0
0

Effect of Change in Origin and Scale

Introduction

data analysis இல், values பெரும்பாலும் constants ஐ சேர்த்தல் அல்லது பெருக்குதல் மூலம் மாற்றப்படுகின்றன - உதாரணமாக, temperature ஐ Celsius இலிருந்து Fahrenheit ஆக மாற்றுவது அல்லது marks ஐ ஒரு scale இலிருந்து மற்றொரு scale க்கு மாற்றுவது. Effect of Change in Origin and Scale pattern, இப்படியான மாற்றங்கள் mean மற்றும் standard deviation (SD) மீது எவ்வாறு தாக்கம் செலுத்துகின்றன என்பதை புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது.

இந்த concept முக்கியமானது, ஏனெனில் பல real-life datasets வெவ்வேறு units அல்லது reference points இல் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்; இந்த effects ஐ புரிந்துகொண்டால் data ஐ சரியாக compare செய்ய முடியும்.

Pattern: Effect of Change in Origin and Scale

Pattern

Key concept: ஒரு constant ஐ add அல்லது subtract செய்வது அனைத்து data points ஐ shift செய்யும்; ஆனால் spread (பரவல்) மாற்றமில்லை. ஒரு constant ஐ multiply அல்லது divide செய்வது spread ஐ அதற்கு நேரளவாக மாற்றும்.

original data x ஆகவும், புதிய data y = a + b × x ஆகவும் இருப்பதாக எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்.
அப்போது,
New Mean = a + b × (Old Mean)
New Standard Deviation (SD) = |b| × (Old SD)

Step-by-Step Example

Question

50 students இன் marks க்கு mean மற்றும் standard deviation முறையே 40 மற்றும் 10 ஆக உள்ளன. ஒவ்வொரு student இன் mark க்கும் முதலில் 5 சேர்க்கப்பட்டு, பின்னர் 2 மூலம் பெருக்கப்படுகிறது. புதிய mean மற்றும் standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: கொடுக்கப்பட்ட values ஐ அடையாளம் காணுங்கள்

    Old Mean = 40, Old SD = 10
    Added constant (a) = 5, Multiplied constant (b) = 2

  2. Step 2: transformation formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்

    New data, y = a + b × x என்ற formula மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது.

  3. Step 3: புதிய mean ஐ கண்டறியுங்கள்

    New Mean = a + b × (Old Mean)
    = 5 + 2 × 40
    = 5 + 80 = 85

  4. Step 4: புதிய standard deviation ஐ கண்டறியுங்கள்

    New SD = |b| × (Old SD)
    = 2 × 10 = 20

  5. Final Answer:

    New Mean = 85, New SD = 20

  6. Quick Check:

    multiplication மட்டுமே SD ஐ பாதிக்கும்; addition mean ஐ மட்டுமே பாதிக்கும் ✅

Quick Variations

1. ஒரு constant ஐ add/subtract செய்தால் → Mean மாறும்; SD மாறாது.

2. ஒரு constant ஐ multiply/divide செய்தால் → Mean மற்றும் SD இரண்டும் அந்த factor அளவுக்கு மாறும்.

3. °C ↔ °F, cm ↔ m, marks scaling போன்ற unit conversion problems இல் பொதுவாக வரும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: constant add/subtract செய்தால் → mean மட்டும் பாதிக்கப்படும்.
  • Step 2: constant multiply/divide செய்தால் → mean மற்றும் SD இரண்டும் பாதிக்கப்படும்.
  • Step 3: எப்போதும் SD ஐ scale factor இன் absolute value மூலம் பெருக்குங்கள்.

Summary

Summary

Effect of Change in Origin and Scale pattern இல்:

  • ஒரு constant ஐ add அல்லது subtract செய்வது (change in origin) → mean ஐ மட்டும் பாதிக்கும்.
  • ஒரு constant ஐ multiply அல்லது divide செய்வது (change in scale) → mean மற்றும் SD இரண்டையும் பாதிக்கும்.
  • Formula:
    New Mean = a + b × (Old Mean)
    New SD = |b| × (Old SD)
  • Conversions மற்றும் scaled data transformations க்கு மிகவும் பயனுள்ளது.
  • நினைவில் கொள்ளுங்கள்: addition அல்லது subtraction மூலம் SD மாற்றமில்லை.

Practice

(1/5)
1. The mean and SD of 40 students’ marks are 60 and 8 respectively. If 5 marks are added to each student’s score, find the new mean and new SD.
easy
A. Mean=65, SD=8
B. Mean=55, SD=8
C. Mean=65, SD=13
D. Mean=65, SD=10

Solution

  1. Step 1: Identify given values

    Old Mean = 60, Old SD = 8; added constant a = 5.

  2. Step 2: Apply origin rule

    Adding a constant increases the mean by that constant; SD remains unchanged.

  3. Step 3: Compute new mean and SD

    New Mean = 60 + 5 = 65; New SD = 8.

  4. Final Answer:

    Mean = 65, SD = 8 → Option A.

  5. Quick Check:

    Addition shifts mean only; SD stays same ✅
Hint: Addition/subtraction affects only the mean, not SD.
Common Mistakes: Incorrectly scaling the SD when a constant is added.
2. The mean temperature of a city is 25°C with SD 4°C. Convert the data to Fahrenheit (F = 32 + 1.8×C). Find the new SD.
easy
A. 32.7
B. 7.2
C. 45.5
D. 4.89

Solution

  1. Step 1: Identify constants

    Conversion: F = 32 + 1.8 × C → a = 32 (origin), b = 1.8 (scale).

  2. Step 2: Apply scale rule

    SD scales by |b| only (addition does not affect SD).

  3. Step 3: Compute new SD

    New SD = |1.8| × 4 = 7.2.

  4. Final Answer:

    New SD = 7.2 → Option B.

  5. Quick Check:

    Multiplying temperatures by 1.8 increases SD by 1.8× ✅
Hint: Only the multiplier changes SD; ignore additive constants for SD.
Common Mistakes: Adding the constant 32 to SD or forgetting the multiplier.
3. A dataset has Mean = 50 and SD = 5. If all values are multiplied by 3, find the new mean and SD.
easy
A. Mean=150, SD=5
B. Mean=53, SD=8
C. Mean=150, SD=15
D. Mean=50, SD=15

Solution

  1. Step 1: Identify transformation

    Multiplication by 3 → a = 0, b = 3.

  2. Step 2: Apply scale rules

    New Mean = a + b × Old Mean = 0 + 3 × 50 = 150.
    New SD = |b| × Old SD = 3 × 5 = 15.

  3. Final Answer:

    Mean = 150, SD = 15 → Option C.

  4. Quick Check:

    Both mean and SD scale by factor 3 ✅
Hint: Multiplying data by k multiplies mean and SD by |k|.
Common Mistakes: Failing to scale both mean and SD when data are multiplied.
4. The mean and SD of salaries are ₹20,000 and ₹2,000 respectively. If all salaries are reduced by ₹1,000 and then doubled, find the new mean and SD.
medium
A. Mean=₹42,000, SD=₹4,000
B. Mean=₹39,000, SD=₹3,000
C. Mean=₹37,000, SD=₹2,000
D. Mean=₹38,000, SD=₹4,000

Solution

  1. Step 1: Write transformation

    y = 2 × (x - 1000) = 2x - 2000, so a = -2000, b = 2.

  2. Step 2: Apply formulas

    New Mean = a + b × Old Mean = -2000 + 2 × 20000 = -2000 + 40000 = ₹38,000.
    New SD = |b| × Old SD = 2 × 2000 = ₹4,000.

  3. Final Answer:

    Mean = ₹38,000, SD = ₹4,000 → Option D.

  4. Quick Check:

    Subtract shifts mean down by 1000, doubling scales mean and SD by 2 ✅
Hint: Combine subtraction and scaling into y = a + b×x before applying rules.
Common Mistakes: Ignoring the subtract-before-scale order when forming a and b.
5. A dataset has Mean = 40 and SD = 5. If every value is first increased by 10 and then divided by 5, find the new mean and SD.
medium
A. Mean=10, SD=1
B. Mean=12, SD=1
C. Mean=11, SD=1
D. Mean=9, SD=1

Solution

  1. Step 1: Write transformation

    y = (x + 10) ÷ 5 = (1/5)×x + 2, so a = 2 and b = 1/5 = 0.2.

  2. Step 2: Apply formulas

    New Mean = a + b × Old Mean = 2 + 0.2 × 40 = 2 + 8 = 10.
    New SD = |b| × Old SD = 0.2 × 5 = 1.

  3. Final Answer:

    Mean = 10, SD = 1 → Option A.

  4. Quick Check:

    Addition shifts mean by +10 then division scales values by 1/5; SD scales to 1 ✅
Hint: Handle addition first to get a, then apply division to determine b for SD.
Common Mistakes: Reversing the order of operations when computing a and b.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes