0
0

Mixed Applications (Seating, Digits, Passwords, Multi-stage Problems)

Introduction

Mixed applications என்பது permutations, combinations, repetition rules, மற்றும் conditional reasoning போன்ற counting ideas-ஐ ஒன்றாக சேர்த்து பயன்படுத்தும் multi-step problems ஆகும். உதாரணமாக constraints உடன் seating, passwords உருவாக்குதல், அல்லது digit rules-உடன் numbers அமைத்தல் போன்றவை.

real exam கேள்விகள் பெரும்பாலும் ஒரே ஒரு formula-க்கு நேரடியாக பொருந்தாது; பிரச்சினையை independent stages-ஆக மாற்றி, ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான rule-ஐ தேர்வு செய்து, பின்னர் stage-results-ஐ கவனமாக multiply அல்லது add செய்ய வேண்டும் என்பதால் இது முக்கியம்.

Pattern: Mixed Applications (Seating, Digits, Passwords, Multi-stage Problems)

Pattern

முக்கிய கருத்து: பிரச்சினையை தெளிவான stages-ஆக பிரிக்கவும் (positions தேர்வு, constraints பயன்படுத்தல், internal arrangements எண்ணல்), ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான counting rule-ஐ (nPr, nCr, nr) பயன்படுத்தி, பின்னர் stage-results-ஐ multiplication அல்லது addition மூலம் இணைக்கவும்.

அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் படிகள்:

  • Stage decomposition: independent choices-ஐ கண்டறியவும் (எந்த seats, எந்த last digit, எந்த block placement).
  • Choose rule per stage: order முக்கியமானால் nPr, முக்கியமில்லை என்றால் nCr, repetition allowed என்றால் nr பயன்படுத்தவும்.
  • Combine results: independent stages-க்கு multiplication; mutually exclusive cases-க்கு addition.
  • Sanity-check: பதில், அதற்கான unconstrained total-ஐ விட குறைவாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும் (எ.கா., n distinct items permutations-க்கு ≤ n!).

Step-by-Step Example

Question

0-9 digits-இலிருந்து repetition இல்லாமல் உருவாக்கக்கூடிய 4-digit numbers-இல், 5-ஆல் divisible ஆகும் எத்தனை numbers உள்ளன?

Solution

  1. Step 1: divisibility condition-ஐ cases-ஆக மாற்றவும்.

    ஒரு 4-digit number 5-ஆல் divisible ஆக இருக்க வேண்டுமெனில், அதன் last digit 0 அல்லது 5 ஆக இருக்க வேண்டும். last digit 0 உள்ள numbers மற்றும் last digit 5 உள்ள numbers என இரண்டு cases-ஐ கணக்கிட்டு சேர்ப்போம்.

  2. Step 2: Case A - last digit = 0.

    first digit (thousands place) 0 ஆக இருக்கக்கூடாது (leading zero இல்லை) மேலும் digits repeat ஆகக்கூடாது. first place-க்கு கிடைக்கும் digits = 1-9 → 9 choices. first மற்றும் last digits fix செய்த பிறகு, middle two places-க்கு மீதமுள்ள 8 digits-இல் இருந்து order-உடன் நிரப்ப வேண்டும் → permutations P(8,2) = 8 × 7 = 56.

    அதனால் Case A-க்கு count = 9 × 56 = 504.

  3. Step 3: Case B - last digit = 5.

    last digit 5 என fix. first digit 0 அல்லது 5 ஆக இருக்கக்கூடாது → digits {1..9}-இல் இருந்து 5 நீக்கினால் 8 choices. first மற்றும் last fix செய்த பின், middle two positions-க்கு மீதமுள்ள digits = 8; middle positions count = P(8,2) = 8 × 7 = 56.

    அதனால் Case B-க்கு count = 8 × 56 = 448.

  4. Step 4: mutually exclusive cases-ஐ சேர்க்கவும்.

    Total valid numbers = Case A + Case B = 504 + 448 = 952.

  5. Final Answer:

    நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் 4-digit numbers எண்ணிக்கை 952.

  6. Quick Check:

    எந்த constraint-உம் இல்லாத, repetition இல்லாத 4-digit numbers = 9 × 9 × 8 × 7 = 4,536 (first digit 1-9, பிறகு மீதமுள்ள digits). நமது பதில் 952, 4,536-ஐ விட குறைவாக உள்ளது - பொருத்தமானது ✅

Quick Variations

1. Password-type: repetition allowed என்றால், independent positions-க்கு nr பயன்படுத்தவும் (எ.கா., 4-digit password-க்கு 104 = 10,000).

2. Seating with blocks: ஒன்றாக அமர வேண்டியவர்கள் இருந்தால், அவர்களை ஒரு block-ஆக கருதி, internal permutations-ஐ பெருக்கவும்.

3. Mixed digit constraints: divisibility by 2 (even) + no repetition போன்ற conditions இருந்தால், last-digit parity cases-ஆக பிரித்து இதேபோல் கணக்கிடவும்.

4. Multi-stage with selection + arrangement: முதலில் r items-ஐ தேர்வு செய்யவும் (nCr), பின்னர் அவற்றை arrange செய்யவும் (r!) → இது nPr-க்கு சமம்.

Trick to Always Use

  • Step 1: பிரச்சினையை independent stages அல்லது mutually exclusive cases-ஆக பிரிக்கவும் (எ.கா., last digit choices, block vs single).
  • Step 2: ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான counting rule-ஐ தேர்வு செய்யவும்: order முக்கியமானால் nPr, முக்கியமில்லை என்றால் nCr, repetition allowed என்றால் nr.
  • Step 3: independent stages-ன் counts-ஐ multiply செய்யவும்; exclusive cases-ன் counts-ஐ add செய்யவும்.
  • Step 4: Quick sanity check: பதில், மிகவும் relaxed total-ஐ விட குறைவாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும் (எ.கா., ≤ n!, ≤ nr, அல்லது ≤ 2n - context-ஐப் பொறுத்து).

Summary

Summary

  • ஒவ்வொரு mixed problem-யையும் counting-க்கு முன் தெளிவான stages அல்லது exclusive cases-ஆக பிரிக்கவும்.
  • ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான counting rule-ஐ தேர்வு செய்யவும்: nPr, nCr, அல்லது nr.
  • independent stages-க்கு multiplication மற்றும் mutually exclusive cases-க்கு addition பயன்படுத்தவும்.
  • எப்போதும் final count-ஐ unconstrained maximum-உடன் sanity-check செய்யவும் - பதில் நியாயமானதா என்பதை உறுதி செய்ய.

நினைவில் வைக்க வேண்டிய example:
constraints-ஐ stages-ஆக (last-digit cases போன்றவை) மாற்றி, ஒவ்வொரு stage-க்கும் rules பயன்படுத்தி, பின்னர் combine செய்யவும் - இதே முறையில் தான் 952 என்ற பதிலை பெற்றோம்.

Practice

(1/5)
1. How many 3-digit numbers can be formed using digits 1, 2, 3, 4, and 5 if repetition is allowed?
easy
A. 60
B. 125
C. 64
D. 120

Solution

  1. Step 1: Identify digits and rule.

    Available digits = 5 (1-5); repetition allowed → each of the 3 positions can be any of the 5 digits.

  2. Step 2: Apply the rule for repetition.

    Total = 53 = 125.

  3. Final Answer:

    125 → Option B.

  4. Quick Check:

    Each of the 3 places has 5 choices → 5 × 5 × 5 = 125 ✅
Hint: When repetition is allowed use n^r.
Common Mistakes: Using permutations (nPr) instead of n^r for repetition-allowed positions.
2. How many 4-letter words can be formed from the letters of the word 'SQUARE' if repetition is NOT allowed?
easy
A. 360
B. 720
C. 120
D. 240

Solution

  1. Step 1: Count available letters.

    'SQUARE' has 6 distinct letters.

  2. Step 2: Choose and arrange 4 letters (order matters, no repetition).

    Number = 6P4 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

  3. Final Answer:

    360 → Option A.

  4. Quick Check:

    Multiply descending choices for each position: 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ✅
Hint: Use nPr when order matters and repetition is not allowed.
Common Mistakes: Using combinations (nCr) instead of permutations (nPr) when order matters.
3. In how many ways can 5 people be seated in a row if A and B do not sit together?
easy
A. 96
B. 72
C. 120
D. 48

Solution

  1. Step 1: Total arrangements without restriction.

    Total = 5! = 120.

  2. Step 2: Count arrangements where A and B sit together.

    Treat A and B as one block → now 4 items → arrangements = 4! × 2! = 24 × 2 = 48.

  3. Step 3: Subtract to get 'not together'.

    Not together = Total - Together = 120 - 48 = 72.

  4. Final Answer:

    72 → Option B.

  5. Quick Check:

    Together (48) + Not together (72) = 120 (total) ✅
Hint: Compute Total - Together; treat the pair as a block to count 'together'.
Common Mistakes: Forgetting the internal 2! for the paired block.
4. How many 3-digit even numbers can be formed using digits 1 to 7 without repetition?
medium
A. 90
B. 120
C. 150
D. 100

Solution

  1. Step 1: Fix the units (last) digit to be even.

    Even digits from 1-7 are 2, 4, 6 → 3 choices for the units place.

  2. Step 2: Choose the hundreds (first) digit.

    First digit cannot be zero (not present) and cannot be the chosen last digit → from remaining 6 digits → 6 choices.

  3. Step 3: Choose the tens digit.

    Remaining digits now = 5 choices.

  4. Step 4: Multiply choices across positions.

    Total = 3 × 6 × 5 = 90.

  5. Final Answer:

    90 → Option A.

  6. Quick Check:

    Count by fixing last digit first (3 ways) then fill hundreds and tens without repetition → 3 × 6 × 5 = 90 ✅
Hint: Fix constrained positions (last digit even) first, then count remaining positions without repetition.
Common Mistakes: Counting leading zeros or not enforcing non-repetition when filling remaining places.
5. A 4-digit password is made of digits 0-9 where repetition is allowed but the password must start with a non-zero digit. How many passwords can be formed?
medium
A. 10,000
B. 9,000
C. 9,999
D. 9,090

Solution

  1. Step 1: Handle first-digit restriction.

    First digit must be 1-9 → 9 choices.

  2. Step 2: Remaining digits.

    Each of the remaining 3 positions can be any of 10 digits (0-9) with repetition allowed → 10 × 10 × 10.

  3. Step 3: Multiply all stages.

    Total = 9 × 10 × 10 × 10 = 9,000.

  4. Final Answer:

    9,000 → Option B.

  5. Quick Check:

    All 4-digit numbers without leading zero = 9,000 (from 1,000 to 9,999) ✅
Hint: Treat the restricted first digit separately, then multiply by choices for remaining positions.
Common Mistakes: Allowing a leading zero (which would produce 3-digit numbers) or forgetting repetition rules.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes