0
0

Fractions & Rational Equations

Introduction

Fractions மற்றும் rational equations என்பது ஆல்ஜிப்ரா அடிப்படையிலான பிரச்சினை தீர்ப்பில் முக்கியமான பகுதியாகும், இதில் மாறி (variable) பகுத்தெண்ணின் (denominator) உள்ளே இருக்கும். இவ்வகை கேள்விகளில் பொதுவாக எளிமைப்படுத்தல், cross-multiplying செய்வது, மற்றும் denominator பூஜ்யமாகாமல் சமன்பாட்டை சரியாக்கும் மதிப்புகளை கண்டறிதல் ஆகியவை இடம்பெறும்.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது ratios, rates, மற்றும் inverse relationships ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ளும் அடித்தளத்தை உருவாக்குகிறது. இவை aptitude tests-ல் அடிக்கடி கேட்கப்படும்.

Pattern: Fractions & Rational Equations

Pattern

முக்கிய யோசனை: பகுத்தெண்களை நீக்க Least Common Denominator (LCD) மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் பெருக்கி, பின்னர் கிடைக்கும் linear அல்லது quadratic equation-ஐ தீர்க்க வேண்டும்.

எளிய வடிவில், 1/x + 1/y = 1/6 என்றால், பகுத்தெண்களை நீக்க இரு பக்கங்களையும் xy மூலம் பெருக்க வேண்டும்.

Step-by-Step Example

Question

Solve: 1/x + 1/4 = 1/2

Solution

  1. Step 1: Identify denominators

    பகுத்தெண்கள் x, 4, மற்றும் 2. LCM = 4x.

  2. Step 2: Multiply to clear fractions

    முழு சமன்பாட்டையும் 4x மூலம் பெருக்கவும்:
    4x(1/x) + 4x(1/4) = 4x(1/2)

  3. Step 3: Simplify the equation

    எளிமைப்படுத்தினால் → 4 + x = 2x.

  4. Step 4: Rearrange and solve

    2x - x = 4 → x = 4.

  5. Final Answer:

    4

  6. Quick Check:

    1/4 + 1/4 = 1/2 ✅

Quick Variations

1. reciprocals அடங்கிய கேள்விகள் (உதா: 1/x + 1/y = 1/6).

2. Time-Work அல்லது Speed-Distance கேள்விகள், fractional rates ஆக வழங்கப்படுவது.

3. “together” அல்லது “inversely proportional” உறவுகளை கொண்ட word problems.

4. numerator மற்றும் denominator இரண்டிலும் variables உள்ள fractions.

Trick to Always Use

  • Step 1: Least Common Denominator (LCD) ஐ கண்டறியவும்.
  • Step 2: fractions நீங்க முழு சமன்பாட்டையும் LCD மூலம் பெருக்கவும்.
  • Step 3: கிடைக்கும் சமன்பாட்டை சாதாரணமாக எளிமைப்படுத்தி தீர்க்கவும்.
  • Step 4: denominator-ஐ பூஜ்யமாக்கும் மதிப்புகள் இருந்தால் அவற்றை கண்டிப்பாக நீக்கவும்.

Summary

Summary

Fractions & Rational Equations pattern-ல்:

  • LCD மூலம் பெருக்கி denominators-ஐ நீக்குங்கள்.
  • படிப்படியாக எளிமைப்படுத்தி linear அல்லது quadratic equation பெறுங்கள்.
  • தவறான (zero-denominator) மதிப்புகளை எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.
  • Verification முக்கியம் - original equation-ல் மீண்டும் substitute செய்து உறுதி செய்யுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. Solve: 1/x + 1/3 = 1/2
easy
A. x = 6
B. x = 3
C. x = 5
D. x = 4

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/x + 1/3 = 1/2.

  2. Step 2: Isolate 1/x

    1/x = 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 = 1/6.

  3. Step 3: Invert to find x

    Invert both sides → x = 6.

  4. Final Answer:

    6 → Option A.

  5. Quick Check:

    1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 ✅
Hint: Compute 1/x as RHS - the other fraction, then invert.
Common Mistakes: Subtracting fractions without using common denominators.
2. Solve: 1/(x + 2) = 1/4
easy
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 4

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/(x + 2) = 1/4.

  2. Step 2: Clear the denominator

    Cross-multiply → x + 2 = 4.

  3. Step 3: Solve for x

    x = 4 - 2 = 2.

  4. Final Answer:

    2 → Option B.

  5. Quick Check:

    1/(2 + 2) = 1/4 ✅
Hint: Cross-multiply directly when a simple fraction equals another fraction.
Common Mistakes: Performing unnecessary operations instead of simple cross-multiplication.
3. Solve: 1/(x + 1) + 1/2 = 1
easy
A. x = 0
B. x = 2
C. x = 1
D. x = 3

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/(x + 1) + 1/2 = 1.

  2. Step 2: Isolate the fractional term

    1/(x + 1) = 1 - 1/2 = 1/2.

  3. Step 3: Solve for x

    x + 1 = 2 → x = 1.

  4. Final Answer:

    1 → Option C.

  5. Quick Check:

    1/(1 + 1) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 ✅
Hint: Move the known fraction to the RHS before inverting the remaining fraction.
Common Mistakes: Adding instead of subtracting the known fraction from 1.
4. Solve: 2/x + 3/4 = 1
medium
A. x = 8
B. x = 6
C. x = 4
D. x = 3

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    2/x + 3/4 = 1.

  2. Step 2: Isolate 2/x

    2/x = 1 - 3/4 = 1/4.

  3. Step 3: Invert/cross-multiply to solve

    2 = x × 1/4 → x = 2 × 4 = 8.

  4. Final Answer:

    8 → Option A.

  5. Quick Check:

    2/8 + 3/4 = 1/4 + 3/4 = 1 ✅
Hint: Isolate the term with x, then invert or cross-multiply to solve.
Common Mistakes: Forgetting to include all terms when clearing denominators or inverting incorrectly.
5. Solve: 1/(x + 2) + 1/3 = 1/6
medium
A. x = -5
B. x = -6
C. x = -7
D. x = -8

Solution

  1. Step 1: Identify the equation

    1/(x + 2) + 1/3 = 1/6.

  2. Step 2: Isolate 1/(x + 2)

    1/(x + 2) = 1/6 - 1/3 = 1/6 - 2/6 = -1/6.

  3. Step 3: Invert to find x

    x + 2 = -6 → x = -8.

  4. Final Answer:

    -8 → Option D.

  5. Quick Check:

    1/(-8 + 2) + 1/3 = 1/(-6) + 1/3 = -1/6 + 1/3 = -1/6 + 2/6 = 1/6 ✅
Hint: Compute RHS - known fraction carefully (watch signs), then invert.
Common Mistakes: Sign errors when subtracting fractions or when inverting a negative fraction.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes