0
0

Shortcut (Assumed Mean) Method

Introduction

Assumed Mean (shortcut) method என்பது mean, variance மற்றும் standard deviation ஐ எளிதாக கணக்கிட உதவும் ஒரு புத்திசாலித்தனமான முறை ஆகும், குறிப்பாக numbers பெரியதாக இருந்தால் அல்லது grouped data ஆக இருந்தால். original values உடன் நேரடியாக வேலை செய்வதற்குப் பதிலாக, ஒரு வசதியான எண்ணை (assumed mean) தேர்வு செய்து, அதிலிருந்து வரும் deviations ஐ பயன்படுத்துகிறோம் - இதனால் கணக்குகள் சுருங்கி, பெரிய squares தவிர்க்கப்படுகின்றன. இந்த pattern exam-style questions இல் speed மற்றும் accuracy க்கு மிகவும் முக்கியமானது; குறிப்பாக grouped frequency distributions க்கு.

Pattern: Shortcut (Assumed Mean) Method

Pattern

Key concept: ஒரு assumed mean A ஐ தேர்வு செய்து, deviations d = x - A (அல்லது class mark - A) ஐ கணக்கிட்டு, அந்த சிறிய எண்ணுகளைப் பயன்படுத்தி mean மற்றும் SD ஐ கண்டறிவது.

Ungrouped data (அல்லது class marks) க்கு:
A = assumed mean, di = xi - A, N = total frequency (அல்லது items எண்ணிக்கை).
Mean = A + (Σdi) ÷ N
Variance = [Σ(di)² ÷ N] - [(Σdi ÷ N)²]
SD = √(Variance)

Step-by-Step Example

Question

Marks (class-marks ஆக group செய்யப்பட்டவை) மற்றும் frequencies: 45 (f=2), 50 (f=3), 55 (f=5), 60 (f=4). Assumed mean A = 55 ஐ பயன்படுத்தி shortcut method மூலம் mean மற்றும் standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: Data ஐ பட்டியலிட்டு A ஐ தேர்வு செய்யுங்கள்

    Class marks x: 45, 50, 55, 60. Frequencies f: 2, 3, 5, 4. Assumed mean A = 55.

  2. Step 2: deviations d = x - A மற்றும் f × d ஐ கணக்கிடுங்கள்

    d: 45-55 = -10; 50-55 = -5; 55-55 = 0; 60-55 = +5.
    f×d: 2×(-10)=-20; 3×(-5)=-15; 5×0=0; 4×5=20.

  3. Step 3: f×d² ஐ கணக்கிடுங்கள் (variance க்கு)

    d²: 100, 25, 0, 25.
    f×d²: 2×100=200; 3×25=75; 5×0=0; 4×25=100.

  4. Step 4: Columns ஐ கூட்டி N ஐ கணக்கிடுங்கள்

    Σf = 2 + 3 + 5 + 4 = 14 = N.
    Σ(f×d) = -20 -15 + 0 + 20 = -15.
    Σ(f×d²) = 200 + 75 + 0 + 100 = 375.

  5. Step 5: Assumed mean formula பயன்படுத்தி Mean ஐ கண்டறியுங்கள்

    Mean = A + (Σf×d) ÷ N = 55 + (-15) ÷ 14 ≈ 55 - 1.071 = 53.93.

  6. Step 6: Variance மற்றும் SD ஐ கண்டறியுங்கள்

    Variance = [Σ(f×d²) ÷ N] - [ (Σ(f×d) ÷ N)² ]
    = (375 ÷ 14) - ( (-15 ÷ 14)² )
    = 26.7857 - (1.1489) ≈ 25.6368.
    SD = √25.6368 ≈ 5.06.

  7. Final Answer:

    Mean ≈ 53.93, Standard Deviation ≈ 5.06.

  8. Quick Check:

    A பயன்படுத்தியதால் arithmetic குறைந்தது (d values சிறியது). Direct weighted mean மூலம் மீண்டும் கணக்கிட்டாலும் அதே result கிடைக்கும் - இது correctness ஐ உறுதி செய்கிறது ✅

Quick Variations

1. deviations மிகச் சிறியதாக இருக்க, A ஐ central value (median class mark) க்கு அருகில் தேர்வு செய்யுங்கள்.

2. Continuous class-intervals க்கு, class midpoints ஐ x ஆக கொண்டு frequencies ஐ அதேபோல் பயன்படுத்துங்கள்.

3. Ungrouped பெரிய numbers க்கு, data க்கு அருகிலான round number ஐ A ஆக தேர்வு செய்து d calculations ஐ எளிதாக்குங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1: A ஐ மையத்திற்கு அருகில் (median அல்லது mean estimate) தேர்வு செய்யுங்கள் - d values சிறியதாக இருக்கும்.
  • Step 2: f×d மற்றும் f×d² உடன் மட்டும் வேலை செய்யுங்கள் - பெரிய x values ஐ square செய்வதை தவிர்க்கலாம்.
  • Step 3: Mean = A + (Σf×d) ÷ N, கொடுக்கப்பட்ட Variance formula ஐ பயன்படுத்தி, பின்னர் SD க்கு square root எடுக்குங்கள்.

Summary

Summary

Assumed Mean (Shortcut) Method pattern இல்:

  • Arithmetic ஐ குறைக்க, data center க்கு அருகிலான assumed mean A ஐ தேர்வு செய்யுங்கள்.
  • deviations d = x - A (அல்லது midpoint - A) மற்றும் அவற்றின் frequency-weighted sums ஐ கணக்கிடுங்கள்.
  • Mean = A + (Σf×d) ÷ N; Variance = [Σ(f×d²) ÷ N] - [ (Σ(f×d) ÷ N)² ]; SD = √(Variance).
  • Grouped data அல்லது பெரிய numbers க்கு இந்த method வேகமாகவும், குறைந்த பிழைகளுடனும் இருக்கும்.
  • Result ஐ உறுதி செய்ய எப்போதும் ஒரு quick direct-check (weighted mean அல்லது rough estimate) செய்யுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. The marks of students (class marks) and their frequencies are: 40 (f=2), 50 (f=3), 60 (f=5). Use A = 50. Find the mean using the assumed mean method.
easy
A. 53.00
B. 54.00
C. 55.00
D. 52.00

Solution

  1. Step 1: Compute deviations

    d = x - A → for 40: -10, for 50: 0, for 60: +10.

  2. Step 2: Multiply by frequency

    f×d → (2×-10)=-20; (3×0)=0; (5×10)=50.

  3. Step 3: Sum and apply formula

    Σf×d = (-20 + 0 + 50) = 30; Σf = 2+3+5 = 10.
    Mean = A + (Σf×d ÷ Σf) = 50 + (30 ÷ 10) = 53.00.

  4. Final Answer:

    Mean = 53.00 → Option A.

  5. Quick Check:

    Weighted average is closer to higher-frequency classes (50 & 60) → 53 is reasonable ✅

Hint: Pick A near center; Mean = A + (Σf×d)/Σf.
Common Mistakes: Using x instead of d when summing deviations.
2. Given x: 10, 20, 30 with frequencies f: 1, 3, 2. Take A = 20. Find the mean using the assumed mean method.
easy
A. 21.80
B. 21.67
C. 23.34
D. 24.50

Solution

  1. Step 1: Compute deviations

    d = x - A → (10-20)=-10, (20-20)=0, (30-20)=+10.

  2. Step 2: Multiply by frequency

    1×(-10)=-10, 3×0=0, 2×10=20 → Σf×d = (-10 + 0 + 20) = 10; Σf = 6.

  3. Step 3: Apply formula

    Mean = A + (Σf×d ÷ Σf) = 20 + (10 ÷ 6) = 20 + 1.6667 = 21.67.

  4. Final Answer:

    Mean ≈ 21.67 → Option B.

  5. Quick Check:

    More weight on 20 (freq 3) pulls mean slightly above 20 → 21.67 fits ✅

Hint: Use fractional result for final rounding instead of rounding early.
Common Mistakes: Dividing Σf×d by wrong total frequency.
3. Class marks: 30, 40, 50, 60; frequencies: 3, 5, 4, 2. Take A = 45. Find the mean using the assumed mean method.
easy
A. 43.57
B. 45.00
C. 46.57
D. 47.00

Solution

  1. Step 1: Compute d = x - A

    30-45=-15; 40-45=-5; 50-45=+5; 60-45=+15.

  2. Step 2: Multiply by frequency

    3×(-15)=-45; 5×(-5)=-25; 4×5=20; 2×15=30 → Σf×d = -45-25+20+30 = -20. Σf = 14.

  3. Step 3: Apply formula

    Mean = A + (Σf×d ÷ Σf) = 45 + (-20 ÷ 14) = 45 - 1.4286 = 43.57.

  4. Final Answer:

    Mean ≈ 43.57 → Option A.

  5. Quick Check:

    More weight on lower classes (30 & 40) pulls mean below 45 → 43.57 logical ✅

Hint: Keep negative signs for lower classes when summing f×d.
Common Mistakes: Dropping negative sign in Σf×d computation.
4. Given data x: 5, 10, 15, 20 with f: 4, 6, 8, 2. Using A = 12.5, find the standard deviation (SD) using the shortcut method.
medium
A. 4.74
B. 5.10
C. 4.58
D. 6.12

Solution

  1. Step 1: Compute d = x - A

    d = -7.5, -2.5, +2.5, +7.5.

  2. Step 2: Compute f×d and f×d²

    f×d sum = (4×-7.5)+(6×-2.5)+(8×2.5)+(2×7.5) = -30 -15 +20 +15 = -10.
    f×d² sum = (4×56.25)+(6×6.25)+(8×6.25)+(2×56.25) = 225 + 37.5 + 50 + 112.5 = 425.

  3. Step 3: Variance & SD

    Σf = 20.
    Variance = (Σf×d² ÷ Σf) - (Σf×d ÷ Σf)² = (425 ÷ 20) - (-10 ÷ 20)² = 21.25 - 0.25 = 21.00.
    SD = √21.00 ≈ 4.58.

  4. Final Answer:

    SD ≈ 4.58 → Option C.

  5. Quick Check:

    Variance 21 and SD ≈4.58 matches the spread of d values ✅

Hint: Compute Σf×d and Σf×d² carefully; then apply variance formula.
Common Mistakes: Squaring Σf×d instead of (Σf×d ÷ Σf) when computing variance.
5. The wages (₹) and frequencies are: 10 (3), 20 (5), 30 (7), 40 (5). Take A = 25. Find the SD using the shortcut method.
medium
A. 10.20
B. 9.30
C. 8.70
D. 10.05

Solution

  1. Step 1: Compute d = x - A

    d = -15, -5, +5, +15.

  2. Step 2: Compute f×d and f×d²

    f×d = 3(-15)+5(-5)+7(5)+5(15) = -45 -25 +35 +75 = 40.
    Σf×d² = 3(225)+5(25)+7(25)+5(225) = 675 +125 +175 +1125 = 2100.

  3. Step 3: Variance & SD

    Σf = 20.
    Variance = (2100 ÷ 20) - (40 ÷ 20)² = 105 - 4 = 101.
    SD = √101 ≈ 10.05.

  4. Final Answer:

    SD ≈ 10.05 → Option D.

  5. Quick Check:

    Large spread around A = 25 gives SD ≈ 10 - consistent ✅

Hint: Use A near centre and compute Σf×d and Σf×d² to get variance quickly.
Common Mistakes: Using wrong Σf when dividing squared-sum term.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes