0
0

Linear Equations in Two Variables

Introduction

Linear Equations in Two Variables என்பது algebra-வின் முக்கியமான கருத்தாகும்; இதில் இரண்டு unknowns (பொதுவாக x மற்றும் y) ஒரு first-degree equation மூலம் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன.

இந்த pattern அவசியமானது; ஏனெனில் இது இரண்டு கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியை (intersection point) கண்டுபிடிப்பதை கற்பிக்கிறது - அதாவது இரு equations-ஐயும் பூர்த்தி செய்யும் பொதுத் தீர்வு. இவ்வகை problems algebra, geometry, மற்றும் cost-profit analysis போன்ற real-life சூழல்களில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Pattern: Linear Equations in Two Variables

Pattern

Key idea: x மற்றும் y ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் இரு equations-ஐயும் ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

பொதுவான வடிவம்:
a₁x + b₁y = c₁ மற்றும் a₂x + b₂y = c₂

பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் தீர்வு முறைகள்:

  • Substitution Method: ஒரு variable-ஐ மற்றொன்றின் அடிப்படையில் எழுதிக் கொண்டு substitute செய்வது.
  • Elimination Method: ஒரு variable-ஐ eliminate செய்ய equations-ஐ multiply செய்து add/subtract செய்வது.
  • Cross Multiplication Method: equations standard form-இல் இருக்கும் போது விரைவான கணக்கிற்கு பயன்படுத்தப்படும்.

Step-by-Step Example

Question

x மற்றும் y-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்:
2x + 3y = 12
3x + 2y = 13

Solution

  1. Step 1: இரு equations-ஐ எழுதுங்கள்

    (1) 2x + 3y = 12
    (2) 3x + 2y = 13

  2. Step 2: x-ன் coefficients சமமாக்கவும்

    (1)-ஐ 3-ஆல் multiply செய்யவும் → 6x + 9y = 36
    (2)-ஐ 2-ஆல் multiply செய்யவும் → 6x + 4y = 26

  3. Step 3: Subtraction மூலம் x-ஐ eliminate செய்யவும்

    (6x + 9y) - (6x + 4y) = 36 - 26
    ⇒ 5y = 10
    ⇒ y = 2

  4. Step 4: y = 2 substitute செய்து x-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்

    (1)-இல் substitute செய்யவும்: 2x + 3(2) = 12
    ⇒ 2x + 6 = 12
    ⇒ 2x = 6
    ⇒ x = 3

  5. Final Answer:

    x = 3, y = 2

  6. Quick Check:

    (2)-இல் substitute செய்யவும்: 3(3) + 2(2) = 9 + 4 = 13 ✅

Quick Variations

1. Substitution Method - ஒரு variable-க்கு எளிய coefficient இருக்கும் போது.

2. Cross Multiplication - நேரடி கணக்கீட்டிற்கு.

3. இரண்டு நிபந்தனைகள் கொண்ட word problems - உதா., cost-quantity அல்லது age problems.

Trick to Always Use

  • Step 1: equations-ஐ standard form (ax + by = c)-இல் align செய்யவும்.
  • Step 2: எளிதாக eliminate செய்யக்கூடிய coefficients உள்ள variable-ஐ தேர்வு செய்யவும்.
  • Step 3: மற்ற variable-ஐ கண்டுபிடிக்க substitute செய்து பார்க்கவும்.

Summary

Summary

Linear Equations in Two Variables pattern-இல்:

  • தீர்க்கும் முன் equations-ஐ சரியாக arrange செய்யுங்கள்.
  • coefficients எளிதாக பொருந்தினால் Elimination Method-ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
  • (x, y) ஜோடியை இரு equations-லுமே substitute செய்து சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள்.

Practice

(1/5)
1. Solve the equations: x + y = 10 and x - y = 2
easy
A. x=6, y=4
B. x=5, y=5
C. x=4, y=6
D. x=7, y=3

Solution

  1. Step 1: Add the equations

    (x + y) + (x - y) = 10 + 2 ⇒ 2x = 12.

  2. Step 2: Solve for x

    x = 12 ÷ 2 = 6.

  3. Step 3: Substitute x to find y

    Substitute x = 6 into x + y = 10 ⇒ 6 + y = 10 ⇒ y = 4.

  4. Final Answer:

    x = 6, y = 4 → Option A.

  5. Quick Check:

    6 - 4 = 2 ✔
Hint: Add equations directly when one variable cancels out.
Common Mistakes: Incorrectly adding terms or misplacing signs during substitution.
2. Solve the equations: 2x + y = 11 and x + y = 8
easy
A. x=4, y=4
B. x=3, y=5
C. x=5, y=3
D. x=2, y=6

Solution

  1. Step 1: Subtract the equations

    (2x + y) - (x + y) = 11 - 8 ⇒ x = 3.

  2. Step 2: Substitute x to find y

    3 + y = 8 ⇒ y = 5.

  3. Final Answer:

    x = 3, y = 5 → Option B.

  4. Quick Check:

    2(3) + 5 = 11 ✔
Hint: When y has the same coefficient, subtract to eliminate it instantly.
Common Mistakes: Sign errors when subtracting equations.
3. Solve the equations: 3x + 2y = 12 and 2x + 3y = 13
easy
A. x=2, y=3
B. x=3, y=2
C. x=4, y=1
D. x=1, y=4

Solution

  1. Step 1: Scale both equations to match x-coefficients

    Multiply (1) by 2 → 6x + 4y = 24; multiply (2) by 3 → 6x + 9y = 39.

  2. Step 2: Subtract to eliminate x

    (6x + 9y) - (6x + 4y) = 39 - 24 ⇒ 5y = 15 ⇒ y = 3.

  3. Step 3: Substitute y to find x

    3x + 6 = 12 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.

  4. Final Answer:

    x = 2, y = 3 → Option A.

  5. Quick Check:

    2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 ✔
Hint: Multiply equations to equalize coefficients and eliminate one variable.
Common Mistakes: Forgetting to multiply all terms or subtracting in the wrong order.
4. Solve the equations: 4x + 3y = 18 and 3x + 2y = 13
medium
A. x=2, y=4
B. x=4, y=2
C. x=2, y=3
D. x=3, y=2

Solution

  1. Step 1: Scale equations to match x-coefficients

    (1)×3 → 12x + 9y = 54; (2)×4 → 12x + 8y = 52.

  2. Step 2: Subtract to eliminate x

    (12x + 9y) - (12x + 8y) = 54 - 52 ⇒ y = 2.

  3. Step 3: Substitute y to find x

    3x + 4 = 13 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3.

  4. Final Answer:

    x = 3, y = 2 → Option D.

  5. Quick Check:

    4(3) + 3(2) = 12 + 6 = 18 ✔
Hint: Use LCM of coefficients to eliminate variables cleanly.
Common Mistakes: Not multiplying each term properly before subtracting.
5. Solve the equations: 5x + 4y = 24 and 3x + 2y = 14
medium
A. x=3, y=2
B. x=2, y=3
C. x=4, y=1
D. x=2, y=4

Solution

  1. Step 1: Scale to match y-coefficients

    Multiply (2) by 2 → 6x + 4y = 28.

  2. Step 2: Subtract equations to find x

    (5x + 4y) - (6x + 4y) = 24 - 28 ⇒ -x = -4 ⇒ x = 4.

  3. Step 3: Substitute x to find y

    3(4) + 2y = 14 ⇒ 12 + 2y = 14 ⇒ y = 1.

  4. Final Answer:

    x = 4, y = 1 → Option C.

  5. Quick Check:

    5(4) + 4(1) = 20 + 4 = 24 ✔
Hint: Match coefficients of one variable, subtract, then substitute.
Common Mistakes: Dropping negative signs during subtraction.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes