0
0

Combination and Conversion of Solids

Introduction

பல mensuration problems-ல் solids ஒன்றோடொன்று சேர்க்கப்படுகின்றன (உதா: cylinder மேல் cone) அல்லது ஒரு solid-இலிருந்து மற்றொரு solid-ஆக material மாற்றப்படுகிறது (melting மற்றும் recasting). இந்த pattern, volumes-ஐ add/subtract செய்வது மற்றும் solids மாற்றப்படும் போது volume equality-ஐ பயன்படுத்துவது எப்படி என்பதை கற்றுத் தருகிறது - இது exams-ல் அடிக்கடி வரும், high-yield topic ஆகும்.

இதை நன்றாக புரிந்துகொண்டால் tank capacity, metal casting, hollow objects, மற்றும் shaded/remaining volumes போன்ற practical questions-ஐ எளிதாக தீர்க்கலாம்.

Pattern: Combination and Conversion of Solids

Pattern

முக்கிய கருத்து: combined shapes-க்கு volumes (அல்லது areas)-ஐ add/subtract செய்யுங்கள். conversion-க்கு, before-இல் உள்ள total volume = after-இல் உள்ள total volume என சமமாக்குங்கள்.

Useful relations:
• Volume add/subtract: Volume(composite) = Sum(volumes of parts) - Volume(removed parts).
• Conversion: Volume(before) = Volume(after) (mass மற்றும் density constant).
• Problems-ல் அடிக்கடி பயன்படும் formulas: cylinder πr²h, cone (1/3)πr²h, sphere (4/3)πr³, cuboid lbh.

Step-by-Step Example

Question

radius 9 cm கொண்ட ஒரு solid metal sphere உருக்கப்பட்டு, base radius 3 cm மற்றும் height 8 cm கொண்ட ஒரே மாதிரியான cones-ஆக மீண்டும் வடிவமைக்கப்படுகிறது. எத்தனை முழு cones உருவாக்கலாம்?

Solution

  1. Step 1: Sphere-ன் volume-ஐ கணக்கிடுங்கள்.

    Sphere volume = (4/3)πR³. R = 9 cm ஆக இருப்பதால்: V_sphere = (4/3)π × 9³ = (4/3)π × 729 = 972π.

  2. Step 2: ஒரு cone-ன் volume-ஐ கணக்கிடுங்கள்.

    Cone volume = (1/3)πr²h. r = 3 cm, h = 8 cm: V_cone = (1/3)π × 3² × 8 = (1/3)π × 9 × 8 = 24π.

  3. Step 3: Conversion equality-ஐ பயன்படுத்துங்கள்.

    Cones எண்ணிக்கை = V_sphere ÷ V_cone = (972π) ÷ (24π) = 972 ÷ 24 = 40.5.

  4. Step 4: Final Answer.

    முழு cones மட்டுமே கணக்கில் எடுக்கப்படும் → 40 முழு cones உருவாக்கலாம் (அரை-cone மீதமாக இருக்கும்).

  5. Quick Check:

    40 × 24π = 960π, இது 972π-ஐ விட குறைவு; இன்னொரு cone-க்கு 24π கூடுதல் தேவைப்படும், அது sphere volume-ஐ மீறும் ✅

Quick Variations

1. cylindrical cavity கொண்ட cylinder (hollow pipe): outer cylinder volume-இல் இருந்து inner cylinder volume-ஐ subtract செய்யுங்கள்.

2. cylinder மேல் cone கொண்ட solid: cone மற்றும் cylinder volumes-ஐ add செய்யுங்கள்.

3. பல சிறிய solids-இல் உள்ள metal ஒன்றாக சேர்ந்து ஒரு பெரிய solid ஆக மாறினால்: சிறிய volumes-ஐ கூட்டி, பெரிய shape-க்கு சமமாக்குங்கள்.

4. shaded region problems: outer solid/area-இல் இருந்து inner solid/area-ஐ subtract செய்து remaining material-ஐ காணுங்கள்.

5. loss/gain உடன் conversion: percentage loss கொடுக்கப்பட்டால், equate செய்வதற்கு முன் multiply செய்யுங்கள் (உதா: usable volume = (1 - loss%) × initial volume).

Trick to Always Use

  • Step 1 → ஒவ்வொரு part-க்கும் சரியான formulas-ஐ எழுதுங்கள் (ஆரம்பத்தில் approximations செய்ய வேண்டாம்) மற்றும் π-ஐ cancellation செய்ய முடியும் வரை symbolic-ஆக வைத்திருங்கள்.
  • Step 2 → conversion problems-ல் common factors (π, 1/3 போன்றவை) cancel செய்து, பின்னர் numeric computation செய்யுங்கள்.
  • Step 3 → "how many" questions-க்கு, total available volume-ஐ single-item volume-ஆல் divide செய்து, முழு items-க்கு integer part (floor) மட்டுமே எடுக்குங்கள்.
  • Step 4 → feasibility-ஐ சரிபாருங்கள் (உதா: source volume ≥ குறைந்தது ஒரு item-க்கு தேவையான volume) மற்றும் material loss கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அதை கருத்தில் கொள்ளுங்கள்.

Summary

Summary

Combination மற்றும் conversion problems அனைத்தும் careful volume bookkeeping-க்கு சுருங்கி விடும்:

  • joined parts-க்கு volumes-ஐ add செய்யுங்கள்; cavities அல்லது removed parts-க்கு subtract செய்யுங்கள்.
  • recasting problems-ல், initial total volume = final total volume என சமமாக்குங்கள் (loss factor இருந்தால் பயன்படுத்துங்கள்).
  • units ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்; π-ன் numeric value-ஐ cancel ஆகும் வரை அல்லது final answer-க்கு தேவையான வரை பயன்படுத்தாமல் இருக்கவும்.
  • integer count கேள்விகளில், முழு items-க்கு division result-ன் floor value-ஐ எடுத்து, கேட்டால் leftovers-ஐ குறிப்பிடுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. A solid sphere of radius 6 cm is melted to form small spherical balls of radius 3 cm. How many such small spheres can be made?
easy
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2

Solution

  1. Step 1: Use volume ratio for same-shape conversion.

    Number = (Volume of large sphere) ÷ (Volume of small sphere) = (R³) ÷ (r³).

  2. Step 2: Substitute radii.

    R = 6, r = 3 ⇒ Number = (6³) ÷ (3³) = 216 ÷ 27.

  3. Step 3: Compute.

    Number = 8.

  4. Final Answer:

    8 spheres → Option A.

  5. Quick Check:

    Ratio (R/r) = 2 → (2)³ = 8, so 8 small spheres fit exactly by volume ✅
Hint: For identical shapes: number = (linear scale)³ = (R/r)³.
Common Mistakes: Using diameters instead of radii when cubing.
2. A solid metal cone of radius 3 cm and height 12 cm is melted and recast into smaller cones each of radius 1 cm and height 3 cm. How many small cones are formed?
easy
A. 8
B. 36
C. 16
D. 18

Solution

  1. Step 1: Use cone volume formula (factor (1/3) cancels in ratio).

    Number = (R²·H) ÷ (r²·h).

  2. Step 2: Substitute values.

    Large: R²·H = 3² × 12 = 9 × 12 = 108. Small: r²·h = 1² × 3 = 3.

  3. Step 3: Compute.

    Number = 108 ÷ 3 = 36.

  4. Final Answer:

    36 cones → Option B.

  5. Quick Check:

    Scaling: (R/r)² × (H/h) = 9 × 4 = 36 ✅
Hint: For cones: number = (R/r)² × (H/h).
Common Mistakes: Treating cone like sphere (using cubic ratio) - cones use r²·h.
3. A solid cylinder of radius 7 cm and height 10 cm is melted and recast into spheres of radius 3.5 cm. How many complete spheres are made? (Use π = 22/7 if needed.)
easy
A. 2
B. 3
C. 8
D. 5

Solution

  1. Step 1: Compute cylinder volume.

    V_cyl = πR²H = (22/7) × 7² × 10 = 1540 cm³.

  2. Step 2: Compute one sphere volume.

    V_sph = (4/3)πr³ with r = 3.5 → using (22/7) gives V_sph ≈ 179.6667 cm³.

  3. Step 3: Divide total by one sphere and take integer part.

    1540 ÷ 179.6667 ≈ 8.57 → full spheres = 8.

  4. Final Answer:

    8 spheres → Option C.

  5. Quick Check:

    8 × 179.6667 ≈ 1437.33 < 1540, adding one more sphere would exceed the available volume ✅
Hint: Divide total volume by one-piece volume; take floor for full items.
Common Mistakes: Rounding too early - compute with adequate precision before flooring.
4. A cone of radius 7 cm and height 24 cm is placed on top of a solid cylinder of the same radius and height 10 cm (shared base). Find the total volume of the combined solid. (Use π = 22/7.)
medium
A. 2772 cm³
B. 3000 cm³
C. 2500 cm³
D. 3100 cm³

Solution

  1. Step 1: Cylinder volume.

    V_cyl = πr²h = (22/7) × 7² × 10 = 1540 cm³.

  2. Step 2: Cone volume.

    V_cone = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 7² × 24 = 1232 cm³.

  3. Step 3: Add volumes.

    Total = 1540 + 1232 = 2772 cm³.

  4. Final Answer:

    2772 cm³ → Option A.

  5. Quick Check:

    Cone: (1/3) of π×49×24 = (1/3)×(22/7)×1176 = 1232; sum with 1540 gives 2772 ✅
Hint: Add individual volumes; keep π symbolic until cancellation if convenient.
Common Mistakes: Forgetting the 1/3 factor for the cone.
5. A hollow sphere has outer radius 10 cm and inner radius 6 cm. Find the volume of metal used. (Use π = 22/7.)
medium
A. 3285.33 cm³
B. 3300 cm³
C. 3150.50 cm³
D. 3400 cm³

Solution

  1. Step 1: Use hollow-sphere volume formula.

    V = (4/3)π(R³ - r³).

  2. Step 2: Substitute values.

    R³ - r³ = 1000 - 216 = 784. So V = (4/3) × (22/7) × 784.

  3. Step 3: Simplify and compute.

    784 ÷ 7 = 112 → V = (4/3) × 22 × 112 = 9856/3 ≈ 3285.3333 cm³.

  4. Final Answer:

    3285.33 cm³ → Option A.

  5. Quick Check:

    Outer sphere volume - inner sphere volume ≈ 4186.67 - 901.33 = 3285.34 (matches rounding) ✅
Hint: Compute R³ - r³ first, then multiply by (4/3)π; cancel 7 early if using 22/7.
Common Mistakes: Forgetting to cube radii or omitting the (4/3) factor.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes