0
0

Repeated Letters in Words

Introduction

பல word-arrangement பிரச்சினைகளில் மீண்டும் வரும் எழுத்துகள் (repeated letters) இருக்கும். எழுத்துகள் மீண்டும் வந்தால், சில arrangements ஒரே மாதிரியாகத் தோன்றும் - அதிகமாக எண்ணப்படாமல் இருக்க, ஒவ்வொரு repeat count-ன் factorial-ஆல் divide செய்ய வேண்டும்.

repeats-உடன் சரியாக எண்ணுவது ஒரு பொதுவான exam topic என்பதால் இது முக்கியம்; இது anagrams, license-plate மாதிரியான பிரச்சினைகள், மற்றும் arrangement puzzles-ல் அடிக்கடி வருகிறது.

Pattern: Repeated Letters in Words

Pattern

ஒரு வார்த்தையில் n எழுத்துகள் இருந்து, சில எழுத்துகள் p, q, r, … முறை மீண்டும் வந்தால், distinct arrangements எண்ணிக்கை:

Total = n! / (p! × q! × r! × ...)

Idea: முதலில் n! (எல்லா எழுத்துகளும் distinct என கருதி) எடுத்துக்கொண்டு, பின்னர் ஒவ்வொரு repeated-letter frequency-ன் factorial-ஆல் divide செய்ய வேண்டும்; ஏனெனில் ஒரே மாதிரியான எழுத்துகள் தங்களுக்குள் இடம் மாற்றினாலும் புதிய arrangement உருவாகாது.

Step-by-Step Example

Question

BALLOON என்ற வார்த்தையின் எழுத்துகளிலிருந்து எத்தனை distinct arrangements உருவாக்கலாம்?

Solution

  1. Step 1: மொத்த எழுத்துகள் மற்றும் repeats-ஐ எண்ணவும்.

    BALLOON என்ற வார்த்தையில் n = 7 எழுத்துகள் உள்ளன. எழுத்து எண்ணிக்கை: B = 1, A = 1, L = 2, O = 2, N = 1.

  2. Step 2: Formula-வை தேர்வு செய்யவும்.

    repeat frequencies p, q, … உள்ளதால் n! / (p! × q! × ...) பயன்படுத்தவும். இங்கு repeats: L (2 முறை) மற்றும் O (2 முறை).

  3. Step 3: மதிப்புகளை substitute செய்யவும்.

    Total = 7! / (2! × 2!)

  4. Step 4: படிப்படியாக கணக்கிடவும்.

    1. 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.
    2. 2! = 2; ஆகவே 2! × 2! = 2 × 2 = 4.
    3. Total = 5040 ÷ 4 = 1260.

  5. Final Answer:

    BALLOON என்ற வார்த்தையின் distinct arrangements எண்ணிக்கை 1260.

  6. Quick Check:

    L மற்றும் O-வை distinct எழுத்துகள் என எடுத்திருந்தால் 7! = 5040 arrangements கிடைக்கும்; L-க்கு 2! மற்றும் O-க்கு 2! divide செய்வதால் duplicate internal swaps நீங்கும் → 5040 ÷ (2 × 2) = 1260 ✅

Quick Variations

1. மூன்று எழுத்துகள் p, q, r முறை repeat ஆனால், n! / (p! q! r!) பயன்படுத்தவும்.

2. repeats உள்ள subset-ஐ மட்டும் arrange செய்தால், அந்த subset-ல் உள்ள frequencies-ஐ எண்ணி அதே division விதியை பயன்படுத்தவும்.

3. repeats உள்ள circular arrangements-க்கு, முதலில் linear arrangements with repeats கணக்கிட்டு, பின்னர் n-ஆல் divide செய்யவும் (rotations ஒரே மாதிரி என்றால்) - symmetry மற்றும் repeated-block effects குறித்து கவனமாக இருங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → மொத்த எழுத்துகள் n-ஐ எண்ணி, ஒவ்வொரு repeated letter-ன் frequency-ஐ பட்டியலிடவும்.
  • Step 2 → முதலில் n! (அல்லது simplify செய்ய top r factors) கணக்கிட்டு, பின்னர் ஒவ்வொரு repeat count-ன் factorial-ஆல் divide செய்யவும்.
  • Step 3 → ஒரு quick sanity check: பதில் integer ஆகவும் n! ≤ ஆகவும் இருக்க வேண்டும்.

Summary

Summary

எழுத்துகள் மீண்டும் வந்தால், n! இலிருந்து தொடங்கி ஒவ்வொரு repeated-letter frequency-ன் factorial-ஆல் divide செய்யவும்:

  • Formula: n! / (p! × q! × ...).
  • எப்போதும் முதலில் letter counts-ஐ பட்டியலிடுங்கள் - இது தவறுகளைத் தவிர்க்க உதவும்.
  • Quick check: பதில் integer ஆகவும் n!-க்கு குறைவாக அல்லது சமமாகவும் இருக்க வேண்டும்; logic சரியா என்பதை ஒரு சிறிய example-இல் சோதிக்கவும்.

Practice

(1/5)
1. How many distinct arrangements can be made from the letters of the word 'MISS'?
easy
A. 12
B. 24
C. 6
D. 4

Solution

  1. Step 1: Count letters and repeats.

    The word MISS has n = 4 letters with S repeated 2 times (M=1, I=1, S=2).

  2. Step 2: Use the repeated-letter formula.

    Total arrangements = n! / (p! × q! × ...) → here 4! / 2!.

  3. Step 3: Compute.

    4! = 24; 2! = 2; arrangements = 24 ÷ 2 = 12.

  4. Final Answer:

    12 distinct arrangements → Option A.

  5. Quick Check:

    Result is integer and less than 4!; swapping the two S's does not produce a new arrangement, so 24 ÷ 2 = 12 ✅
Hint: Start with n!, then divide by factorials of repeated-letter counts.
Common Mistakes: Forgetting to divide by the factorial of repeated letters (counting S-swaps as distinct).
2. How many distinct arrangements can be formed from the letters of the word 'LEVEL'?
easy
A. 20
B. 30
C. 60
D. 24

Solution

  1. Step 1: Count letters and repeats.

    The word LEVEL has n = 5 letters with L repeated 2 times and E repeated 2 times (L=2, E=2, V=1).

  2. Step 2: Apply the formula.

    Total = 5! / (2! × 2!).

  3. Step 3: Compute.

    5! = 120; 2! × 2! = 2 × 2 = 4; arrangements = 120 ÷ 4 = 30.

  4. Final Answer:

    30 distinct arrangements → Option B.

  5. Quick Check:

    120 (if all distinct) reduced by factor 4 due to two pairs of identical letters → 30 ✅
Hint: Divide n! by the product of factorials of each letter's repeat count.
Common Mistakes: Treating each repeated letter as different and not dividing by repeat factorials.
3. How many distinct arrangements can be formed from the letters of the word 'BANANA'?
easy
A. 90
B. 120
C. 60
D. 30

Solution

  1. Step 1: Count letters and repeats.

    The word BANANA has n = 6 letters with A repeated 3 times and N repeated 2 times (A=3, N=2, B=1).

  2. Step 2: Apply the formula.

    Total = 6! / (3! × 2!).

  3. Step 3: Compute.

    6! = 720; 3! × 2! = 6 × 2 = 12; arrangements = 720 ÷ 12 = 60.

  4. Final Answer:

    60 distinct arrangements → Option C.

  5. Quick Check:

    720 divided by 12 (internal swaps from A and N) gives an integer 60 ✅
Hint: List repeat frequencies quickly: divide n! by product of those factorials.
Common Mistakes: Missing one of the repeat counts (e.g., forgetting N repeats twice).
4. How many distinct arrangements can be formed from the letters of the word 'SUCCESS'?
medium
A. 360
B. 840
C. 720
D. 420

Solution

  1. Step 1: Count letters and repeats.

    The word SUCCESS has n = 7 letters with S repeated 3 times, C repeated 2 times, and U=1, E=1 (S=3, C=2, U=1, E=1).

  2. Step 2: Apply the formula.

    Total = 7! / (3! × 2!).

  3. Step 3: Compute.

    7! = 5040; 3! × 2! = 6 × 2 = 12; arrangements = 5040 ÷ 12 = 420.

  4. Final Answer:

    420 distinct arrangements → Option D.

  5. Quick Check:

    5040 reduced by factor 12 (for internal swaps of S and C) → 420 ✅
Hint: Always count each repeated-letter frequency before dividing into n!.
Common Mistakes: Using incorrect repeat counts (e.g., treating S as twice instead of thrice).
5. How many distinct arrangements can be formed from the letters of the word 'BOOKKEEPER'?
medium
A. 1,51,200
B. 3,02,400
C. 75,600
D. 15,120

Solution

  1. Step 1: Count letters and repeats.

    The word BOOKKEEPER has n = 10 letters with counts: O=2, K=2, E=3, B=1, P=1, R=1.

  2. Step 2: Apply the formula.

    Total = 10! / (2! × 2! × 3!).

  3. Step 3: Compute.

    10! = 36,28,800; denominator = 2 × 2 × 6 = 24; arrangements = 36,28,800 ÷ 24 = 1,51,200.

  4. Final Answer:

    1,51,200 distinct arrangements → Option A.

  5. Quick Check:

    Result is integer and ≤ 10!; dividing by repeat-factor 24 reduces overcounting correctly ✅
Hint: Compute denominator as product of repeat-factorials (2!, 3!, etc.) then divide into n!.
Common Mistakes: Forgetting to include one repeated-letter factorial (e.g., missing E's 3!).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes