Raised Fist0

Mixed Applications (Seating, Digits, Passwords, Multi-stage Problems)

Start learning this pattern below

Jump into concepts and practice - no test required

or
Recommended
Test this pattern10 questions across easy, medium, and hard to know if this pattern is strong

Introduction

Mixed applications என்பது permutations, combinations, repetition rules, மற்றும் conditional reasoning போன்ற counting ideas-ஐ ஒன்றாக சேர்த்து பயன்படுத்தும் multi-step problems ஆகும். உதாரணமாக constraints உடன் seating, passwords உருவாக்குதல், அல்லது digit rules-உடன் numbers அமைத்தல் போன்றவை.

real exam கேள்விகள் பெரும்பாலும் ஒரே ஒரு formula-க்கு நேரடியாக பொருந்தாது; பிரச்சினையை independent stages-ஆக மாற்றி, ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான rule-ஐ தேர்வு செய்து, பின்னர் stage-results-ஐ கவனமாக multiply அல்லது add செய்ய வேண்டும் என்பதால் இது முக்கியம்.

Pattern: Mixed Applications (Seating, Digits, Passwords, Multi-stage Problems)

Pattern: Mixed Applications (Seating, Digits, Passwords, Multi-stage Problems)

முக்கிய கருத்து: பிரச்சினையை தெளிவான stages-ஆக பிரிக்கவும் (positions தேர்வு, constraints பயன்படுத்தல், internal arrangements எண்ணல்), ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான counting rule-ஐ (nPr, nCr, nr) பயன்படுத்தி, பின்னர் stage-results-ஐ multiplication அல்லது addition மூலம் இணைக்கவும்.

அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் படிகள்:

  • Stage decomposition: independent choices-ஐ கண்டறியவும் (எந்த seats, எந்த last digit, எந்த block placement).
  • Choose rule per stage: order முக்கியமானால் nPr, முக்கியமில்லை என்றால் nCr, repetition allowed என்றால் nr பயன்படுத்தவும்.
  • Combine results: independent stages-க்கு multiplication; mutually exclusive cases-க்கு addition.
  • Sanity-check: பதில், அதற்கான unconstrained total-ஐ விட குறைவாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும் (எ.கா., n distinct items permutations-க்கு ≤ n!).

Step-by-Step Example

Question

0-9 digits-இலிருந்து repetition இல்லாமல் உருவாக்கக்கூடிய 4-digit numbers-இல், 5-ஆல் divisible ஆகும் எத்தனை numbers உள்ளன?

Solution

  1. Step 1: divisibility condition-ஐ cases-ஆக மாற்றவும்.

    ஒரு 4-digit number 5-ஆல் divisible ஆக இருக்க வேண்டுமெனில், அதன் last digit 0 அல்லது 5 ஆக இருக்க வேண்டும். last digit 0 உள்ள numbers மற்றும் last digit 5 உள்ள numbers என இரண்டு cases-ஐ கணக்கிட்டு சேர்ப்போம்.

  2. Step 2: Case A - last digit = 0.

    first digit (thousands place) 0 ஆக இருக்கக்கூடாது (leading zero இல்லை) மேலும் digits repeat ஆகக்கூடாது. first place-க்கு கிடைக்கும் digits = 1-9 → 9 choices. first மற்றும் last digits fix செய்த பிறகு, middle two places-க்கு மீதமுள்ள 8 digits-இல் இருந்து order-உடன் நிரப்ப வேண்டும் → permutations P(8,2) = 8 × 7 = 56.

    அதனால் Case A-க்கு count = 9 × 56 = 504.

  3. Step 3: Case B - last digit = 5.

    last digit 5 என fix. first digit 0 அல்லது 5 ஆக இருக்கக்கூடாது → digits {1..9}-இல் இருந்து 5 நீக்கினால் 8 choices. first மற்றும் last fix செய்த பின், middle two positions-க்கு மீதமுள்ள digits = 8; middle positions count = P(8,2) = 8 × 7 = 56.

    அதனால் Case B-க்கு count = 8 × 56 = 448.

  4. Step 4: mutually exclusive cases-ஐ சேர்க்கவும்.

    Total valid numbers = Case A + Case B = 504 + 448 = 952.

  5. Final Answer:

    நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் 4-digit numbers எண்ணிக்கை 952.

  6. Quick Check:

    எந்த constraint-உம் இல்லாத, repetition இல்லாத 4-digit numbers = 9 × 9 × 8 × 7 = 4,536 (first digit 1-9, பிறகு மீதமுள்ள digits). நமது பதில் 952, 4,536-ஐ விட குறைவாக உள்ளது - பொருத்தமானது ✅

Quick Variations

1. Password-type: repetition allowed என்றால், independent positions-க்கு nr பயன்படுத்தவும் (எ.கா., 4-digit password-க்கு 104 = 10,000).

2. Seating with blocks: ஒன்றாக அமர வேண்டியவர்கள் இருந்தால், அவர்களை ஒரு block-ஆக கருதி, internal permutations-ஐ பெருக்கவும்.

3. Mixed digit constraints: divisibility by 2 (even) + no repetition போன்ற conditions இருந்தால், last-digit parity cases-ஆக பிரித்து இதேபோல் கணக்கிடவும்.

4. Multi-stage with selection + arrangement: முதலில் r items-ஐ தேர்வு செய்யவும் (nCr), பின்னர் அவற்றை arrange செய்யவும் (r!) → இது nPr-க்கு சமம்.

Trick to Always Use

  • Step 1: பிரச்சினையை independent stages அல்லது mutually exclusive cases-ஆக பிரிக்கவும் (எ.கா., last digit choices, block vs single).
  • Step 2: ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான counting rule-ஐ தேர்வு செய்யவும்: order முக்கியமானால் nPr, முக்கியமில்லை என்றால் nCr, repetition allowed என்றால் nr.
  • Step 3: independent stages-ன் counts-ஐ multiply செய்யவும்; exclusive cases-ன் counts-ஐ add செய்யவும்.
  • Step 4: Quick sanity check: பதில், மிகவும் relaxed total-ஐ விட குறைவாக அல்லது சமமாக இருக்க வேண்டும் (எ.கா., ≤ n!, ≤ nr, அல்லது ≤ 2n - context-ஐப் பொறுத்து).

Summary

  • ஒவ்வொரு mixed problem-யையும் counting-க்கு முன் தெளிவான stages அல்லது exclusive cases-ஆக பிரிக்கவும்.
  • ஒவ்வொரு stage-க்கும் சரியான counting rule-ஐ தேர்வு செய்யவும்: nPr, nCr, அல்லது nr.
  • independent stages-க்கு multiplication மற்றும் mutually exclusive cases-க்கு addition பயன்படுத்தவும்.
  • எப்போதும் final count-ஐ unconstrained maximum-உடன் sanity-check செய்யவும் - பதில் நியாயமானதா என்பதை உறுதி செய்ய.

நினைவில் வைக்க வேண்டிய example:
constraints-ஐ stages-ஆக (last-digit cases போன்றவை) மாற்றி, ஒவ்வொரு stage-க்கும் rules பயன்படுத்தி, பின்னர் combine செய்யவும் - இதே முறையில் தான் 952 என்ற பதிலை பெற்றோம்.

Practice

(1/5)
1. How many 3-digit numbers can be formed using digits 1, 2, 3, 4, and 5 if repetition is allowed?
easy
A. 60
B. 125
C. 64
D. 120

Solution

  1. Step 1: Identify digits and rule.

    Available digits = 5 (1-5); repetition allowed → each of the 3 positions can be any of the 5 digits.

  2. Step 2: Apply the rule for repetition.

    Total = 53 = 125.

  3. Final Answer:

    125 → Option B.

  4. Quick Check:

    Each of the 3 places has 5 choices → 5 × 5 × 5 = 125 ✅
Hint: When repetition is allowed use n^r.
Common Mistakes: Using permutations (nPr) instead of n^r for repetition-allowed positions.
2. How many 4-letter words can be formed from the letters of the word 'SQUARE' if repetition is NOT allowed?
easy
A. 360
B. 720
C. 120
D. 240

Solution

  1. Step 1: Count available letters.

    'SQUARE' has 6 distinct letters.

  2. Step 2: Choose and arrange 4 letters (order matters, no repetition).

    Number = 6P4 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

  3. Final Answer:

    360 → Option A.

  4. Quick Check:

    Multiply descending choices for each position: 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ✅
Hint: Use nPr when order matters and repetition is not allowed.
Common Mistakes: Using combinations (nCr) instead of permutations (nPr) when order matters.
3. In how many ways can 5 people be seated in a row if A and B do not sit together?
easy
A. 96
B. 72
C. 120
D. 48

Solution

  1. Step 1: Total arrangements without restriction.

    Total = 5! = 120.

  2. Step 2: Count arrangements where A and B sit together.

    Treat A and B as one block → now 4 items → arrangements = 4! × 2! = 24 × 2 = 48.

  3. Step 3: Subtract to get 'not together'.

    Not together = Total - Together = 120 - 48 = 72.

  4. Final Answer:

    72 → Option B.

  5. Quick Check:

    Together (48) + Not together (72) = 120 (total) ✅
Hint: Compute Total - Together; treat the pair as a block to count 'together'.
Common Mistakes: Forgetting the internal 2! for the paired block.
4. How many 3-digit even numbers can be formed using digits 1 to 7 without repetition?
medium
A. 90
B. 120
C. 150
D. 100

Solution

  1. Step 1: Fix the units (last) digit to be even.

    Even digits from 1-7 are 2, 4, 6 → 3 choices for the units place.

  2. Step 2: Choose the hundreds (first) digit.

    First digit cannot be zero (not present) and cannot be the chosen last digit → from remaining 6 digits → 6 choices.

  3. Step 3: Choose the tens digit.

    Remaining digits now = 5 choices.

  4. Step 4: Multiply choices across positions.

    Total = 3 × 6 × 5 = 90.

  5. Final Answer:

    90 → Option A.

  6. Quick Check:

    Count by fixing last digit first (3 ways) then fill hundreds and tens without repetition → 3 × 6 × 5 = 90 ✅
Hint: Fix constrained positions (last digit even) first, then count remaining positions without repetition.
Common Mistakes: Counting leading zeros or not enforcing non-repetition when filling remaining places.
5. A 4-digit password is made of digits 0-9 where repetition is allowed but the password must start with a non-zero digit. How many passwords can be formed?
medium
A. 10,000
B. 9,000
C. 9,999
D. 9,090

Solution

  1. Step 1: Handle first-digit restriction.

    First digit must be 1-9 → 9 choices.

  2. Step 2: Remaining digits.

    Each of the remaining 3 positions can be any of 10 digits (0-9) with repetition allowed → 10 × 10 × 10.

  3. Step 3: Multiply all stages.

    Total = 9 × 10 × 10 × 10 = 9,000.

  4. Final Answer:

    9,000 → Option B.

  5. Quick Check:

    All 4-digit numbers without leading zero = 9,000 (from 1,000 to 9,999) ✅
Hint: Treat the restricted first digit separately, then multiply by choices for remaining positions.
Common Mistakes: Allowing a leading zero (which would produce 3-digit numbers) or forgetting repetition rules.