Introduction
Circles aptitude tests மற்றும் geometry பிரச்சினைகளில் அடிக்கடி வருகின்றன. radius, diameter, tangent, chord, arc மற்றும் sector ஆகியவற்றின் பண்புகளை நன்றாக அறிந்தால், area, length மற்றும் angle தொடர்பான கேள்விகளை விரைவாக தீர்க்க முடியும்.
இந்த pattern, radius ⟂ tangent (தொடுப் புள்ளியில்), வெளிப்புள்ளியிலிருந்து வரையப்படும் சமமான tangents, மற்றும் arcs மற்றும் sectors தொடர்பான கணக்கீடுகள் போன்ற உறவுகளை கவனம் செலுத்துகிறது.
Pattern: Circles (Tangents, Chords, Arcs)
Pattern
Key concept: circle-ன் அடிப்படை பண்புகளை (radius, diameter, tangent ⟂ radius, equal tangents, arc-sector relations) பயன்படுத்தி geometry தகவல்களை algebraic relations-ஆக மாற்றி, lengths / areas / angles கணக்கிடுங்கள்.
Important facts:
• Radius ⟂ tangent (தொடுப் புள்ளியில்).
• ஒரே external point-இலிருந்து வரையப்படும் tangents அனைத்தும் சம நீளமாக இருக்கும்.
• Central angle (θ) உருவாக்கும் arc length = (θ/360) × 2πr மற்றும் sector area = (θ/360) × πr².
• Chord மையத்தில் சம angles உருவாக்கும்; center-இலிருந்து chord-க்கு இழுக்கும் perpendicular, chord-ஐ இரண்டாகப் பிரிக்கும்.
• Diameter = 2 × radius; semicircle பண்புகள் பல angle பிரச்சினைகளை எளிதாக்கும்.
Step-by-Step Example
Question
ஒரு circle-ன் radius 14 cm. அந்த circle-ல் 60° central angle கொண்ட ஒரு sector உள்ளது. (a) arc-ன் length மற்றும் (b) sector-ன் area-வை கண்டறியுங்கள். (π = 22/7 பயன்படுத்தவும்)
Solution
-
Step 1: தெரிந்த மதிப்புகள் மற்றும் formulas-ஐ அடையாளம் காணுங்கள்.
Radius r = 14 cm, Central angle θ = 60°.
Arc length formula: Arc = (θ/360) × 2πr.
Sector area formula: Area = (θ/360) × πr². -
Step 2: Arc length கணக்கிடுங்கள்.
Arc = (60/360) × 2 × (22/7) × 14.
படிப்படியாக எளிமைப்படுத்தல்: 60/360 = 1/6, 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88.
ஆகவே Arc = (1/6) × 88 = 88/6 = 44/3 ≈ 14.67 cm. -
Step 3: Sector area கணக்கிடுங்கள்.
Area = (60/360) × (22/7) × 14².
60/360 = 1/6; 14² = 196. ஆகவே Area = (1/6) × (22/7) × 196.
எளிமைப்படுத்தல்: (22/7) × 196 = 22 × 28 = 616. பின்னர் Area = (1/6) × 616 = 616/6 = 308/3 ≈ 102.67 cm². -
Final Answer:
(a) Arc length = 44/3 cm (≈ 14.67 cm).
(b) Sector area = 308/3 cm² (≈ 102.67 cm²). -
Quick Check:
• பயன்படுத்திய angle fraction = 60/360 = 1/6 - arc மற்றும் area இரண்டும் முழு circumference மற்றும் முழு area-வின் 1/6 பங்கு.
• Full circumference = 2πr = 88 → 88-ன் 1/6 = 14.67 (arc பொருந்துகிறது).
• Full circle area = πr² = 616 → 616-ன் 1/6 = 102.67 (sector area பொருந்துகிறது) ✅
Quick Variations
1. Arc length கொடுக்கப்பட்டால் central angle அல்லது radius கண்டறிதல்.
2. Tangent-radius perpendicular பிரச்சினைகள்: right-angle relations பயன்படுத்தி lengths கண்டறிதல்.
3. ஒரு external point-இலிருந்து வரையப்படும் இரண்டு equal tangents: tangent lengths சமம் என வைத்து equations அமைத்தல்.
4. இரண்டு concentric circles-க்கு இடையிலான ring (annulus) area: π(R² - r²).
Trick to Always Use
- Step 1 → angles-ஐ முதலில் 360°-ன் fraction-ஆக (θ/360) மாற்றுங்கள்; இதையே arc length மற்றும் sector area இரண்டுக்கும் பயன்படுத்தலாம்.
- Step 2 → tangents இருந்தால், சம நீளங்களை குறித்துக் கொண்டு subtraction மூலம் unknowns கண்டறியுங்கள்.
- Step 3 → center-இலிருந்து chord-க்கு perpendicular இழுக்கப்பட்டால், அது chord-ஐ இரண்டாகப் பிரிக்கும் என்பதை நினைவில் கொண்டு right triangle relations பயன்படுத்துங்கள்.
Summary
Summary
Circles (Tangents, Chords, Arcs) pattern-க்கு:
- Arc length மற்றும் sector area கணக்கீடுகளுக்கு θ/360 என்பதை முக்கிய fraction-ஆக பயன்படுத்துங்கள்.
- Radius, tangent-க்கு தொடுப் புள்ளியில் perpendicular - இதை right triangle அமைக்க பயன்படுத்துங்கள்.
- External point-இலிருந்து வரையப்படும் equal tangents பல length பிரச்சினைகளை எளிதாக்கும்.
- Quick check: sector/arc formulas பயன்படுத்தும்போது, முழு circumference / முழு area-வுடன் fraction ஒப்பிட்டு சரிபாருங்கள்.
Hint: Multiply radius by 2π to get circumference.
Common Mistakes: Using πr² instead of 2πr.