0
0

Conditional Permutations (With/Without Restrictions)

Introduction

பல permutation பிரச்சினைகளில் கூடுதல் விதிமுறைகள் இருக்கும் - சிலர் ஒன்றாக அமர வேண்டும், சில items அடுத்தடுத்ததாக வரக்கூடாது, சில positions fix செய்யப்பட்டிருக்கும், அல்லது alternating patterns இருக்கும். இத்தகைய conditional permutations பிரச்சினைகளில், கேள்வியை தெளிவான cases-ஆக பிரித்து, ஒவ்வொரு case-லுமே அடிப்படை permutation விதிகளை பயன்படுத்த வேண்டும்.

real exam கேள்விகளில் restrictions சேர்க்கப்படுவது பொதுவாக இருப்பதால் இது முக்கியம்; systematic case-work மற்றும் reductions-ஐ கற்றுக்கொண்டால் தவறுகள் குறையும்.

Pattern: Conditional Permutations (With/Without Restrictions)

Pattern

முக்கிய கருத்து: restriction-ஐ அதற்கு இணையான counting step-ஆக மாற்றுங்கள் (block-ஆக கருதுதல், forbidden arrangements-ஐ total-இலிருந்து கழித்தல், positions fix செய்தல், அல்லது independent choices-ஐ பெருக்குதல்).

பொதுவான அணுகுமுறைகள்:

  • Together: ஒன்றாக இருக்க வேண்டிய items-ஐ ஒரு single block-ஆக கருதி, block-ன் internal arrangements-ஐ எண்ணி, பிற items-உடன் arrangements-ஐ பெருக்கவும்.
  • Not together: Total arrangements-ஐ கணக்கிட்டு, items ஒன்றாக இருக்கும் arrangements-ஐ கழிக்கவும் (Total - Together).
  • Fixed positions: constraint உள்ள items-ஐ முதலில் place (anchor) செய்து, மீதமுள்ள slots-ஐ permute செய்யவும்.
  • Alternating arrangement: ஒரு வகையை (எ.கா., women) தேர்ந்த slots-ல் place செய்து, பின்னர் மற்ற வகையை மீதமுள்ள slots-ல் permute செய்யவும்.

Step-by-Step Example

Question

ஐந்து பேர் A, B, C, D, E ஒரு row-ல் அமர்கிறார்கள். A மற்றும் B கட்டாயமாக ஒன்றாக அமர வேண்டும் என்றால், எத்தனை arrangements சாத்தியம்?

Solution

  1. Step 1: restriction-ஐ புரிந்துகொள்ளவும்.

    A மற்றும் B அடுத்தடுத்ததாக இருக்க வேண்டும் → AB-ஐ ஒரு single block-ஆக (X) கருதவும். இப்போது X, C, D, E ஆகியவற்றின் arrangements-ஐ எண்ணவும்.

  2. Step 2: blocks-ஐ arrange செய்யவும்.

    X, C, D, E ஆகியவற்றை arrange செய்யும் வழிகள் = 4! = 24.

  3. Step 3: block-ன் internal arrangements-ஐ எண்ணவும்.

    block X-க்குள் A மற்றும் B → AB அல்லது BA என 2 விதங்கள் → 2! = 2.

  4. Step 4: independent counts-ஐ பெருக்கவும்.

    Total arrangements = blocks arrangements × internal arrangements = 4! × 2 = 24 × 2 = 48.

  5. Final Answer:

    A மற்றும் B ஒன்றாக அமரும்போது கிடைக்கும் valid arrangements எண்ணிக்கை 48.

  6. Quick Check:

    A மற்றும் B-க்கு எந்த restriction-உம் இல்லையெனில் → 5! = 120. together-case குறைவாக இருக்க வேண்டும்: 48 < 120 ✅

Quick Variations

1. “Never together”: Total - Together. உதாரணம்: total 5! = 120; together = 48 → never together = 72.

2. Three together: மூன்றையும் ஒரு single block-ஆக கருதி, internal 3! arrangements-ஐ பெருக்கவும்.

3. Fixed seats: ஒரு நபர் குறிப்பிட்ட seat-ல் அமர வேண்டும் என்றால், அவரை முதலில் fix செய்து, மீதமுள்ளவர்களை (n - 1)! வழிகளில் permute செய்யவும்.

4. Alternate men & women: குறைந்த எண்ணிக்கையுள்ள group-ஐ முதலில் alternate slots-ல் place செய்து, பின்னர் மற்ற group-ஐ மீதமுள்ள slots-ல் permute செய்யவும். உதாரணம்: 3 men மற்றும் 3 women (row அல்லது table) அமைப்பில் counting செய்யவும்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → restriction-ஐ ஒரு operation-ஆக மாற்றவும்: block, exclusion, fixed slot, அல்லது alternating slots.
  • Step 2 → மாற்றப்பட்ட பிரச்சினையின் arrangements-ஐ எண்ணவும் (factorials அல்லது permutations பயன்படுத்தவும்).
  • Step 3 → internal arrangements (blocks-க்குள் order) மற்றும் block/people எந்த positions-ல் வருகிறார்கள் என்பதற்கான choices-ஐ பெருக்கவும்.
  • Step 4 → Quick sanity check: பதில் ≤ restriction இல்லாத total arrangements (n!).

Summary

Summary

Conditional permutations, கீழ்க்கண்ட transformations-இல் ஒன்றை பயன்படுத்திய பிறகு எளிய counting-ஆக மாறும்:

  • Together: grouped items-ஐ block-ஆக கருதி → blocks arrangements × internal permutations.
  • Not together: Total - Together.
  • Fixed positions: constraint உள்ள items-ஐ முதலில் place செய்து, பின்னர் மீதமுள்ளவற்றை permute செய்யவும்.
  • Alternating: ஒரு group-ஐ தேர்ந்த slots-ல் place செய்து, பிறகு மற்ற group-ஐ மீதமுள்ள slots-ல் arrange செய்யவும்.

எப்போதும் case-work-ஐ தெளிவாக எழுதுங்கள் மற்றும் unconstrained total-உடன் ஒரு quick check செய்யுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. Six friends A, B, C, D, E, and F sit in a row. In how many arrangements are A and B always together?
easy
A. 240
B. 360
C. 480
D. 720

Solution

  1. Step 1: Combine A and B into one block.

    Treat A and B as a single unit (X). Now we have X, C, D, E, F → 5 items in total.

  2. Step 2: Arrange the blocks.

    Number of ways to arrange 5 items = 5! = 120.

  3. Step 3: Arrange A and B within their block.

    A and B can be arranged internally in 2! = 2 ways.

  4. Step 4: Multiply both results.

    Total arrangements = 5! × 2 = 120 × 2 = 240.

  5. Final Answer:

    There are 240 valid arrangements → Option A.

  6. Quick Check:

    Without restriction = 6! = 720; together-case should be smaller: 240 < 720 ✅
Hint: Treat the pair as one block, compute factorial of reduced count, and multiply by 2! for internal order.
Common Mistakes: Using 6! directly or forgetting internal swapping of A and B.
2. Four people A, B, C, D sit in a row. In how many arrangements are A and B not sitting together?
easy
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24

Solution

  1. Step 1: Count total arrangements without restriction.

    Total = 4! = 24.

  2. Step 2: Count arrangements where A and B sit together.

    Treat AB as a block → items: (AB), C, D → 3! arrangements = 6; internal AB orders = 2 → together = 6 × 2 = 12.

  3. Step 3: Subtract to get 'not together'.

    Not together = Total - Together = 24 - 12 = 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option B.

  5. Quick Check:

    Not together + together = 12 + 12 = 24 (matches total) ✅
Hint: Use Total - Together for 'not together' problems.
Common Mistakes: Counting only block arrangements and forgetting internal orders when computing 'together'.
3. Five people sit around a round table. In how many distinct circular arrangements do A and B sit together? (rotations considered identical, reflections distinct)
easy
A. 12
B. 24
C. 48
D. 6

Solution

  1. Step 1: Convert to circular-block problem.

    Treat A and B as a single block. Now objects around circle: (AB), C, D, E → 4 items around a circle.

  2. Step 2: Use circular permutation for blocks.

    Number of circular arrangements of 4 distinct items (rotations identical) = (4 - 1)! = 3! = 6.

  3. Step 3: Multiply by internal orders of block.

    AB can be AB or BA → 2 orders. Total = 6 × 2 = 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option A.

  5. Quick Check:

    Anchor one element of the 4-block circle, arrange remaining 3 → 3! = 6; times 2 internal orders = 12 ✅
Hint: For circular 'together' problems, treat block as one then use (m - 1)! for m blocks, and multiply by internal orders.
Common Mistakes: Using linear permutations (m!) instead of circular ((m - 1)!).
4. Seven people are seated in a row. If three specific people must sit together, how many arrangements are possible?
medium
A. 3,600
B. 504
C. 720
D. 1,260

Solution

  1. Step 1: Group the three people as one block.

    Treat the three-person block as a single item. Now total items = block + 4 other people = 5 items.

  2. Step 2: Arrange the blocks in the row.

    Number of ways to arrange 5 items = 5! = 120.

  3. Step 3: Count internal arrangements inside the block.

    The three people can be ordered in 3! = 6 ways.

  4. Step 4: Multiply counts.

    Total arrangements = 5! × 3! = 120 × 6 = 720.

  5. Final Answer:

    720 → Option C.

  6. Quick Check:

    Result ≤ 7! = 5,040 and seems reasonable: 720 < 5,040 ✅
Hint: Treat required-together group as one block, arrange blocks, then multiply by internal permutations.
Common Mistakes: Forgetting internal permutations of the grouped people (3!).
5. Three men and three women are to be seated in a row of six chairs so that sexes alternate. How many arrangements are possible?
medium
A. 36
B. 18
C. 48
D. 72

Solution

  1. Step 1: Identify alternate-slot patterns.

    For a row of six, sexes can alternate in two patterns: M W M W M W or W M W M W M → 2 choices of pattern.

  2. Step 2: Permute men and women within their slots.

    Men can be arranged in 3! = 6 ways; women in 3! = 6 ways.

  3. Step 3: Multiply all choices.

    Total = 2 × 3! × 3! = 2 × 6 × 6 = 72.

  4. Final Answer:

    72 → Option D.

  5. Quick Check:

    Alternate arrangements must be fewer than 6! = 720; 72 is reasonable ✅
Hint: Count slot-pattern choices (usually 2) then multiply by permutations of each group (3! × 3!).
Common Mistakes: Using combinations (ignoring order) instead of permutations for arranging people in slots.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes