0
0

Simple Combinations (Order Doesn’t Matter)

Introduction

Simple Combinations என்பது பொருட்களைத் தேர்வு செய்யும்போது வரிசை முக்கியமில்லை என்ற நிலைகளில் உதவுகிறது. எந்த பொருட்கள் தேர்வு செய்யப்படுகின்றன என்பதையே நீங்கள் கவனிக்க வேண்டும் - அவை எந்த வரிசையில் வருகின்றன என்பது முக்கியமல்ல.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் பல நிஜ வாழ்க்கைத் தேர்வு பிரச்சினைகள் (அணிகள் அமைத்தல், குழு உறுப்பினர்களைத் தேர்வு செய்தல், லாட்டரி எண்களைத் தேர்வு செய்தல்) permutations விட combinations ஐத் தேவைப்படுத்துகின்றன.

Pattern: Simple Combinations (Order Doesn’t Matter)

Pattern

n தனித்த பொருட்களிலிருந்து r பொருட்களைத் தேர்வு செய்ய வேண்டியிருந்தால், மேலும் வரிசை பொருட்டல்ல என்றால், nCr பயன்படுத்தவும்.

Formula:
nCr = n! / (r! (n - r)!)

Shortcut idea: nPr / r! ஆகக் கணக்கிடலாம் (ஒவ்வொரு தேர்விலும் உள்ள r! வரிசைகளை நீக்கும் வகையில் permutations ஐப் பிரித்தல்).

Step-by-Step Example

Question

6 மாணவர்களிலிருந்து 3 மாணவர்களைக் கொண்ட ஒரு அணியைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும். எத்தனை விதங்களில் அந்த அணியைத் தேர்வு செய்யலாம்?

Solution

  1. Step 1: கொடுக்கப்பட்டவற்றை அடையாளம் காண்க.

    மொத்த மாணவர்கள் = n = 6; அணியின் அளவு = r = 3. வரிசை முக்கியமில்லை.

  2. Step 2: சரியான combination சூத்திரத்தைத் தேர்வு செய்க.

    nCr = n! / (r! (n - r)!) பயன்படுத்தவும்.

  3. Step 3: மதிப்புகளை Substitute செய்து கணக்கிடுக.

    6C3 = 6! / (3! × 3!) = (6 × 5 × 4 × 3!)/(3! × 3!) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 120 / 6 = 20

  4. Final Answer:

    அந்த அணியை 20 விதங்களில் தேர்வு செய்யலாம்.

  5. Quick Check:

    இவ்வாறு சிந்தித்து சரிபார்க்கவும்: 3 பேரைத் தேர்வு செய்வதற்கான permutations எண்ணிக்கை (6 × 5 × 4 = 120) ஐ 3! = 6 (ஒவ்வொரு அணிக்கான வரிசைகள்) மூலம் வகுத்தால் → 120 ÷ 6 = 20 ✅

Quick Variations

1. r = 1 தேர்வு → nC1 = n (எளிதான நிலை).

2. r = n தேர்வு → nCn = 1 (அனைத்தையும் தேர்வு செய்ய ஒரே வழி).

3. குழு உறுப்பினர்கள், லாட்டரி தேர்வுகள், அல்லது வரிசையில்லாத குழுக்களைத் தேர்வு செய்ய combinations பயன்படுத்தவும்; தேர்விற்குள் பதவிகள் (வரிசை) இருந்தால் permutations பயன்படுத்தவும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: “வரிசை முக்கியமா?” என்று கேளுங்கள். இல்லை என்றால் → combinations (nCr).
  • Step 2: nCr ஐ factorials கொண்டு நேரடியாகக் கணக்கிடலாம் அல்லது r சிறியதாக இருந்தால் வேகமாக nPr ÷ r! ஆகக் கணக்கிடலாம்.

Summary

Summary

வரிசையைப் பொருட்படுத்தாமல் n இல் இருந்து r பொருட்களைத் தேர்வு செய்ய:

  • nCr = n! / (r! (n - r)!) பயன்படுத்தவும்.
  • அல்லது, முதலில் permutations கணக்கிட்டு பின்னர் வரிசையை நீக்க r! மூலம் வகுக்கவும்.
  • பிரச்சினையில் வரிசை தேவைப்படுகிறதா என்பதை எப்போதும் உறுதிப்படுத்துங்கள் - அதுவே combination அல்லது permutation என்பதை தீர்மானிக்கும்.

Practice

(1/5)
1. From a group of 5 students, how many ways can 2 students be chosen for a project team?
easy
A. 10
B. 8
C. 12
D. 6

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    n = 5 students; r = 2 to choose; order does not matter.

  2. Step 2: Apply the combination formula.

    nCr = n! / (r! (n - r)!).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    5C2 = 5! / (2! × 3!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10.

  4. Final Answer:

    There are 10 ways → Option A.

  5. Quick Check:

    5P2 = 20; divide by 2! = 10 ✅
Hint: Use nC2 = n(n - 1)/2 for quick pair counts.
Common Mistakes: Using permutation (nPr) instead of combination.
2. From 4 applicants, in how many ways can a 2-person panel be chosen (order doesn't matter)?
easy
A. 12
B. 6
C. 4
D. 8

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    n = 4; r = 2; order does not matter.

  2. Step 2: Apply the combination formula.

    4C2 = 4! / (2! × 2!).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    4C2 = (4 × 3) / (2 × 1) = 6.

  4. Final Answer:

    There are 6 ways → Option B.

  5. Quick Check:

    Pairs: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) → 6 ✅
Hint: For small n, list pairs briefly to verify counts.
Common Mistakes: Confusing order - counting (A,B) and (B,A) as different.
3. From 8 players, how many teams of 4 players can be formed?
easy
A. 60
B. 80
C. 70
D. 90

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    n = 8; r = 4; order does not matter.

  2. Step 2: Apply the combination formula.

    8C4 = 8! / (4! × 4!).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    8C4 = (8 × 7 × 6 × 5) / (4 × 3 × 2 × 1) = 1680 / 24 = 70.

  4. Final Answer:

    There are 70 teams → Option C.

  5. Quick Check:

    8P4 = 1680; divide by 4! = 24 → 1680 ÷ 24 = 70 ✅
Hint: Cancel factorial terms early to simplify calculations.
Common Mistakes: Computing full factorials without cancellation leading to errors.
4. From 7 books, how many ways can you choose 3 to take on holiday (order irrelevant)?
medium
A. 21
B. 25
C. 28
D. 35

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    n = 7 books; r = 3; order does not matter.

  2. Step 2: Apply the combination formula.

    7C3 = 7! / (3! × 4!).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    7C3 = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35.

  4. Final Answer:

    There are 35 ways → Option D.

  5. Quick Check:

    7P3 = 7 × 6 × 5 = 210; divide by 3! = 6 → 210 ÷ 6 = 35 ✅
Hint: Use nC3 = n(n - 1)(n - 2) / 6 for quick computation.
Common Mistakes: Treating ordered arrangements as combinations or vice versa.
5. A box contains 10 different chocolates. In how many ways can 3 chocolates be selected?
medium
A. 120
B. 100
C. 90
D. 720

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    n = 10; r = 3; order does not matter.

  2. Step 2: Apply the combination formula.

    10C3 = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1).

  3. Step 3: Compute.

    (10 × 9 × 8) / 6 = 720 / 6 = 120.

  4. Final Answer:

    There are 120 ways → Option A.

  5. Quick Check:

    10P3 = 720; divide by 3! = 6 → 720 ÷ 6 = 120 ✅
Hint: Compute numerator as n(n - 1)(n - 2) and divide by 6 for r = 3.
Common Mistakes: Using permutation (nPr) or misplacing factorial division.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes