0
0

Probability Using Permutations/Combinations

Introduction

பல probability பிரச்சினைகள் items-ஐ தேர்வு செய்ய அல்லது arrange செய்யும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை கேட்கும். order முக்கியமில்லையெனில் combinations (nCr) பயன்படுத்தவும். order முக்கியமானால் permutations (nPr) பயன்படுத்தவும். இந்த pattern, selection, arrangement, committee formation, மற்றும் lottery-style problems போன்ற கேள்விகளுக்கு மிகவும் முக்கியமானது.

logic எளிது - favourable மற்றும் total outcomes-ஐ permutation அல்லது combination formulas பயன்படுத்தி கணக்கிட்டு, பின்னர்: P(E) = Favourable Outcomes ÷ Total Outcomes பயன்படுத்தவும்.

Pattern: Probability Using Permutations/Combinations

Pattern

order முக்கியமா இல்லையா என்பதை முடிவு செய்யவும். order முக்கியமானால் permutations; முக்கியமில்லையெனில் combinations. பின்னர் P = favourable ÷ total பயன்படுத்தவும்.

  • Combinations (nCr): selection-இன் order முக்கியமில்லாத போது → nCr = n! / (r!(n-r)!).
  • Permutations (nPr): order முக்கியமான போது → nPr = n! / (n-r)!

Step-by-Step Example

Question

(i) 52 cards கொண்ட deck-இலிருந்து replacement இல்லாமல் random-ஆக இரண்டு cards எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டும் Aces ஆக இருக்க probability என்ன?
(ii) 5 students-இலிருந்து ஒரு President மற்றும் ஒரு Secretary தேர்வு செய்யப்படுகின்றனர். Alice President ஆகவும் Bob Secretary ஆகவும் வர probability என்ன?

Solution

  1. Part (i): Combinations பயன்படுத்துதல் (order முக்கியமில்லை)

    Step 1: 2 cards தேர்வு செய்ய total வழிகள் = 52C2 = 1326.

    Step 2: 2 Aces தேர்வு செய்ய favourable வழிகள் = 4C2 = 6.

    Step 3: Probability = 6 ÷ 1326 = 1/221.

  2. Quick Check (Alternative Method)

    Sequential-ஆக: (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221 ✅

  3. Part (ii): Permutations பயன்படுத்துதல் (order முக்கியம்)

    Step 1: Total arrangements = 5P2 = 5 × 4 = 20.

    Step 2: favourable arrangement (Alice-President, Bob-Secretary) = 1.

    Step 3: Probability = 1 ÷ 20 = 1/20.

  4. Final Answers:

    (i) Both Aces = 1/221
    (ii) Alice-Bob pair = 1/20

  5. Quick Check:

    இரு பதில்களும் alternative verification-க்கு பொருந்துகின்றன ✅

Quick Variations

1. teams அல்லது committees தேர்வு → combinations பயன்படுத்தவும்.

2. seats arrange செய்வது அல்லது ranks assign செய்வது → permutations பயன்படுத்தவும்.

3. replacement இல்லாமல் cards அல்லது balls draw செய்வது → பொதுவாக combinations.

4. multi-step arrangements → தேவைக்கேற்ப nCr மற்றும் nPr-ஐ இணைத்து பயன்படுத்தவும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: “order முக்கியமா?” என்று கேட்டு nCr அல்லது nPr எது என்பதை தேர்வு செய்யவும்.
  • Step 2: factorial formulas பயன்படுத்தி total மற்றும் favourable outcomes-ஐ கணக்கிடவும்.
  • Step 3: சந்தேகம் இருந்தால் sequential probability மூலம் verify செய்யவும் (especially replacement இல்லாத போது).

Summary

Summary

Probability using Permutations and Combinations pattern-இல்:

  • order முக்கியமில்லையெனில் nCr பயன்படுத்தவும்.
  • order முக்கியமானால் nPr பயன்படுத்தவும்.
  • total மற்றும் favourable outcomes இரண்டையும் சரியாக கணக்கிடுங்கள்.
  • P(E) = Favourable / Total பயன்படுத்தவும்.
  • replacement அல்லது sequence உள்ளபோது sequential multiplication மூலம் cross-check செய்யவும்.

Practice

(1/5)
1. Two cards are drawn at random from a pack of 52 cards. What is the probability that both cards are Kings?
easy
A. 1/221
B. 1/325
C. 1/169
D. 1/663

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Total ways to choose 2 cards = 52C2 = 1326.

  2. Step 2: Identify favourable outcomes

    Ways to choose 2 Kings from 4 = 4C2 = 6.

  3. Step 3: Apply formula

    P(both Kings) = 6 ÷ 1326 = 1/221.

  4. Final Answer:

    1/221 → Option A.

  5. Quick Check:

    Sequential check: (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221 ✅
Hint: Use combinations for 'without replacement' pairs: favourable = nCr(4,2), total = nCr(52,2).
Common Mistakes: Using replacement logic or forgetting to use combinations for unordered draws.
2. From 6 students, a leader and an assistant leader are to be chosen. What is the probability that Ravi is the leader and Meena is the assistant?
easy
A. 1/15
B. 1/30
C. 1/20
D. 1/10

Solution

  1. Step 1: Determine total possible arrangements

    Total ordered selections = 6P2 = 6 × 5 = 30.

  2. Step 2: Identify favourable arrangement

    Only one ordered arrangement corresponds to Ravi as leader and Meena as assistant → favourable = 1.

  3. Step 3: Apply formula

    P = 1 ÷ 30 = 1/30.

  4. Final Answer:

    1/30 → Option B.

  5. Quick Check:

    One specific ordered pair among 30 possible ordered pairs → 1/30 ✅
Hint: When order matters, use permutations (nP r) for total arrangements.
Common Mistakes: Using combinations instead of permutations when order matters.
3. Out of 8 people, a committee of 3 members is to be formed. What is the probability that a particular person, Ramesh, is included in the committee?
easy
A. 3/8
B. 5/8
C. 1/8
D. 1/4

Solution

  1. Step 1: Total combinations

    Total ways to form a 3-member committee = 8C3 = 56.

  2. Step 2: Favourable combinations (Ramesh included)

    If Ramesh is included, choose remaining 2 from the other 7 → 7C2 = 21.

  3. Step 3: Apply formula

    P(Ramesh included) = 21 ÷ 56 = 3/8.

  4. Final Answer:

    3/8 → Option A.

  5. Quick Check:

    21 favourable committees out of 56 total → 21/56 = 3/8 ✅
Hint: Fix the required person, then choose the remaining members from the rest using nCr.
Common Mistakes: Using 8C2 instead of 7C2 for favourable cases when one member is fixed.
4. From 10 people, a 4-member team is to be chosen. What is the probability that two specific people, A and B, are always included?
medium
A. 1/15
B. 1/6
C. 2/15
D. 1/5

Solution

  1. Step 1: Total teams

    Total possible 4-member teams = 10C4 = 210.

  2. Step 2: Favourable teams (A and B fixed)

    Fix A and B, choose remaining 2 from the other 8 → 8C2 = 28.

  3. Step 3: Apply formula

    P(A and B included) = 28 ÷ 210 = 2/15.

  4. Final Answer:

    2/15 → Option C.

  5. Quick Check:

    28 favourable teams out of 210 total → 28/210 = 2/15 ✅
Hint: Fix required members and use nCr to choose the rest from remaining people.
Common Mistakes: Forgetting to fix A and B and instead choosing them again as part of selection.
5. A box has 5 red, 4 green, and 3 blue balls. If 3 balls are drawn at random without replacement, what is the probability that all are red?
medium
A. 1/24
B. 1/28
C. 1/30
D. 1/22

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Total balls = 5 + 4 + 3 = 12. Total ways to draw 3 = 12C3 = 220.

  2. Step 2: Identify favourable outcomes

    Ways to draw 3 red balls from 5 = 5C3 = 10.

  3. Step 3: Apply formula

    P(all red) = 10 ÷ 220 = 1/22.

  4. Final Answer:

    1/22 → Option D.

  5. Quick Check:

    10 favourable combinations out of 220 total → 10/220 = 1/22 ✅
Hint: Use nCr for both total and favourable counts when drawing without replacement.
Common Mistakes: Treating draws as independent (replacement) and squaring single-draw probabilities.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes