Introduction
பல aptitude கேள்விகளில், நீளமான expressions உள்ளே எளிய squares, cubes அல்லது roots மறைந்திருக்கும். perfect squares, perfect cubes ஆகியவற்றை அடையாளம் காணவும், எப்போது square / cube roots எடுக்க வேண்டும் என்பதையும் அறிந்தால், கணக்குகளை விரைவாக எளிமைப்படுத்தி, தேவையற்ற நீண்ட கணக்குகளைத் தவிர்க்கலாம்.
Pattern: Square & Cube Based Simplification
Pattern
Key idea: perfect squares / cubes அல்லது root expressions ஐ முதலில் கண்டறியுங்கள், அவற்றை முதலில் evaluate செய்யுங்கள் (அல்லது powers ஆக மாற்றுங்கள்), பின்னர் மீதமுள்ள arithmetic ஐ படிப்படியாக செய்யுங்கள்.
Step-by-Step Example
Question
எளிமைப்படுத்துங்கள்: √144 + 5³ - 2²
Options:
- A) 120
- B) 128
- C) 133
- D) 140
Solution
-
Step 1: perfect powers ஐ மதிப்பிடுங்கள்
√144 = 12 (ஏனெனில் 12×12 = 144), 5³ = 125 (5×5×5), 2² = 4. -
Step 2: மதிப்புகளை substitute செய்யுங்கள்
expression ஆக மாறுவது: 12 + 125 - 4. -
Step 3: arithmetic செய்யுங்கள்
12 + 125 = 137; 137 - 4 = 133. -
Final Answer:
133 → Option C. -
Quick Check:
√144 ≈ 12, 125, 4 → 12 + 125 - 4 = 133 ✅
Quick Variations
1. Mixed: √81 + 2³ × 3 போன்ற expressions இல் roots மற்றும் powers ஐ முதலில் evaluate செய்யுங்கள்.
2. Fractional powers: a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a - perfect ஆக இருந்தால் நேரடியாக evaluate செய்யுங்கள்.
3. Nested powers: (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ - base ஒரே மாதிரி இருந்தால் exponents ஐ multiply செய்யுங்கள்.
4. Simplification க்கு factorization பயன்படுத்துங்கள்: √(36×5) = 6√5 (root முழுமையாக எடுக்க முடியாதபோது).
Trick to Always Use
- Step 1 → perfect squares (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,...) மற்றும் perfect cubes (1,8,27,64,125,...) ஐ உடனே கவனியுங்கள்.
- Step 2 → arithmetic க்கு முன் powers / roots ஐ உடனடியாக evaluate செய்து expression அளவை குறையுங்கள்.
- Step 3 → ஒரே base உள்ள exponents க்கு விதிகளை பயன்படுத்துங்கள்: a^m × a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(m×n).
Summary
Summary
Square & Cube Based Simplification க்கு:
- perfect squares / cubes மற்றும் exact roots ஐ எப்போதும் முதலில் கண்டறிந்து evaluate செய்யுங்கள்.
- repeated bases உள்ளபோது exponent விதிகளை பயன்படுத்தி numeric calculation க்கு முன் எளிமைப்படுத்துங்கள்.
- உதவியாக இருந்தால் roots ஐ fractional exponents ஆக மாற்றுங்கள் (√ = ^1/2, ∛ = ^1/3).
- arithmetic சரியாக உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, roots மற்றும் powers ஐ approximate செய்து quick-check செய்யுங்கள்.
Hint: Evaluate perfect squares/roots first, then add.
Common Mistakes: Trying to add before evaluating powers/roots.