Introduction
Complex Motion / Variable Speeds என்பது ஒரு நகரும் பொருள் தனது பயணத்தின் போது வேகத்தை மாற்றும் பிரச்சினைகளை உள்ளடக்கியது - உதாரணமாக, வெவ்வேறு பகுதிகளில் வெவ்வேறு speeds, இடைவெளிகள் (pauses), அல்லது acceleration / deceleration நிலைகள். இந்தக் கேள்விகள் பல time-distance பகுதிகளை இணைத்து, ஒவ்வொரு பகுதியின் distance, time மற்றும் effective speed-ஐ கவனமாக கணக்கிட வேண்டியதாக்கும்.
இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் உண்மையான உலக இயக்கம் பெரும்பாலும் ஒரே நிலையான speed-ல் இருக்காது; segment-wise கணக்கீடுகள் மற்றும் reductions (average, total time, net distance) நன்றாகத் தெரிந்தால், layered aptitude கேள்விகளை நம்பிக்கையுடன் தீர்க்கலாம்.
Pattern: Complex Motion / Variable Speeds
Pattern
Key concept: பயணத்தை தெளிவான segments-ஆக பிரித்து, ஒவ்வொரு segment-க்கும் distance/time கணக்கிட்டு, பின்னர் அனைத்தையும் இணைக்குங்கள். Total Distance = Σ distances மற்றும் Total Time = Σ times பயன்படுத்தி, overall average speed = Total Distance ÷ Total Time எனக் கணக்கிடுங்கள்.
- Segment approach: ஒவ்வொரு பகுதியையும் தனித்த speed / time / distance மதிப்புகளுடன் கையாளுங்கள்.
- முழு பயணத்தின் average speed: speeds-ன் arithmetic mean அல்ல - total distance ÷ total time கணக்கிட வேண்டும்.
- Distances சமமாகவும் speeds வேறுபட்டாலும்: இரண்டு segments-க்கு harmonic mean பயன்படுத்துங்கள்: 2ab/(a+b) (அதிக segments இருந்தால் total distance / total time முறையைப் பயன்படுத்துங்கள்).
- Times சமமாகவும் speeds வேறுபட்டாலும்: equal-time segments-க்கு speeds-ன் arithmetic mean பயன்படுத்துங்கள்.
- Rests அல்லது pauses இருந்தால்: distance மாறாமல், pause time-ஐ total time-க்கு சேர்த்து average speed கணக்கிடுங்கள்.
Step-by-Step Example
Question
ஒரு cyclist 30 km-ஐ 15 km/h வேகத்தில் பயணம் செய்து, பின்னர் 20 km-ஐ 10 km/h வேகத்தில் செல்கிறார். முழுப் பயணத்திற்கான average speed என்ன?
Solution
Step 1: ஒவ்வொரு segment-க்கும் time கணக்கிடுங்கள்
Segment 1 time = Distance ÷ Speed = 30 ÷ 15 = 2 hours.
Segment 2 time = 20 ÷ 10 = 2 hours.Step 2: Total distance மற்றும் total time
Total distance = 30 + 20 = 50 km.
Total time = 2 + 2 = 4 hours.Step 3: Average speed
Average speed = Total distance ÷ Total time = 50 ÷ 4 = 12.5 km/h.Final Answer:
Average speed = 12.5 km/h.Quick Check:
Average = (15+10)/2 = 12.5 (இங்கு times சமமாக இருப்பதால் பொருந்துகிறது). சரிபார்ப்பு: 12.5 × 4 = 50 ✅
Quick Variations
1. Pauses உள்ள segments: distance மாறாமல், pause time-ஐ total time-க்கு சேர்த்து average speed கணக்கிடுங்கள்.
2. Unequal distances-ல் variable speeds: ஒவ்வொரு segment-க்கும் time கணக்கிட்டு, times-ஐ கூட்டி, total distance ÷ total time செய்யுங்கள்.
3. Piecewise acceleration: ஒரு segment-ல் uniform acceleration இருந்தால், அந்த segment-ன் average speed = (u + v)/2 பயன்படுத்துங்கள்.
4. Multiple equal-distance segments: generalized harmonic mean: Total distance ÷ (Σ (distance_i / speed_i)).
5. Return trips with different speeds: outward மற்றும் return ஆகியவற்றை இரண்டு segments-ஆகக் கொண்டு, total time-ஐ முக்கியமாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.
Trick to Always Use
- Step 1: பயணத்தை தெளிவான segments-ஆகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றுக்கும் (distance, speed, time) குறிக்கவும்.
- Step 2: ஒவ்வொரு segment-க்கும் time கணக்கிடுங்கள்: time_i = distance_i ÷ speed_i (அல்லது distance = speed × time).
- Step 3: distances மற்றும் times-ஐ கூட்டுங்கள்: Total distance = Σ distance_i; Total time = Σ time_i (rests உட்பட).
- Step 4: Overall average speed = Total distance ÷ Total time. speeds-ஐ நேரடியாக average செய்ய வேண்டாம் (times சமமானபோது மட்டும் விதிவிலக்கு).
- Optional: distances சமமானபோது மட்டும் harmonic mean; times சமமானபோது arithmetic mean பயன்படுத்துங்கள்.
Summary
Summary
Complex motion / variable speeds பிரச்சினைகளுக்கு:
- எப்போதும் பயணத்தை segments-ஆகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு segment-ன் time-ஐ தனித்தனியாக கணக்கிடுங்கள்.
- முழுப் பயணத்தின் average speed = (total distance) ÷ (total time) - குறிப்பிட்ட equal-time / equal-distance நிலைகளில் மட்டும் exceptions உண்டு.
- Pauses total time-ஐ அதிகரிக்கும்; distance மாறாது - ஆகவே average speed குறையும்.
- Equal-distance segments-க்கு harmonic mean; equal-time segments-க்கு speeds-ன் arithmetic mean பயன்படுத்துங்கள்.
- Quick checks (totals மறுகணக்கீடு அல்லது alternate formulas) பொதுவான தவறுகளை ஆரம்பத்திலேயே பிடிக்க உதவும்.
Hint: Equal distances → harmonic mean (2ab)/(a+b).
Common Mistakes: Taking arithmetic mean of speeds instead of harmonic mean.