0
0

Circular Track / Same Starting Point

Introduction

circular track with same starting point தொடர்பான பிரச்சினைகள், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட runners ஒரே தொடக்கப் புள்ளியில் இருந்து (ஒரே அல்லது எதிர்திசைகளில்) தொடங்கும்போது, எப்போது சந்திப்பார்கள், எப்போது முந்துவார்கள், எத்தனை rounds ஓடுவார்கள், மற்றும் அவர்களின் relative positions என்ன என்பதைக் கேட்கும்.

இந்த pattern முக்கியமானது, ஏனெனில் இது relative speed கருத்தையும் laps (track length) என்ற கருத்தையும் இணைத்து, எளிய சூத்திரங்களைக் கொண்டு பல contest-style கேள்விகளை விரைவாகத் தீர்க்க உதவுகிறது.

Pattern: Circular Track / Same Starting Point

Pattern

Key concept: வட்ட பாதை இயக்கத்தை நேரியல் தூரமாக (laps) மாற்றி, relative speed பயன்படுத்துங்கள்; இரண்டு பேர் சந்திக்கும்போது அல்லது முந்தும்போது, அவர்கள் integer laps வேறுபாட்டை மூடுவார்கள்.

  • ஒரே திசை: Relative speed = (வேகமானவர் - மெதுவானவர்). முதல் overtake-க்கு நேரம் = Track length ÷ relative speed.
  • எதிர்திசைகள்: Relative speed = (speeds-ன் கூட்டுத்தொகை). முதல் meeting-க்கு நேரம் = Track length ÷ relative speed.
  • நேரம் T-ல் சந்திப்புகளின் எண்ணிக்கை: எதிர்திசைகள் என்றால் → meetings = ⌊(relative speed × T) ÷ track length⌋ (integer meetings மட்டும் எண்ணுங்கள்). ஒரே திசை என்றால் → overtakes = ⌊(relative speed × T) ÷ track length⌋.
  • நேரம் T-க்கு பின் positions: ஒவ்வொருவரும் சென்ற தூரம் (speed × T) கணக்கிட்டு, track length-ஆல் modulo செய்து பாதையில் உள்ள இடத்தை கண்டறியுங்கள்.
  • Integer lap கேள்விகள்: வேகமானவர், மெதுவானவரை விட time T-ல் n laps அதிகமாக முடித்தால், (faster - slower) × T = n × track length.

Step-by-Step Example

Question

400 m நீளமுள்ள ஒரு circular track-ல், இரண்டு runners ஒரே புள்ளியில் இருந்து எதிர்திசைகளில் ஓடுகிறார்கள். அவர்களின் speeds 6 m/s மற்றும் 4 m/s. அவர்கள் முதன்முறையாக எப்போது சந்திப்பார்கள்?

Solution

  1. Step 1: Relative speed கண்டறியுங்கள்

    எதிர்திசைகள் → relative speed = 6 + 4 = 10 m/s.

  2. Step 2: சந்திக்கும் நேரம்

    Time = Track length ÷ Relative speed = 400 ÷ 10 = 40 seconds.

  3. Final Answer:

    அவர்கள் முதன்முறையாக 40 s-க்கு பின் சந்திக்கிறார்கள்.

  4. Quick Check:

    40 s-ல், A 240 m மற்றும் B 160 m செல்கின்றனர்; மொத்தம் 400 m → சந்திப்பு ✅

Quick Variations

1. நேரம் T-ல் எத்தனை முறை சந்திப்பார்கள்: (relative speed × T) ÷ track length கணக்கிட்டு integer பகுதியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

2. k meetings-க்கு பின் எப்போது சேர்வார்கள்: (relative speed × time) = k × track length என்று வைத்து time கண்டறியுங்கள்.

3. நேரம் T-க்கு பின் positions: ஒவ்வொரு runner-க்கும் (speed × T) mod track length கணக்கிட்டு துல்லியமான இடத்தை பெறுங்கள்.

4. எதிர்திசை multiple meetings: meetings-கள் சம இடைவெளிகளில் வரும்; time = track length ÷ (speeds-ன் கூட்டுத்தொகை).

5. Overtakes எண்ணிக்கை: வேகமானவர் பல முறை முந்தலாம்; ஒவ்வொரு overtake-மும் மெதுவானவரை விட ஒரு கூடுதல் lap முடித்ததைக் குறிக்கும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: வட்ட இயக்கத்தை நேரியல் laps-ஆக மாற்றுங்கள்; ஒவ்வொரு lap-மும் நீளம் L என எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.
  • Step 2: relative speed பயன்படுத்துங்கள்: எதிர்திசைக்கு சேர்க்கவும், ஒரே திசைக்கு கழிக்கவும்.
  • Step 3: meetings/overtakes-க்கு (relative speed × time) = n × L என்று அமைக்கவும்; இங்கு n ஒரு integer.
  • Step 4: இறுதி positions-க்கு distance modulo L கணக்கிட்டு பாதையில் உள்ள இடத்தை கண்டறியுங்கள்.

Summary

Summary

ஒரே starting point கொண்ட circular track பிரச்சினைகளுக்கு:

  • relative speed பயன்படுத்துங்கள் (எதிர்திசை என்றால் சேர்க்கவும், ஒரே திசை என்றால் கழிக்கவும்).
  • முதல் meeting/overcome-க்கு நேரம் = track length ÷ relative speed.
  • நேரம் T-ல் meetings/overtakes எண்ணிக்கை = ⌊(relative speed × T) ÷ track length⌋.
  • நேரம் T-க்கு பின் துல்லியமான இடத்தை, ஒவ்வொருவரின் distance (speed × T) modulo track length மூலம் கண்டறியுங்கள்.
  • எப்போதும் units ஒரே மாதிரியாக வைத்துக் கொண்டு, step-by-step முறையில் தீர்வு அமைக்குங்கள்.

Practice

(1/5)
1. Two runners start from the same point on a circular track of length 300 m and run in opposite directions with speeds 5 m/s and 7 m/s. After how many seconds will they meet for the first time?
easy
A. 25 s
B. 20 s
C. 22 s
D. 30 s

Solution

  1. Step 1: Identify motion type

    Opposite directions → relative speed = 5 + 7 = 12 m/s.

  2. Step 2: Compute time

    Time = Track length ÷ Relative speed = 300 ÷ 12 = 25 s.

  3. Final Answer:

    They meet after 25 s → Option A.

  4. Quick Check:

    Together they cover 12 × 25 = 300 m → one full lap ✅
Hint: For opposite directions, add speeds and divide track length by sum.
Common Mistakes: Subtracting speeds instead of adding for opposite direction.
2. Two boys A and B start from the same point on a circular track of 400 m and run in the same direction at 6 m/s and 4 m/s. After how many seconds will A overtake B for the first time?
easy
A. 100 s
B. 200 s
C. 150 s
D. 250 s

Solution

  1. Step 1: Motion type

    Same direction → relative speed = 6 - 4 = 2 m/s.

  2. Step 2: Compute time

    Time = Track length ÷ Relative speed = 400 ÷ 2 = 200 s.

  3. Final Answer:

    A overtakes B after 200 s → Option B.

  4. Quick Check:

    In 200 s, A covers 6×200 = 1200 m and B 4×200 = 800 m → difference = 400 m (one lap) ✅
Hint: For same direction, subtract speeds and divide track length by the difference.
Common Mistakes: Using total speeds instead of difference for same direction.
3. Two cyclists start together on a circular track of 360 m in opposite directions. Their speeds are 8 m/s and 4 m/s. How long will they take to meet for the second time?
easy
A. 30 s
B. 40 s
C. 60 s
D. 45 s

Solution

  1. Step 1: Relative speed

    Opposite directions → relative speed = 8 + 4 = 12 m/s.

  2. Step 2: Time for first meeting

    Time₁ = 360 ÷ 12 = 30 s.

  3. Step 3: Second meeting

    The second meeting occurs after 2 × Time₁ = 60 s.

  4. Final Answer:

    They meet the second time after 60 s → Option C.

  5. Quick Check:

    After 60 s they cover 12×60 = 720 m combined → two laps (2×360) ✅
Hint: Second meeting = 2 × (track ÷ relative speed) for opposite-direction starters.
Common Mistakes: Counting the starting instant as a meeting or using only first-meeting time.
4. On a circular track of 500 m, A runs at 10 m/s and B at 6 m/s in the same direction. After how many seconds will A be 1 lap ahead of B?
medium
A. 125 s
B. 120 s
C. 130 s
D. 150 s

Solution

  1. Step 1: Relative speed

    Same direction → relative speed = 10 - 6 = 4 m/s.

  2. Step 2: Time to gain one lap

    Time = Track length ÷ Relative speed = 500 ÷ 4 = 125 s.

  3. Final Answer:

    A will be one lap ahead after 125 s → Option A.

  4. Quick Check:

    In 125 s A covers 10×125 = 1250 m, B covers 6×125 = 750 m → difference = 500 m (one lap) ✅
Hint: One-lap lead → track length ÷ (faster - slower).
Common Mistakes: Confusing lap distance with total distance run.
5. Two runners start simultaneously from the same point on a circular track of 600 m in opposite directions. Speeds are 5 m/s and 7 m/s. How many times will they meet in 10 minutes?
medium
A. 4 times
B. 5 times
C. 6 times
D. 12 times

Solution

  1. Step 1: Relative speed

    Opposite directions → relative speed = 5 + 7 = 12 m/s.

  2. Step 2: Time per meeting

    Time per meeting = Track length ÷ Relative speed = 600 ÷ 12 = 50 s.

  3. Step 3: Meetings in 10 minutes

    Total time = 10 × 60 = 600 s → Meetings = 600 ÷ 50 = 12 times.

  4. Final Answer:

    They meet 12 times in 10 minutes → Option D.

  5. Quick Check:

    Every 50 s they meet → 600/50 = 12 meetings (first meeting at 50 s, last at 600 s) ✅
Hint: Number of meetings = (relative speed × total time) ÷ track length.
Common Mistakes: Forgetting to convert minutes to seconds or excluding meetings at exact endpoints incorrectly.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes