0
0

Repetition Allowed (Permutation with Repetition)

Introduction

Repetition Allowed pattern (அதாவது permutation with repetition) என்பது ஒவ்வொரு இடத்திலும் ஒரே பொருளை பலமுறை பயன்படுத்த அனுமதிக்கப்படும் நிலைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது பொதுவாக passwords, PINs, codes போன்றவற்றில், தேர்வுகள் மீண்டும் மீண்டும் வரக்கூடிய சூழ்நிலைகளில் காணப்படுகிறது.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் repetition அனுமதிக்கப்பட்டால் எண்ணிக்கையை எளிதாகக் கணக்கிட முடியும் - factorials க்கு பதிலாக exponentiation பயன்படுத்தப்படுகிறது: n^r.

Pattern: Repetition Allowed (Permutation with Repetition)

Pattern

ஒவ்வொரு r இடத்திற்கும் n தேர்வுகள் உள்ளன, மேலும் repetition அனுமதிக்கப்பட்டால், மொத்த arrangement எண்ணிக்கை nr.

Formula: Total outcomes = nr (r இடங்களிலும் ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக n தேர்வுகளை கொண்டுள்ளது.)

Step-by-Step Example

Question

A, B, C, D என்ற எழுத்துகளைப் பயன்படுத்தி repetition அனுமதிக்கப்பட்டால், எத்தனை 3-letter codes உருவாக்கலாம்?

Solution

  1. Step 1: கொடுக்கப்பட்டவற்றை அடையாளம் காண்க.

    n = 4 எழுத்துகள் (A, B, C, D). Code நீளம் r = 3. Repetition அனுமதிக்கப்பட்டுள்ளது.

  2. Step 2: Repetition விதியைப் பயன்படுத்தவும்.

    ஒவ்வொரு இடத்திலும் 4 எழுத்துகளில் எதுவும் வரலாம் என்பதால், nr சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

  3. Step 3: Substitute செய்து கணக்கிடுக.

    மொத்த codes = 43 = 4 × 4 × 4 = 64.

  4. Final Answer:

    Repetition அனுமதிக்கப்பட்டால், 64 விதமான 3-letter codes உருவாக்கலாம்.

  5. Quick Check:

    சிந்தித்து பாருங்கள்: 1st letter க்கு 4 தேர்வுகள், 2nd letter க்கு 4 தேர்வுகள், 3rd letter க்கு 4 தேர்வுகள் → 4 × 4 × 4 = 64 ✅

Quick Variations

1. இலக்கங்கள் கொண்ட codes: உதா., 0-9 இலக்கங்களில் இருந்து 4-digit PIN → 104 = 10,000.

2. Mixed positions: எழுத்துகள் + இலக்கங்கள் (உதா., 2 letters பின்னர் 3 digits) → பகுதிகளாகப் பிரித்து பெருக்கவும்: 26² × 10³.

3. Repetition அனுமதிக்கப்படாவிட்டால்: permutations (nPr) பயன்படுத்தவும் - வேறுபட்ட சூத்திரம்.

Trick to Always Use

  • Step 1: Repetition அனுமதிக்கப்பட்டுள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும். YES என்றால் → nr பயன்படுத்தவும்.
  • Step 2: Mixed structure இருந்தால், அதை தனித்த blocks ஆகப் பிரித்து பெருக்கவும் (உதா., letters block × digits block).

Summary

Summary

ஒவ்வொரு இடத்திலும் தேர்வுகள் மீண்டும் வரக்கூடிய நிலையில்:

  • n = ஒவ்வொரு இடத்திற்கான தேர்வுகள், r = இடங்களின் எண்ணிக்கை என்றால் nr பயன்படுத்தவும்.
  • Passwords, PINs, codes மற்றும் independent repeated selections ஆகியவற்றில் இது பொருந்தும்.
  • Mixed format இருந்தால், ஒவ்வொரு block ஐ தனித்தனியாகக் கணக்கிட்டு முடிவுகளைப் பெருக்கவும்.

Practice

(1/5)
1. How many 3-digit PINs can be formed using digits 0-9 if repetition is allowed?
easy
A. 1000
B. 900
C. 720
D. 10000

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Digits available = 10 (0-9). Number of positions r = 3. Repetition allowed.

  2. Step 2: Apply the repetition rule.

    Total PINs = nr = 103.

  3. Step 3: Substitute and compute.

    103 = 1000.

  4. Final Answer:

    There are 1000 possible 3-digit PINs → Option A.

  5. Quick Check:

    Each of 3 positions has 10 choices → 10 × 10 × 10 = 1000 ✅
Hint: When repetition allowed, use n^r (choices^positions).
Common Mistakes: Using permutations (nPr) or forgetting that 0 is allowed in the first position.
2. How many 2-letter codes can be formed using the 26 English letters if repetition is allowed?
easy
A. 325
B. 676
C. 650
D. 702

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Letters available = 26. Positions r = 2. Repetition allowed.

  2. Step 2: Apply the rule for repetition.

    Total codes = 262.

  3. Step 3: Compute.

    26 × 26 = 676.

  4. Final Answer:

    There are 676 2-letter codes → Option B.

  5. Quick Check:

    Each position has 26 choices → 26² = 676 ✅
Hint: Compute block-wise: letters block = 26^positions.
Common Mistakes: Multiplying by 25 (no repetition) when repetition is allowed.
3. How many distinct 4-bit binary strings exist (bits can repeat)?
easy
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Choices per position (bit) = 2 (0 or 1). Positions r = 4. Repetition allowed.

  2. Step 2: Apply n^r rule.

    Total strings = 24.

  3. Step 3: Compute.

    2 × 2 × 2 × 2 = 16.

  4. Final Answer:

    There are 16 distinct 4-bit strings → Option C.

  5. Quick Check:

    Each of 4 positions has 2 choices → 2⁴ = 16 ✅
Hint: Use 2^r for binary-length strings.
Common Mistakes: Confusing with permutations without repetition (nPr).
4. A vehicle plate has 2 letters followed by 2 digits. If repetition is allowed for both letters and digits, how many plates are possible? (26 letters, 10 digits)
medium
A. 6,760
B. 67,60,000
C. 6,76,000
D. 67,600

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Letters positions = 2 (each 26 choices); digit positions = 2 (each 10 choices). Repetition allowed.

  2. Step 2: Compute blocks separately and multiply.

    Letter block = 26² = 676. Digit block = 10² = 100. Total = 676 × 100.

  3. Step 3: Compute final value.

    676 × 100 = 67,600.

  4. Final Answer:

    There are 67,600 possible plates → Option D.

  5. Quick Check:

    26² × 10² = 676 × 100 = 67,600 ✅
Hint: Multiply independent blocks: letters^positions × digits^positions.
Common Mistakes: Misplacing zeros or using 26 × 10 instead of exponent rules.
5. How many 3-character codes can be formed using the letters {A, B, C, D, E} if repetition is allowed?
medium
A. 125
B. 60
C. 75
D. 100

Solution

  1. Step 1: Identify what is given.

    Choices per position n = 5 (A-E). Positions r = 3. Repetition allowed.

  2. Step 2: Apply the repetition formula.

    Total = 53.

  3. Step 3: Compute.

    5 × 5 × 5 = 125.

  4. Final Answer:

    There are 125 possible 3-character codes → Option A.

  5. Quick Check:

    Each of 3 positions has 5 choices → 5³ = 125 ✅
Hint: Compute n^r directly for small n and r.
Common Mistakes: Using permutations (nPr) or forgetting to allow repetition.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes