0
0

All Letters Different (Word Arrangement)

Introduction

எல்லா எழுத்துகளும் (அல்லது பொருட்களும்) தனித்தனியாக இருந்தால், அவற்றை அமைப்பது எளிது - ஒவ்வொரு வரிசையும் தனித்துவமானது. இந்த pattern, word arrangement, பொருட்களை வரிசைப்படுத்துதல், அல்லது தனித்தனி items பட்டியலிடுதல் போன்ற இடங்களில் தோன்றுகிறது.

பல exam கேள்விகள் distinct objects-இன் permutations பற்றி கேட்பதால் இது முக்கியம்; எல்லா items-மும் வேறுபட்டவை என்பதை உணர்ந்தால், நேரடியாக factorial விதியை பயன்படுத்தலாம்.

Pattern: All Letters Different (Word Arrangement)

Pattern

முக்கிய கருத்து: n தனித்தனி எழுத்துகள் இருந்தால், அவை அனைத்தையும் அமைக்கும் arrangement-களின் எண்ணிக்கை n!

Formula:
Total arrangements = n!

ஏன் இது வேலை செய்கிறது: முதல் இடத்திற்கு n தேர்வுகள், இரண்டாவது இடத்திற்கு n-1, இவ்வாறு 1 வரை → அனைத்தையும் பெருக்கினால்: n × (n - 1) × ... × 1 = n!.

Step-by-Step Example

Question

PLANT என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளிலிருந்து எத்தனை distinct arrangements (anagrams) உருவாக்கலாம்?

Solution

  1. Step 1: கொடுக்கப்பட்டதை அடையாளம் காண்க.

    PLANT என்ற வார்த்தையில் n = 5 எழுத்துகள் உள்ளன, மேலும் அனைத்தும் தனித்தனியானவை.

  2. Step 2: Formula-வை தேர்வு செய்யவும்.

    எல்லா items-மும் வேறுபட்டவை மற்றும் அனைத்தையும் அமைக்கிறோம் என்பதால் n! = 5! பயன்படுத்தவும்.

  3. Step 3: கணக்கிடவும்.

    5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

  4. Final Answer:

    PLANT என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளுக்கான distinct arrangements எண்ணிக்கை 120.

  5. Quick Check:

    இடங்களை தேர்வு செய்க: 1st = 5 தேர்வுகள், 2nd = 4 தேர்வுகள், 3rd = 3, 4th = 2, 5th = 1 → பெருக்கினால் = 120 ✅

Quick Variations

1. Partial arrangement: n தனித்தனி எழுத்துகளில் r மட்டும் அமைத்தால், nPr = n! / (n - r)! பயன்படுத்தவும்.

2. Distinct positions: இடங்களுக்கு labels (எ.கா., seat numbers) இருந்தால், அவற்றை ordered ஆக கருதி factorial/permutation விதிகளை பயன்படுத்தவும்.

3. Mixed types: சில எழுத்துகள் மீண்டும் வந்தால், repeated-letters formula-க்கு மாறவும் (repeats-இன் factorial-களால் divide செய்யவும்).

Trick to Always Use

  • Step 1 → Check: எல்லா items-மும் distinct ஆக உள்ளனவா? YES என்றால் → n! பயன்படுத்தவும்.
  • Step 2 → அனைத்தையும் அமைக்கிறோம் என்றால் n! நேரடியாக கணக்கிடவும்; சிலவற்றை மட்டும் அமைக்கிறோம் என்றால் nPr (மேல் r factors-ஐ பெருக்கவும்) பயன்படுத்தவும்.

Summary

Summary

முக்கிய குறிப்புகள்:

  • n எழுத்துகளும் வேறுபட்டவை மற்றும் அனைத்தையும் அமைக்கிறோம் என்றால், total arrangements = n!.
  • factorial-ஐ இறங்கும் முழு எண்களை பெருக்கி கணக்கிடவும் (n × (n - 1) × ... × 1).
  • partial arrangements அல்லது repeated items உள்ளபோது, பொருத்தமான permutation அல்லது repeated-letter formulas-ஐ பயன்படுத்தவும்.

Practice

(1/5)
1. How many different words can be formed using all the letters of the word ‘CHAIR’?
easy
A. 60
B. 100
C. 120
D. 80

Solution

  1. Step 1: Identify given data.

    The word 'CHAIR' has 5 distinct letters.

  2. Step 2: Choose the formula.

    All letters different and all used → total arrangements = n! where n = 5.

  3. Step 3: Compute.

    5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

  4. Final Answer:

    There are 120 different words → Option C.

  5. Quick Check:

    Positions: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ✅
Hint: If all letters are distinct and all are used, compute n! directly.
Common Mistakes: Using combinations or partial-arrangement formulas instead of factorial.
2. Find the number of different 6-letter arrangements possible with the word ‘SILVER’.
easy
A. 720
B. 240
C. 360
D. 120

Solution

  1. Step 1: Identify given data.

    The word 'SILVER' has 6 distinct letters.

  2. Step 2: Choose the formula.

    All letters different and all are used → total = 6!.

  3. Step 3: Compute.

    6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

  4. Final Answer:

    There are 720 arrangements → Option A.

  5. Quick Check:

    Multiply descending counts: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 ✅
Hint: Count letters, confirm all distinct, then use n! for arrangements.
Common Mistakes: Forgetting to check for repeated letters before using n!.
3. How many distinct 4-letter words can be made from the letters of the word ‘PLANT’ (no repetition)?
easy
A. 120
B. 24
C. 60
D. 48

Solution

  1. Step 1: Identify given data.

    'PLANT' has 5 distinct letters; we need ordered 4-letter words (r = 4).

  2. Step 2: Choose the formula.

    Arrange r out of n distinct letters → nPr = n! / (n - r)! with n = 5, r = 4.

  3. Step 3: Compute.

    5P4 = 5! / 1! = 5 × 4 × 3 × 2 = 120.

  4. Final Answer:

    There are 120 distinct 4-letter words → Option A.

  5. Quick Check:

    Choose positions sequentially: 5 × 4 × 3 × 2 = 120 ✅
Hint: When arranging r out of n distinct items, multiply top r factors: n × (n - 1) × ... for r terms.
Common Mistakes: Using n! when not all letters are used or using combinations instead of permutations.
4. How many different arrangements can be made using all the letters of the word ‘GARDEN’?
medium
A. 360
B. 720
C. 840
D. 120

Solution

  1. Step 1: Identify given data.

    The word 'GARDEN' has 6 distinct letters.

  2. Step 2: Choose the formula.

    All letters are used and distinct → total arrangements = 6!.

  3. Step 3: Compute.

    6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

  4. Final Answer:

    There are 720 arrangements → Option B.

  5. Quick Check:

    6! = 720 ✅
Hint: Confirm letters are distinct; then use factorial for full arrangements.
Common Mistakes: Assuming repeated letters when none exist or using partial-arrangement formulas incorrectly.
5. How many ordered 4-letter arrangements can be formed from 6 distinct letters?
medium
A. 240
B. 360
C. 720
D. 168

Solution

  1. Step 1: Identify given data.

    n = 6 distinct letters; r = 4 positions; order matters, no repetition.

  2. Step 2: Choose the formula.

    nPr = n! / (n - r)!. Here 6P4 = 6! / 2!.

  3. Step 3: Compute.

    6P4 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

  4. Final Answer:

    There are 360 ordered arrangements → Option B.

  5. Quick Check:

    Pick positions sequentially: 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ✅
Hint: For arranging r out of n distinct items, multiply the top r descending factors of n!.
Common Mistakes: Using combinations (which ignore order) instead of permutations for ordered arrangements.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes