Introduction
பல கேள்விகளில், வேர்கள் (அல்லது வேர்களுக்கிடையிலான உறவுகள்) கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு quadratic equation உருவாக்க சொல்லப்படும். இந்த pattern, வேர்கள் மற்றும் coefficients இடையிலான standard relations பயன்படுத்தி, வேர்களின் தகவலை விரைவாக ஒரு equation ஆக மாற்ற உதவுகிறது.
இந்த pattern-ஐ நன்றாக கைப்பற்றினால், நேரடியாக equations உருவாக்க முடியும், தேவையற்ற solving தவிர்க்கலாம், மேலும் மாற்றப்பட்ட வேர்கள் (எ.கா., α + k, 1/α) ஐ எளிதாக கையாளலாம்.
Pattern: Forming Equation from Roots
Pattern
Key idea: α மற்றும் β, ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) என்ற equation-இன் வேர்கள் என்றால், a(x - α)(x - β) ஐ விரித்தால் ax² - a(α + β)x + aαβ கிடைக்கும். இதில் α + β = -b/a மற்றும் αβ = c/a என்பதை பயன்படுத்துங்கள்.
ஒரு monic quadratic (a = 1) க்கு, α மற்றும் β வேர்களாக இருந்தால் equation:
x² - (α + β)x + (αβ) = 0.
Step-by-Step Example
Question
2 மற்றும் -3 வேர்களாக உள்ள monic quadratic equation ஐ உருவாக்குங்கள்.
Solution
-
Step 1: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பெருக்கலை கணக்கிடுங்கள்
α + β = 2 + (-3) = -1. αβ = 2 × (-3) = -6.
-
Step 2: monic form-இல் substitute செய்யுங்கள்
Monic equation: x² - (α + β)x + (αβ) = 0 → x² - (-1)x + (-6) = 0.
-
Step 3: Simplify செய்யுங்கள்
x² + x - 6 = 0.
-
Final Answer:
x² + x - 6 = 0.
-
Quick Check:
Factors (x + 3)(x - 2) ⇒ வேர்கள் -3 மற்றும் 2. வரிசை முக்கியமல்ல ✅
Quick Variations
1. Non-monic equation: பொதுவான a தேவைப்பட்டால், monic form-ஐ a-ஆல் பெருக்குங்கள் (fractions நீக்க வசதியான integer a-ஐ தேர்வு செய்யுங்கள்).
2. மாற்றப்பட்ட வேர்கள்: வேர்கள் (α + k) மற்றும் (β + k) என்றால், புதிய sum = (α + β) + 2k மற்றும் product = αβ + k(α + β) + k².
3. Reciprocal roots: வேர்கள் 1/α மற்றும் 1/β என்றால், sum = (α + β)/(αβ) மற்றும் product = 1/(αβ). அதற்கேற்ற equation உருவாக்குங்கள்.
4. ஒரு வேர் கொடுக்கப்பட்டு, மற்றது உறவில் இருந்தால்: வேர்கள் α மற்றும் mα என்றால், sum = α(1 + m) மற்றும் product = mα². கொடுக்கப்பட்ட constraints பயன்படுத்தி α-ஐ eliminate செய்து equation உருவாக்குங்கள்.
Trick to Always Use
- Step 1 → முதலில் தேவையான வேர்களின் sum S மற்றும் product P-ஐ எப்போதும் கணக்கிடுங்கள்.
- Step 2 → monic equation க்கு x² - Sx + P = 0 பயன்படுத்துங்கள். fractions தவிர்க்க வேண்டுமெனில், LCM-ஆல் முழுவதையும் பெருக்கி integer coefficients பெறுங்கள்.
- Step 3 → மாற்றப்பட்ட வேர்களுக்கு, algebraic identities பயன்படுத்தி S மற்றும் P-ஐ original α + β மற்றும் αβ அடிப்படையில் எழுதுங்கள் (கவனமாக expand செய்யுங்கள்).
Summary
Summary
Forming Equation from Roots க்கான முக்கிய குறிப்புகள்:
- தேவையான வேர்களின் sum S மற்றும் product P-ஐ கண்டறியுங்கள்.
- Monic quadratic: x² - Sx + P = 0. Non-monic என்றால், தேர்ந்த leading coefficient a-ஆல் பெருக்குங்கள்.
- மாற்றப்பட்ட வேர்கள் (shift, reciprocal, scaling) க்கு algebraic identities பயன்படுத்தி புதிய S மற்றும் P-ஐ கணக்கிடுங்கள்.
- fractions நீக்க multiply செய்து, expand அல்லது factor செய்து quick-check செய்து சரிபார்க்கவும்.
Hint: Equation = x² - (sum)x + (product).
Common Mistakes: Using wrong sign for the middle term (sign error on sum).