0
0

Equation-based Word Problems (Advanced)

Introduction

Advanced word problems என்பது real-world நிலைகளைக் algebraic equations-ஆக மாற்றுவதைக் குறிக்கிறது - பெரும்பாலும் systems, higher-degree equations, அல்லது parameters உடன் உள்ள equations. இந்த pattern-ஐ நன்றாக கற்றுக்கொண்டால், உறவுகளை சரியாக model செய்யவும், சரியான equations அமைக்கவும், திறமையாக solve செய்யவும் முடியும்.

இத்தகைய பிரச்சினைகள், reasoning, formulation, மற்றும் algebraic manipulation அனைத்தையும் ஒன்றாக சோதிக்கும் competitive exams மற்றும் assessments-ல் அடிக்கடி கேட்கப்படும்.

Pattern: Equation-based Word Problems (Advanced)

Pattern

Key concept: கொடுக்கப்பட்ட verbal statements-ஐ கவனமாக algebraic relations-ஆக மாற்றுங்கள் (variables அமைத்து, equations உருவாக்கி, solve செய்து, validate செய்யுங்கள்).

பொதுவான steps:

  1. அறியப்படாத அளவுகளுக்கு variables-ஐ தெளிவாக ஒதுக்குங்கள்.
  2. வாக்கியங்களை algebraic expressions-ஆக மாற்றுங்கள் (rates, ratios, sums, differences, products, ages, work/time, mixtures, percentages).
  3. தேவைக்கேற்ப ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட equations உருவாக்குங்கள் (single equation, system of linear equations, அல்லது polynomial equation).
  4. Algebra-ஆக solve செய்து, original context-ல் solutions-ஐ சரிபார்க்கவும் (extraneous அல்லது infeasible results-ஐ நிராகரிக்கவும்).

Step-by-Step Example

Question

A மற்றும் B என்ற நிலையங்களில் இருந்து இரண்டு trains தொடங்குகின்றன; அவற்றுக்கிடையிலான தூரம் 540 km. அவை ஒன்றை ஒன்று நோக்கி பயணிக்கின்றன. அதே நேரத்தில், faster train, slower train-ஐ விட 180 km அதிகமாக பயணிக்கிறது. அவற்றின் combined speed 160 km/h எனில், அந்த இரண்டு trains-ன் speeds-ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: Variables ஒதுக்குங்கள்

    Slower train-ன் speed-ஐ v km/h என எடுத்துக்கொள்வோம். Faster train-ன் speed = v + 180/t என்று நேரடியாக எடுத்துக்கொள்வது சரியானது அல்ல, ஏனெனில் 180 என்பது distance difference; ஆகவே time variable பயன்படுத்த வேண்டும்.

    Time பயன்படுத்துவோம்: இரண்டு trains-மும் சந்திக்கும் வரை t hours பயணம் செய்கின்றன என்று கொள்ளுங்கள். Speeds: slower = s, faster = f.

  2. Step 2: Statements-ஐ equations-ஆக மாற்றுங்கள்

    அவை ஒன்றை ஒன்று நோக்கி பயணித்து t நேரத்தில் சந்திப்பதால், சேர்த்து பயணித்த தூரம் = 540 km:

    (s × t) + (f × t) = 540 → (s + f) t = 540.

    Combined speed s + f = 160 km/h என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதனால்:

    160 × t = 540 ⇒ t = 540 / 160 = 27/8 hours = 3.375 hours.

    மேலும், faster train அதே நேரத்தில் slower train-ஐ விட 180 km அதிகமாக பயணிக்கிறது:

    f t - s t = 180 ⇒ (f - s) t = 180.

  3. Step 3: (f - s) 값을 கண்டறியுங்கள்

    t = 27/8 என்பதால்:

    f - s = 180 / t = 180 ÷ (27/8) = 180 × (8/27) = (180/27) × 8 = (20/3) × 8 = 160/3 ≈ 53.333... km/h.

  4. Step 4: System பயன்படுத்தி f மற்றும் s-ஐ கண்டறியுங்கள்

    நமக்கு தெரியும்:

    • f + s = 160
    • f - s = 160/3

    இந்த இரண்டு equations-ஐ கூட்டினால்:

    2f = 160 + 160/3 = (480/3 + 160/3) = 640/3 ⇒ f = 320/3 ≈ 106.666... km/h.

    அதனால் s = 160 - f = 160 - 320/3 = (480/3 - 320/3) = 160/3 ≈ 53.333... km/h.

  5. Step 5: Final speeds-ஐ விளக்கி எழுதுங்கள்

    Faster train speed = 320/3 km/h (≈ 106.67 km/h). Slower train speed = 160/3 km/h (≈ 53.33 km/h).

  6. Step 6: Quick Check

    1. Combined speed = 320/3 + 160/3 = 480/3 = 160 km/h ✓
    2. Meeting time = distance / combined speed = 540 / 160 = 27/8 hours ✓
    3. Faster train covers = f × t = (320/3) × (27/8) = (320 × 27)/(24) = (320 × 9)/8 = 2880/8 = 360 km. Slower covers 540 - 360 = 180 km; difference = 180 ✓

Quick Variations

1. Work and time: rates (ஒரு மணிநேர வேலை) பயன்படுத்தி, combined work-க்கு rates-ஐ கூட்டுங்கள்.

2. Mixture problems: concentration × quantity balance பயன்படுத்தி linear equations உருவாக்குங்கள்.

3. Age problems: relative ages-ஐ மாற்றி, time shifts உடன் linear equations உருவாக்குங்கள்.

4. Ratio and proportion: ratios-ஐ variable multiples-ஆக மாற்றி systems-ஐ solve செய்யுங்கள்.

5. Parameterized problems: parameter k உடன் equations உருவாக்கி symbolic-ஆக solve செய்து, பின்னர் constraints (எ.கா., integer roots, positivity) பயன்படுத்துங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → Variables-ஐ தெளிவாக வரையறுக்கவும் (distances வேறுபட்டால் rates/time-க்கு தனி variables பயன்படுத்துங்கள்).
  • Step 2 → ஒவ்வொரு sentence-ஐயும் algebraic equation-ஆக மாற்றுங்கள்; units (km, h போன்றவை) ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்.
  • Step 3 → இரண்டு quantities ஒரே time-ல் ஒப்பிடப்பட்டால், constants தவறாக இடப்படாமல் இருக்க time t-ஐ linking variable-ஆக பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 4 → கிடைக்கும் system-ஐ solve செய்யுங்கள் (substitution அல்லது elimination). எப்போதும் problem context-ல் solutions-ஐ validate செய்து, infeasible solutions-ஐ நீக்குங்கள்.

Summary

Summary

Equation-based Word Problems (Advanced) க்கான முக்கிய takeaways:

  • Variables சரியாக ஒதுக்குவது மிகவும் முக்கியம்; translation எளிதாகும் variables-ஐ தேர்வு செய்யுங்கள்.
  • ஒவ்வொரு phrase-ஐயும் equation-ஆக மாற்றுங்கள்; units சரியாக உள்ளதா, parameter (time, rate) பகிரப்பட்டுள்ளதா என சரிபார்க்கவும்.
  • பல unknowns தொடர்புடையதாக இருந்தால் systems of equations பயன்படுத்துங்கள்; வசதிக்கு ஏற்ப elimination/substitution தேர்வு செய்யுங்கள்.
  • Extraneous அல்லது infeasible solutions-ஐ கண்டுபிடிக்க, answers-ஐ original context-ல் எப்போதும் verify செய்யுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. The sum of two consecutive even numbers is 46. Find the numbers.
easy
A. 22 and 24
B. 20 and 26
C. 24 and 22
D. 18 and 28

Solution

  1. Step 1: Assign variables

    Let the first even number be x. The next consecutive even number is x + 2.

  2. Step 2: Form the equation

    x + (x + 2) = 46 ⇒ 2x + 2 = 46.

  3. Step 3: Solve for x

    2x = 44 ⇒ x = 22. So the numbers are 22 and 24.

  4. Final Answer:

    22 and 24 → Option A.

  5. Quick Check:

    22 + 24 = 46 ✅

Hint: For consecutive even numbers use x and x + 2.
Common Mistakes: Using x and x + 1 (which are consecutive integers, not even numbers).
2. A number is 6 less than twice another number. If their sum is 24, find the numbers.
easy
A. 12 and 6
B. 10 and 14
C. 8 and 16
D. 9 and 15

Solution

  1. Step 1: Assign variables

    Let the smaller number be x. Then the other number = 2x - 6 (since it is 6 less than twice the smaller).

  2. Step 2: Form the equation

    x + (2x - 6) = 24 ⇒ 3x - 6 = 24.

  3. Step 3: Solve

    3x = 30 ⇒ x = 10. The other number = 2×10 - 6 = 14.

  4. Final Answer:

    10 and 14 → Option B.

  5. Quick Check:

    10 + 14 = 24 and 14 = 2×10 - 6 ✅

Hint: Translate 'a number is 6 less than twice another' as y = 2x - 6.
Common Mistakes: Reversing the relation and writing 2x = y - 6 instead of y = 2x - 6.
3. A pipe can fill a tank in 12 hours, while another can empty it in 18 hours. If both are opened together, how long will it take to fill the tank?
easy
A. 24 hours
B. 10.8 hours
C. 14.4 hours
D. 36 hours

Solution

  1. Step 1: Define rates

    Filling pipe rate = 1/12 tank per hour. Emptying pipe rate = 1/18 tank per hour.

  2. Step 2: Net rate when both are open

    Net fill rate = 1/12 - 1/18 = (3 - 2)/36 = 1/36 tank per hour.

    3. Step 3: Time to fill

    Time = 1 / (1/36) = 36 hours.

  3. Final Answer:

    36 hours → Option D.

  4. Quick Check:

    In 36 hours, filler supplies 36/12 = 3 tanks, emptier removes 36/18 = 2 tanks → net = 1 tank filled ✅

Hint: Net rate = (1/T_fill - 1/T_empty); total time = 1 / net rate.
Common Mistakes: Adding rates when one pipe empties instead of subtracting.
4. The sum of a number and its reciprocal is 10/3. Find the number.
medium
A. 3 or 1/3
B. 2 or 1/2
C. 5 or 1/5
D. 4 or 1/4

Solution

  1. Step 1: Assign variable

    Let the number be x. Given x + 1/x = 10/3.

  2. Step 2: Clear denominator

    Multiply both sides by x: x² + 1 = (10/3)x ⇒ 3x² - 10x + 3 = 0.

  3. Step 3: Factor or use quadratic formula

    Factor: (3x - 1)(x - 3) = 0 ⇒ x = 1/3 or x = 3.

  4. Final Answer:

    3 or 1/3 → Option A.

  5. Quick Check:

    3 + 1/3 = 10/3 ✅

Hint: Multiply x + 1/x = k by x to form a quadratic: x² - kx + 1 = 0 (after clearing denominators appropriately).
Common Mistakes: Forgetting to multiply the whole equation by x and losing the reciprocal term.
5. A train travels 240 km at a certain speed. If its speed were 20 km/h more, it would take 1 hour less. Find the speed.
medium
A. 40 km/h
B. 50 km/h
C. 60 km/h
D. 80 km/h

Solution

  1. Step 1: Let speed be x km/h

    Then time = 240/x hours. If speed is x + 20, new time = 240/(x + 20).

  2. Step 2: Form the time-difference equation

    240/x - 240/(x + 20) = 1.

  3. Step 3: Simplify

    240[(x + 20 - x)/(x(x + 20))] = 1 ⇒ 240×20 = x(x + 20) ⇒ x² + 20x - 4800 = 0.

  4. Step 4: Solve the quadratic

    Discriminant = 400 + 19200 = 19600, √D = 140. x = (-20 ± 140)/2 ⇒ x = 60 or x = -80 (reject negative).

  5. Final Answer:

    60 km/h → Option C.

  6. Quick Check:

    240/60 = 4 hr; 240/80 = 3 hr; difference = 1 hr ✅

Hint: Use distance = speed × time and set up time difference equation for 'takes 1 hour less'.
Common Mistakes: Algebraic sign errors when simplifying the rational equation.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes