Introduction
Coordinate Geometry என்பது algebra மற்றும் geometry ஆகியவற்றை x-y plane மீது புள்ளிகளை வைத்து இணைக்கிறது. புள்ளிகளுக்கிடையிலான distance, ஒரு கோட்டின் slope, மற்றும் coordinates பயன்படுத்தி ஒரு polygon (triangle) இன் area ஆகிய திறன்கள் aptitude exams-இல் அடிக்கடி கேட்கப்படுகின்றன.
இந்த pattern, coordinate formulas பயன்படுத்தி வடிவியல் கேள்விகளை எளிய algebra கணக்குகளாக மாற்ற உதவுகிறது.
Pattern: Coordinate Geometry (Distance, Slope, Area)
Pattern
Key concept: புள்ளிகளின் coordinates-இல் இருந்து நேரடியாக distance, slope, midpoint மற்றும் polygon area-வை கணக்கிட coordinate formulas-ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
Important formulas:
• (x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) இடையிலான Distance: √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²].
• (x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) வழியாக செல்லும் கோட்டின் Slope: (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (vertical line → undefined).
• (x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) இணைக்கும் segment-இன் Midpoint: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
• (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) முனைகளைக் கொண்ட triangle-இன் Area: ½ | x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) |.
Step-by-Step Example
Question
A(-1, 2), B(3, -2) மற்றும் C(5, 4) என்ற புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
(a) AB-இன் distance-ஐ காண்க.
(b) BC-இன் slope-ஐ காண்க.
(c) triangle ABC-இன் area-வை காண்க.
Solution
-
Step 1: distance formula பயன்படுத்தி AB-ஐ கணக்கிடுதல்.
A(-1,2), B(3,-2) என்பவற்றிற்கு AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²].
வேறுபாடுகள்: x₂ - x₁ = 3 - (-1) = 4; y₂ - y₁ = -2 - 2 = -4.
AB = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2. -
Step 2: slope formula பயன்படுத்தி BC-இன் slope.
B(3,-2), C(5,4). Slope m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (4 - (-2)) / (5 - 3) = 6/2 = 3. -
Step 3: determinant formula பயன்படுத்தி triangle ABC-இன் area.
Area = ½ | x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) |.
A(-1,2), B(3,-2), C(5,4) substitute செய்க:
= ½ | (-1)((-2) - 4) + 3(4 - 2) + 5(2 - (-2)) |.
உள்ளே simplify செய்தால்: (-1)(-6) + 3(2) + 5(4) = 6 + 6 + 20 = 32.
Area = ½ × |32| = 16 square units. -
Final Answers:
(a) AB = 4√2.
(b) BC-இன் Slope = 3.
(c) ΔABC-இன் Area = 16. -
Quick Check:
• Distance differences சமமான அளவு → AB என்பது 4×4 right triangle-இன் diagonal → 4√2 சரியாக உள்ளது.
• Slope 3 என்பது integer மற்றும் positive; ஏனெனில் C, B-க்கு மேலாகவும் வலப்பக்கமாகவும் உள்ளது.
• Area 16 என்பது determinant கணக்குடன் பொருந்துகிறது ✅
Quick Variations
1. இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் equation-ஐ காண்க (point-slope form).
2. Perpendicularity சரிபார்க்க: slopes m₁·m₂ = -1.
3. Midpoint-ஐ கண்டுபிடித்து circle அல்லது reflection-களுக்கான center-ஆக பயன்படுத்துங்கள்.
4. 3-க்கும் மேற்பட்ட vertices கொண்ட polygon-இன் area: shoelace formula (triangle determinant-இன் extension) பயன்படுத்துங்கள்.
Trick to Always Use
- Step 1 → sign mistakes தவிர்க்க முதலில் coordinate differences (x₂ - x₁, y₂ - y₁)-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
- Step 2 → slope-க்கு fraction-ஐ ஆரம்பத்திலேயே simplify செய்யுங்கள்; vertical (undefined) மற்றும் horizontal (0) case-களை கவனியுங்கள்.
- Step 3 → area-க்கு determinant (அல்லது shoelace) முறையை பயன்படுத்தி, sign-ஐ கவனித்து, கடைசியில் absolute value எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்.
Summary
Summary
முக்கிய formulas நினைவில் வைத்தால் Coordinate Geometry கேள்விகள் எளிய algebra-ஆக மாறும்:
- Distance: √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²].
- Slope: (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (vertical → undefined).
- Triangle-இன் Area: ½ | x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) |.
- முதலில் differences கணக்கிடுங்கள், fractions-ஐ சீக்கிரம் simplify செய்யுங்கள், மற்றும் எப்போதும் ஒரு quick sanity check செய்யுங்கள்.
Hint: Subtract coordinates, square differences, add, then take square root and round neatly.
Common Mistakes: Leaving root form when numeric value is expected or rounding incorrectly.