Introduction
Modulus மற்றும் square அடிப்படையிலான equations, absolute values மற்றும் zero-இல் இருந்து உள்ள தூரம் என்ற கருத்தை நீங்கள் எவ்வளவு புரிந்துள்ளீர்கள் என்பதை சோதிக்க, aptitude tests-ல் அடிக்கடி வரும். இத்தகைய equations-ஐ தீர்க்க, modulus-ன் definition அடிப்படையில் equation-ஐ தனித்தனி cases-ஆக பிரிப்பதோ, அல்லது squaring property-ஐ கவனமாக பயன்படுத்துவதோ தேவை.
இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் modulus மற்றும் square-based equations, reasoning மற்றும் algebra sections-ல், trick-based simplifications உடன் பொதுவாக கேட்கப்படும்.
Pattern: Equations with Modulus or Squares
Pattern
Modulus equations-க்கு, | | உள்ள expression positive-ஆ அல்லது negative-ஆ என்பதைக் கொண்டு எப்போதும் இரண்டு cases-ஆக பிரியுங்கள்.
- If |x| = a → அப்போது x = a அல்லது x = -a.
- If |x - k| = m → அப்போது x - k = m அல்லது x - k = -m → இதனால் x = k ± m.
Square equations-க்கு, x² = a → x = ±√a என்பதை பயன்படுத்துங்கள்.
இரு பக்கங்களிலும் modulus அல்லது squares இருந்தால், solve செய்வதற்கு முன் அவற்றை equivalent linear அல்லது quadratic forms-ஆக மாற்றுங்கள்.
Step-by-Step Example
Question
Solve: |x - 3| = 5
Solution
-
Step 1: Modulus definition அடிப்படையில் இரண்டு cases-ஆக பிரியுங்கள்
Case 1: x - 3 = 5 ⇒ x = 8.
Case 2: x - 3 = -5 ⇒ x = -2.
-
Step 2: சரியான முடிவுகளை ஒன்றிணைக்கவும்
இரண்டு values-உம் modulus equation-ஐ பூர்த்தி செய்கின்றன.
-
Final Answer:
x = 8 அல்லது x = -2.
-
Quick Check:
|8 - 3| = |5| = 5 ✅, |-2 - 3| = |-5| = 5 ✅
Quick Variations
1. Squares உள்ள equations: எ.கா., (x - 2)² = 9 → x - 2 = ±3 → x = 5 அல்லது -1.
2. Nested modulus equations: எ.கா., |2x - 3| = 1 → இரண்டு cases → இரண்டு linear equations-ஐ solve செய்யுங்கள்.
3. இரு பக்கங்களிலும் modulus உள்ள equations: எ.கா., |x - 2| = |x - 5| → symmetry மற்றும் midpoints-ஐ சரிபார்க்கவும்.
4. Squared modulus: எ.கா., |x|² = a² ⇒ இது x² = a² என்பதற்கு சமம்.
Trick to Always Use
- Step 1: Modulus-ஐ நீக்க, positive மற்றும் negative என இரண்டு linear cases உருவாக்குங்கள்.
- Step 2: Squares-க்கு, square root எடுக்கும் போது கவனமாக இருங்கள் (± signs மிகவும் முக்கியம்).
- Step 3: ஒவ்வொரு solution-ஐயும் substitution மூலம் சரிபார்க்கவும்-சில நேரங்களில் squaring காரணமாக extraneous roots வரும்.
Summary
Summary
Equations with Modulus or Squares pattern-ல்:
- Modulus அல்லது squared forms தீர்க்கும்போது எப்போதும் இரண்டு cases உருவாக்குங்கள்.
- Modulus-க்கு definition பயன்படுத்துங்கள்: |x - a| = b ⇒ x = a ± b.
- Squares-க்கு, x² = a ⇒ x = ±√a.
- தவறான அல்லது extraneous roots-ஐ நீக்க, எல்லா solutions-ஐயும் verify செய்யுங்கள்.
Hint: For |x| = a, write x = ±a.
Common Mistakes: Omitting the negative root or treating |x| as 'just x'.