0
0

Quadratic Equations (Standard Form)

Introduction

Quadratic equations என்பது ஆல்ஜிப்ராவில் அடிப்படை தலைப்பாகும். இவை பொதுவாக ax² + bx + c = 0 என்ற standard form-ல் இருக்கும், இதில் a ≠ 0. இவ்வகை சமன்பாடுகள் aptitude கேள்விகளிலும், real-world problems-லிலும் - areas, projectile motion, optimization போன்றவற்றில் - அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இந்த pattern-ஐ நன்றாக கற்றுக்கொண்டால், factorization, completing the square, அல்லது quadratic formula பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளை விரைவாக தீர்க்க முடியும்.

Pattern: Quadratic Equations (Standard Form)

Pattern

முக்கிய கருத்து: சமன்பாட்டை ax² + bx + c = 0 என்ற வடிவில் எழுதவும், பின்னர் discriminant D = b² - 4ac ஐ கணக்கிட்டு, factorization அல்லது quadratic formula பயன்படுத்தவும்:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

roots-ன் தன்மையை தீர்மானிக்க discriminant-ஐ பயன்படுத்துங்கள்:

  • D > 0 என்றால் → இரண்டு வேறுபட்ட real roots.
  • D = 0 என்றால் → ஒரே real repeated root.
  • D < 0 என்றால் → இரண்டு complex conjugate roots.

Step-by-Step Example

Question

Quadratic equation-ஐ தீர்க்கவும்: x² - 5x + 6 = 0.

Solution

  1. Step 1: Identify coefficients

    a = 1, b = -5, c = 6.

  2. Step 2: Try factorization first

    a·c = 6 ஆக பெருக்கல் கிடைக்கும், மற்றும் b = -5 ஆக கூட்டல் கிடைக்கும் இரண்டு எண்களை கண்டுபிடிக்கவும். அவை -2 மற்றும் -3.

  3. Step 3: Split the middle term

    x² - 5x + 6 = x² - 2x - 3x + 6.

  4. Step 4: Group and factor

    Group செய்தால்: (x² - 2x) - (3x - 6) = x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3).

  5. Step 5: Use zero-product property

    (x - 2)(x - 3) = 0 ⇒ x - 2 = 0 அல்லது x - 3 = 0 ⇒ x = 2 அல்லது x = 3.

  6. Final Answer:

    x = 2, 3

  7. Quick Check:

    x = 2 substitute செய்தால்: 4 - 10 + 6 = 0 ✅. x = 3 substitute செய்தால்: 9 - 15 + 6 = 0 ✅.

Quick Variations

1. coefficients fractions அல்லது negatives ஆக இருக்கலாம் - தேவையானால் LCM மூலம் முழுவதையும் பெருக்கவும்.

2. factorization கடினமாக இருந்தால் quadratic formula பயன்படுத்தவும்.

3. completing the square முறை vertex form பெறவும் அல்லது formula சிரமமாக இருக்கும் போது தீர்க்கவும் உதவும்.

4. areas, ages, motion போன்ற word problems பெரும்பாலும் quadratic equations-ஆக மாறும்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → quadratic எளிதாக factorable ஆக உள்ளதா என சரிபார்க்கவும் (product = a·c, sum = b).
  • Step 2 → factor செய்ய முடியாவிட்டால் discriminant D = b² - 4ac ஐ கணக்கிட்டு அடுத்த முறையைத் தீர்மானிக்கவும்.
  • Step 3 → quadratic formula பயன்படுத்தி √D-ஐ கவனமாக எளிமைப்படுத்தவும்; radicals-ஐ சரியாக simplify செய்யவும்.
  • Step 4 → ஒவ்வொரு root-ஐயும் original equation-ல் substitute செய்து உடனடி சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

Summary

Summary

Quadratic Equations (Standard Form)க்கு முக்கிய குறிப்புகள்:

  • தீர்ப்பதற்கு முன் ax² + bx + c = 0 என்ற standard form-க்கு மாற்றவும்.
  • வேகத்திற்காக முதலில் factorization முயற்சிக்கவும்; அது இயங்காவிட்டால் quadratic formula பயன்படுத்தவும்.
  • roots-ன் தன்மையை அறிய D = b² - 4ac பயன்படுத்தவும்.
  • sign mistakes தவிர்க்க எப்போதும் substitution மூலம் roots-ஐ சரிபார்க்கவும்.

Practice

(1/5)
1. Solve: x² - 7x + 10 = 0
easy
A. 2 and 5
B. 3 and 4
C. 1 and 10
D. 5 and 10

Solution

  1. Step 1: Identify coefficients

    a = 1, b = -7, c = 10.

  2. Step 2: Factorise

    Find two numbers whose product = 10 and sum = -7 → -2 and -5.

  3. Step 3: Write factors

    (x - 2)(x - 5) = 0.

  4. Step 4: Solve for x

    x = 2 or x = 5.

  5. Final Answer:

    x = 2, 5 → Option A.

  6. Quick Check:

    Substitute x = 2 → 4 - 14 + 10 = 0 ✅

Hint: Find two numbers whose product is c and sum is b.
Common Mistakes: Choosing wrong factor pairs or sign errors.
2. Solve: x² - 9 = 0
easy
A. 9 and -9
B. 3 and -3
C. 1 and -1
D. 0 and 9

Solution

  1. Step 1: Recognise difference of squares

    x² - 9 = (x - 3)(x + 3).

  2. Step 2: Apply zero product rule

    (x - 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = 3 or x = -3.

  3. Final Answer:

    x = 3, -3 → Option B.

  4. Quick Check:

    Substitute x = 3 → 9 - 9 = 0 ✅

Hint: Use a² - b² = (a - b)(a + b).
Common Mistakes: Forgetting the negative root or sign errors.
3. Solve: 2x² - 8x = 0
easy
A. 0 and 2
B. 2 and 4
C. 0 and 4
D. 4 and 8

Solution

  1. Step 1: Factor out common term

    2x² - 8x = 2x(x - 4).

  2. Step 2: Set each factor = 0

    2x = 0 ⇒ x = 0; x - 4 = 0 ⇒ x = 4.

  3. Final Answer:

    x = 0, 4 → Option C.

  4. Quick Check:

    Substitute x = 4 → 2(16) - 8(4) = 32 - 32 = 0 ✅

Hint: Take out the GCF (greatest common factor) before solving.
Common Mistakes: Missing the root x = 0 after factoring out x.
4. Solve: x² - 4x + 3 = 0
medium
A. 2 and 2
B. 4 and -1
C. 0 and 3
D. 1 and 3

Solution

  1. Step 1: Identify coefficients

    a = 1, b = -4, c = 3.

  2. Step 2: Find factor pair

    Product = 3, sum = -4 → -1 and -3.

  3. Step 3: Write factors

    (x - 1)(x - 3) = 0.

  4. Step 4: Solve for x

    x = 1 or x = 3.

  5. Final Answer:

    x = 1, 3 → Option D.

  6. Quick Check:

    Substitute x = 1 → 1 - 4 + 3 = 0 ✅

Hint: Look for two numbers whose product is c and sum is b.
Common Mistakes: Sign errors when choosing factor pairs.
5. Solve: x² + 2x - 8 = 0
medium
A. 2 and -4
B. 4 and -2
C. 3 and -2
D. 1 and -8

Solution

  1. Step 1: Identify coefficients

    a = 1, b = 2, c = -8.

  2. Step 2: Factorise

    Product = -8, sum = 2 → 4 and -2.

  3. Step 3: Write factors

    (x + 4)(x - 2) = 0.

  4. Step 4: Solve for x

    x = -4 or x = 2.

  5. Final Answer:

    x = 2, -4 → Option A.

  6. Quick Check:

    Substitute x = 2 → 4 + 4 - 8 = 0 ✅

Hint: When c is negative, look for factor pairs with opposite signs to get the required sum.
Common Mistakes: Incorrect sign assignment for factor pairs.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes