Introduction
Cylinders, cones, மற்றும் spheres என்பது mensuration பகுதியில் உள்ள அடிப்படை 3D solids ஆகும். இவை containers, pipes, balls, மற்றும் cones போன்றவை தொடர்பான நடைமுறை problems-ல் அடிக்கடி வருகிறது. இவற்றின் surface areas மற்றும் volumes-ஐ கணக்கிடுவது real-world applications மற்றும் aptitude exams இரண்டிற்கும் மிகவும் அவசியம்.
இந்த வடிவங்கள் அனைத்தும் circles-இல் இருந்து பெறப்பட்டவை. அதனால் இவற்றின் formulas-ல் π (pi) அதிகமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த pattern, curved surfaces மற்றும் volume relationships-ஐ எளிதாக handle செய்வது எப்படி என்பதை உங்களுக்கு கற்றுத் தருகிறது.
Pattern: Cylinder, Cone, and Sphere
Pattern
முக்கிய கருத்து: surface area, curved surface area, அல்லது volume எது கேட்கப்பட்டிருக்கிறதோ, அதற்கேற்ற சரியான formula-வை பயன்படுத்த வேண்டும்.
Formulas to Remember:
Cylinder:
• Volume = πr²h
• Curved Surface Area (CSA) = 2πrh
• Total Surface Area (TSA) = 2πr(h + r)
Cone:
• Volume = (1/3)πr²h
• Slant height (l) = √(r² + h²)
• CSA = πrl
• TSA = πr(l + r)
Sphere:
• Volume = (4/3)πr³
• Surface Area = 4πr²
Step-by-Step Example
Question
ஒரு cone-க்கு radius 7 cm மற்றும் height 24 cm. அதன் slant height மற்றும் curved surface area (CSA)-ஐ காண்க.
Solution
-
Step 1: Slant height (l)-ஐ காண்க.
Pythagoras theorem பயன்படுத்தி: l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 cm. -
Step 2: Curved surface area (CSA)-ஐ காண்க.
CSA = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 cm². -
Final Answers:
• Slant height = 25 cm
• CSA = 550 cm² -
Quick Check:
மதிப்புகளை மீண்டும் substitute செய்தால்: (22/7) × 7 × 25 = 550 ✅
Quick Variations
1. volume அல்லது surface area கொடுக்கப்பட்டால் radius அல்லது height-ஐ காண்க.
2. ஒரே base மற்றும் height கொண்ட cone மற்றும் cylinder-ன் volumes-ஐ compare செய்யுங்கள் (ratio 1:3).
3. tank அல்லது dome-based problems-ல் hemispheres (half-sphere) பயன்படுத்துங்கள்.
4. cone on a cylinder அல்லது cylinder-க்குள் sphere போன்ற combined solids problems-ஐ தீர்க்குங்கள்.
Trick to Always Use
- Step 1 → solid-ன் type-ஐ அடையாளம் காணுங்கள் (cylinder, cone, அல்லது sphere).
- Step 2 → substitute செய்வதற்கு முன் அதன் formula-வை கவனமாக எழுதுங்கள்.
- Step 3 → cones-க்கு, √(r² + h²) பயன்படுத்தி முதலில் slant height-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
- Step 4 → வேறு சொல்லப்படவில்லை என்றால் π = 22/7 பயன்படுத்துங்கள்.
Summary
Summary
Cylinder, Cone, and Sphere pattern-ல்:
- Cylinder: Volume = πr²h; TSA = 2πr(h + r)
- Cone: Volume = (1/3)πr²h; Slant height = √(r² + h²)
- Sphere: Volume = (4/3)πr³; Surface Area = 4πr²
- Units-ஐ எப்போதும் சரிபாருங்கள் - area cm²-ல், volume cm³-ல்.
- hemisphere-க்கு → sphere-ன் volume-ஐ பாதியாக எடுத்து, தேவைப்பட்டால் base area-ஐ சேர்க்கவும்.
Hint: Square the radius first, then multiply by π and height.
Common Mistakes: Forgetting to square radius or omitting π.