Raised Fist0

Fractions & Rational Equations

Start learning this pattern below

Jump into concepts and practice - no test required

or
Recommended
Test this pattern10 questions across easy, medium, and hard to know if this pattern is strong

Introduction

Fractions மற்றும் rational equations என்பது ஆல்ஜிப்ரா அடிப்படையிலான பிரச்சினை தீர்ப்பில் முக்கியமான பகுதியாகும், இதில் மாறி (variable) பகுத்தெண்ணின் (denominator) உள்ளே இருக்கும். இவ்வகை கேள்விகளில் பொதுவாக எளிமைப்படுத்தல், cross-multiplying செய்வது, மற்றும் denominator பூஜ்யமாகாமல் சமன்பாட்டை சரியாக்கும் மதிப்புகளை கண்டறிதல் ஆகியவை இடம்பெறும்.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது ratios, rates, மற்றும் inverse relationships ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ளும் அடித்தளத்தை உருவாக்குகிறது. இவை aptitude tests-ல் அடிக்கடி கேட்கப்படும்.

Pattern: Fractions & Rational Equations

Pattern: Fractions & Rational Equations

முக்கிய யோசனை: பகுத்தெண்களை நீக்க Least Common Denominator (LCD) மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் பெருக்கி, பின்னர் கிடைக்கும் linear அல்லது quadratic equation-ஐ தீர்க்க வேண்டும்.

எளிய வடிவில், 1/x + 1/y = 1/6 என்றால், பகுத்தெண்களை நீக்க இரு பக்கங்களையும் xy மூலம் பெருக்க வேண்டும்.

Step-by-Step Example

Question

Solve: 1/x + 1/4 = 1/2

Solution

  1. Step 1: Identify denominators

    பகுத்தெண்கள் x, 4, மற்றும் 2. LCM = 4x.

  2. Step 2: Multiply to clear fractions

    முழு சமன்பாட்டையும் 4x மூலம் பெருக்கவும்:
    4x(1/x) + 4x(1/4) = 4x(1/2)

  3. Step 3: Simplify the equation

    எளிமைப்படுத்தினால் → 4 + x = 2x.

  4. Step 4: Rearrange and solve

    2x - x = 4 → x = 4.

  5. Final Answer:

    4

  6. Quick Check:

    1/4 + 1/4 = 1/2 ✅

Quick Variations

1. reciprocals அடங்கிய கேள்விகள் (உதா: 1/x + 1/y = 1/6).

2. Time-Work அல்லது Speed-Distance கேள்விகள், fractional rates ஆக வழங்கப்படுவது.

3. “together” அல்லது “inversely proportional” உறவுகளை கொண்ட word problems.

4. numerator மற்றும் denominator இரண்டிலும் variables உள்ள fractions.

Trick to Always Use

  • Step 1: Least Common Denominator (LCD) ஐ கண்டறியவும்.
  • Step 2: fractions நீங்க முழு சமன்பாட்டையும் LCD மூலம் பெருக்கவும்.
  • Step 3: கிடைக்கும் சமன்பாட்டை சாதாரணமாக எளிமைப்படுத்தி தீர்க்கவும்.
  • Step 4: denominator-ஐ பூஜ்யமாக்கும் மதிப்புகள் இருந்தால் அவற்றை கண்டிப்பாக நீக்கவும்.

Summary

Fractions & Rational Equations pattern-ல்:

  • LCD மூலம் பெருக்கி denominators-ஐ நீக்குங்கள்.
  • படிப்படியாக எளிமைப்படுத்தி linear அல்லது quadratic equation பெறுங்கள்.
  • தவறான (zero-denominator) மதிப்புகளை எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.
  • Verification முக்கியம் - original equation-ல் மீண்டும் substitute செய்து உறுதி செய்யுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. Solve: 1/x + 1/3 = 1/2
easy
A. x = 6
B. x = 3
C. x = 5
D. x = 4

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/x + 1/3 = 1/2.

  2. Step 2: Isolate 1/x

    1/x = 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 = 1/6.

  3. Step 3: Invert to find x

    Invert both sides → x = 6.

  4. Final Answer:

    6 → Option A.

  5. Quick Check:

    1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 ✅
Hint: Compute 1/x as RHS - the other fraction, then invert.
Common Mistakes: Subtracting fractions without using common denominators.
2. Solve: 1/(x + 2) = 1/4
easy
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 4

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/(x + 2) = 1/4.

  2. Step 2: Clear the denominator

    Cross-multiply → x + 2 = 4.

  3. Step 3: Solve for x

    x = 4 - 2 = 2.

  4. Final Answer:

    2 → Option B.

  5. Quick Check:

    1/(2 + 2) = 1/4 ✅
Hint: Cross-multiply directly when a simple fraction equals another fraction.
Common Mistakes: Performing unnecessary operations instead of simple cross-multiplication.
3. Solve: 1/(x + 1) + 1/2 = 1
easy
A. x = 0
B. x = 2
C. x = 1
D. x = 3

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/(x + 1) + 1/2 = 1.

  2. Step 2: Isolate the fractional term

    1/(x + 1) = 1 - 1/2 = 1/2.

  3. Step 3: Solve for x

    x + 1 = 2 → x = 1.

  4. Final Answer:

    1 → Option C.

  5. Quick Check:

    1/(1 + 1) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✅
Hint: Move the known fraction to the RHS before inverting the remaining fraction.
Common Mistakes: Adding instead of subtracting the known fraction from 1.
4. Solve: 2/x + 3/4 = 1
medium
A. x = 8
B. x = 6
C. x = 4
D. x = 3

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    2/x + 3/4 = 1.

  2. Step 2: Isolate 2/x

    2/x = 1 - 3/4 = 1/4.

  3. Step 3: Invert/cross-multiply to solve

    2 = x × 1/4 → x = 2 × 4 = 8.

  4. Final Answer:

    8 → Option A.

  5. Quick Check:

    2/8 + 3/4 = 1/4 + 3/4 = 1 ✅
Hint: Isolate the term with x, then invert or cross-multiply to solve.
Common Mistakes: Forgetting to include all terms when clearing denominators or inverting incorrectly.
5. Solve: 1/(x + 2) + 1/3 = 1/6
medium
A. x = -5
B. x = -6
C. x = -7
D. x = -8

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/(x + 2) + 1/3 = 1/6.

  2. Step 2: Isolate 1/(x + 2)

    1/(x + 2) = 1/6 - 1/3 = 1/6 - 2/6 = -1/6.

  3. Step 3: Invert to find x

    x + 2 = -6 → x = -8.

  4. Final Answer:

    -8 → Option D.

  5. Quick Check:

    1/(-8 + 2) + 1/3 = 1/(-6) + 1/3 = -1/6 + 1/3 = -1/6 + 2/6 = 1/6 ✅
Hint: Compute RHS - known fraction carefully (watch signs), then invert.
Common Mistakes: Sign errors when subtracting fractions or when inverting a negative fraction.