✅

Quick Variations

1. data values பெரியதாக அல்லது repetitive ஆக இருந்தால் assumed mean (A) அல்லது step-deviation method ஐ பயன்படுத்துங்கள்.

2. சமமான class widths இருந்தால், பொதுவான class width (h) ஐ பயன்படுத்தி calculations ஐ எளிதாக்கலாம்.

3. unequal class widths இருந்தால், எப்போதும் exact frequency மற்றும் actual mean இலிருந்து உள்ள difference ஐ பயன்படுத்துங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1: deviations ஐ கணக்கிடும் முன் எப்போதும் midpoints ஐ கண்டறியுங்கள்.
  • Step 2: mean அல்லது class values பெரியதாக இருந்தால் step-deviation formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 3: ஒவ்வொரு squared deviation க்கும் frequency (f) ஒரு weight ஆக செயல்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

Summary

Summary

Frequency Distribution (Grouped Data) pattern இல்:

  • Data, class intervals மற்றும் frequencies ஆக அமைக்கப்படுகிறது.
  • Representative values ஆக class marks பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
  • Mean = (Σf×x)/Σf, Variance = Σf(x - x̄)²/Σf, SD = √Variance.
  • assumed mean அல்லது step-deviation method பெரிய calculations ஐ எளிதாக்குகிறது.
  • SD குறைவாக இருந்தால் → mean ஐ சுற்றி data நெருக்கமாக இருக்கும் (அதிக consistency).

Practice

(1/5)
1. The marks of 50 students are grouped as below. Find the mean marks using class midpoints.<br><br>
MarksFrequency (f)
0-105
10-2010
20-3015
30-4012
40-508
easy
A. 26.60
B. 25.40
C. 26.00
D. 27.20

Solution

  1. Step 1: Find class midpoints (x)

    Midpoints: 5, 15, 25, 35, 45.

  2. Step 2: Multiply each midpoint by its frequency

    Σf×x = (5×5) + (10×15) + (15×25) + (12×35) + (8×45) = 25 + 150 + 375 + 420 + 360 = 1,330.

  3. Step 3: Compute mean

    Σf = 50 → Mean = 1,330 ÷ 50 = 26.60.

  4. Final Answer:

    Mean = 26.60 → Option A.

  5. Quick Check:

    The mean is near the 20-30 class (central) and between 25 and 27 → 26.6 is reasonable ✅

Hint: Use class midpoints as representative values for each interval and divide Σ(f×x) by total frequency.
Common Mistakes: Miscomputing Σ(f×x) or dividing by number of classes instead of total frequency.
2. The table shows the income distribution of families. Find the approximate mean income (in thousands).<br><br>
Income (₹ in thousands)Frequency (f)
0-104
10-206
20-3010
30-408
40-502
easy
A. 24.33
B. 26.00
C. 28.00
D. 30.00

Solution

  1. Step 1: Compute midpoints (x)

    Midpoints: 5, 15, 25, 35, 45 (in thousands).

  2. Step 2: Multiply f×x and sum

    Σf×x = (4×5) + (6×15) + (10×25) + (8×35) + (2×45) = 20 + 90 + 250 + 280 + 90 = 730.

  3. Step 3: Compute mean

    Σf = 30 → Mean = 730 ÷ 30 = 24.33 (thousand ₹).

  4. Final Answer:

    Mean ≈ 24.33 → Option A.

  5. Quick Check:

    Most weight is around 20-30 → mean ≈ 24.3 thousand fits ✅

Hint: Always divide Σf×x by total frequency to get the weighted mean.
Common Mistakes: Using class limits instead of midpoints.
3. The following distribution gives the age of workers. Find the mean age.<br><br>
Age (years)Frequency
20-303
30-405
40-507
50-605
easy
A. 40.00
B. 42.00
C. 43.50
D. 46.00

Solution

  1. Step 1: Compute midpoints (x)

    Midpoints: 25, 35, 45, 55.

  2. Step 2: Multiply f×x

    Σf×x = (3×25) + (5×35) + (7×45) + (5×55) = 75 + 175 + 315 + 275 = 840.

  3. Step 3: Compute mean

    Σf = 20 → Mean = 840 ÷ 20 = 42.00 years.

  4. Final Answer:

    Mean age = 42.00 → Option B.

  5. Quick Check:

    Majority of workers are in 40-50 → mean ≈ 42 years makes sense ✅

Hint: Use midpoints to simplify grouped data calculations.
Common Mistakes: Taking lower limits as midpoints.
4. The following shows the distribution of monthly expenses (in thousands). Find the Standard Deviation.<br><br>
Expense (₹ in thousands)Frequency (f)
0-52
5-106
10-158
15-204
medium
A. 4.0
B. 5.2
C. 5.8
D. 4.50

Solution

  1. Step 1: Find class midpoints

    Midpoints: 2.5, 7.5, 12.5, 17.5 (thousand ₹).

  2. Step 2: Compute mean = (Σf×x)/Σf

    Σf×x = (2×2.5)+(6×7.5)+(8×12.5)+(4×17.5) = 5 + 45 + 100 + 70 = 220.
    Σf = 20 → Mean = 220 ÷ 20 = 11.00 (thousand ₹).

  3. Step 3: Compute Σf(x - x̄)²

    Deviations: 2.5-11=-8.5 → sq = 72.25 → ×2 = 144.5
    7.5-11=-3.5 → sq = 12.25 → ×6 = 73.5
    12.5-11=1.5 → sq = 2.25 → ×8 = 18.0
    17.5-11=6.5 → sq = 42.25 → ×4 = 169.0
    Σf(x-x̄)² = 144.5 + 73.5 + 18 + 169 = 405.0.

  4. Step 4: Variance & SD

    Variance = 405.0 ÷ 20 = 20.25 → SD = √20.25 = 4.50 (thousand ₹).

  5. Final Answer:

    SD ≈ 4.50 → Option D.

  6. Quick Check:

    Values cluster around mean (11) → SD ≈ 4.5 thousand is reasonable ✅

Hint: Find mean first, then deviations and variance → SD = √Variance.
Common Mistakes: Forgetting to multiply squared deviations by frequencies.
5. Given frequency distribution of salaries (in thousands), calculate the mean.<br><br>
Salary (₹ in thousands)Frequency
10-203
20-306
30-405
40-504
50-602
medium
A. 34.5
B. 35.0
C. 33.00
D. 36.0

Solution

  1. Step 1: Midpoints

    Midpoints: 15, 25, 35, 45, 55 (thousand ₹).

  2. Step 2: Compute Σf×x

    Σf×x = (3×15)+(6×25)+(5×35)+(4×45)+(2×55) = 45 + 150 + 175 + 180 + 110 = 660.

  3. Step 3: Compute mean

    Σf = 20 → Mean = 660 ÷ 20 = 33.00 (thousand ₹).

  4. Final Answer:

    Mean salary = 33.00 → Option C.

  5. Quick Check:

    Mean lies in 30-40 class as expected → 33 thousand is correct ✅

Hint: Always use midpoints and total frequency to find weighted mean.
Common Mistakes: Using wrong midpoint or missing a class in calculation.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes