0
0

Fundamental Counting Principle (FCP)

Introduction

Fundamental Counting Principle (FCP) என்பது அனைத்து Permutation மற்றும் Combination problems-க்கும் அடிப்படை ஆகும். பல independent choices அல்லது actions இருக்கும்போது, மொத்தமாக எத்தனை possible outcomes உள்ளன என்பதை கண்டறிய இது உதவுகிறது.

ஒவ்வொரு possible case-யையும் தனித்தனியாக பட்டியலிடாமல், வேகமாகவும் திறம்படவும் count செய்ய இந்த pattern உதவுவதால் இது மிகவும் முக்கியமானது - குறிப்பாக complex arrangement மற்றும் selection problems-ஐ விரைவாக தீர்க்க.

Pattern: Fundamental Counting Principle (FCP)

Pattern

ஒரு event m ways-ல் நடைபெற முடிந்தால், மற்றொரு event n ways-ல் நடைபெற முடிந்தால், அந்த இரண்டு events ஒன்றாக சேர்ந்து m × n ways-ல் நடைபெறும்.

இரண்டு events-ஐ விட அதிகமான events இருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்குமான ways-ஐ multiply செய்ய வேண்டும்: Total outcomes = m × n × p × …

Step-by-Step Example

Question

ஒரு restaurant-ல் 3 வகையான starters மற்றும் 4 வகையான main courses உள்ளன. ஒரு நபர் ஒரு starter மற்றும் ஒரு main course தேர்வு செய்ய எத்தனை ways உள்ளன?

Solution

  1. Step 1: கொடுக்கப்பட்டதை அடையாளம் காணவும்.

    Number of starters = 3
    Number of main courses = 4

  2. Step 2: Fundamental Counting Principle-ஐ பயன்படுத்தவும்.

    Total possible meal combinations = (Ways to choose starter) × (Ways to choose main course)

  3. Step 3: Substitute செய்து கணக்கிடவும்.

    = 3 × 4 = 12

  4. Final Answer:

    அந்த நபர் உணவை 12 different ways-ல் தேர்வு செய்ய முடியும்.

  5. Quick Check:

    3 starters × 4 mains = 12 total combinations ✅

Quick Variations

1. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட independent choices - உதா., starter, main course, dessert → மூன்றையும் multiply செய்யவும்.

2. passwords, license plates, அல்லது outfit combinations உருவாக்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

3. சில சமயங்களில் restrictions உடன் choices இருக்கும் (உதா., குறிப்பிட்ட digits அல்லது letters மட்டும் அனுமதி).

Trick to Always Use

  • Step 1: ஒவ்வொரு event-க்கும் உள்ள options எண்ணிக்கையை கண்டறியவும்.
  • Step 2: (independent என்றால்) அனைத்து possibilities-ஐ multiply செய்யவும்.
  • Step 3: Total combinations கண்டறிந்த பிறகு மட்டுமே restrictions-ஐ apply செய்யவும்.

Summary

Summary

Fundamental Counting Principle (FCP)-இல்:

  • Independent choices-க்கு outcomes எண்ணிக்கையை கணக்கிட multiplication பயன்படுத்தப்படுகிறது.
  • எத்தனை sequential decisions இருந்தாலும் இந்த rule-ஐ விரிவுபடுத்தலாம்.
  • FCP என்பது permutations, combinations, மற்றும் probability calculations-க்கு அடித்தளமாக உள்ளது.

Practice

(1/5)
1. A café offers 3 types of coffee and 2 types of pastries. In how many ways can a customer choose one coffee and one pastry?
easy
A. 6
B. 5
C. 8
D. 10

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Number of coffee types = 3; number of pastry types = 2.

  2. Step 2: Apply the Fundamental Counting Principle.

    Total ways = (choices for coffee) × (choices for pastry).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    3 × 2 = 6.

  4. Final Answer:

    There are 6 possible choices → Option A.

  5. Quick Check:

    Each of 3 coffees pairs with 2 pastries → 3 × 2 = 6 ✅
Hint: Multiply the number of options for each independent choice.
Common Mistakes: Adding counts instead of multiplying the number of options.
2. A password consists of 2 letters followed by 2 digits. If repetition is allowed, how many such passwords can be formed? (Use 26 letters and 10 digits)
easy
A. 67600
B. 676000
C. 6760000
D. 67600000

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Each letter position: 26 choices. Each digit position: 10 choices.

  2. Step 2: Apply the Fundamental Counting Principle.

    Total = (choices for letter1) × (letter2) × (digit1) × (digit2).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    26 × 26 × 10 × 10 = 26² × 10² = 676 × 100 = 67600.

  4. Final Answer:

    Total passwords = 67600 → Option A.

  5. Quick Check:

    2 letter positions (26²) and 2 digit positions (10²) → 676 × 100 = 67600 ✅
Hint: Treat each position independently and multiply the choices.
Common Mistakes: Forgetting repetition or miscounting positions (exponents).
3. A shop sells 5 brands of pens and 2 brands of pencils. In how many ways can a person buy one pen and one pencil?
easy
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Number of pen choices = 5; pencil choices = 2.

  2. Step 2: Apply the Fundamental Counting Principle.

    Total ways = (pen choices) × (pencil choices).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    5 × 2 = 10.

  4. Final Answer:

    Total possible choices = 10 → Option C.

  5. Quick Check:

    Each of 5 pens pairs with 2 pencils → 5 × 2 = 10 ✅
Hint: For every choice of the first item, multiply by the options for the second.
Common Mistakes: Adding the counts instead of multiplying.
4. A student must choose 1 subject from Maths, Science, English and 1 language from Hindi or French. How many total choices does the student have?
medium
A. 4
B. 5
C. 8
D. 6

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Number of subject choices = 3 (Maths, Science, English); number of language choices = 2 (Hindi, French).

  2. Step 2: Apply the Fundamental Counting Principle.

    Total ways = (subject choices) × (language choices).

  3. Step 3: Substitute and compute.

    3 × 2 = 6.

  4. Final Answer:

    The student has 6 possible choices → Option D.

  5. Quick Check:

    3 subjects × 2 languages = 6 ✅
Hint: Multiply number of options across each independent category.
Common Mistakes: Counting subjects and languages separately instead of combining.
5. A car number plate consists of 2 letters followed by 3 digits. If repetition is allowed, how many number plates can be formed? (26 letters and 10 digits available)
medium
A. 67,600
B. 6,76,000
C. 17,57,600
D. 17,57,760

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    There are 2 letter positions (each 26 choices) and 3 digit positions (each 10 choices).

  2. Step 2: Apply the Fundamental Counting Principle.

    Total plates = 26 × 26 × 10 × 10 × 10.

  3. Step 3: Substitute and compute.

    26² × 10³ = 676 × 1000 = 6,76,000.

  4. Final Answer:

    Total number plates = 6,76,000 → Option B.

  5. Quick Check:

    Two letters → 676 options; three digits → 1000 options; 676 × 1000 = 6,76,000 ✅
Hint: Compute letter combinations and digit combinations separately, then multiply the two results.
Common Mistakes: Forgetting that repetition is allowed or misplacing zeros when multiplying.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes