0
0

Mutually Exclusive and Exhaustive Events

Introduction

Probabilityயில், நிகழ்வுகள் ஒன்றுக்கொன்று பல்வேறு விதமான தொடர்புகளை கொண்டிருக்கலாம். அவற்றில் மிக முக்கியமான இரண்டு தொடர்புகள் Mutually Exclusive மற்றும் Exhaustive நிகழ்வுகள் ஆகும். இவற்றை புரிந்துகொள்வது, ஒரு experiment இல் உள்ள வெவ்வேறு முடிவுகள் எவ்வாறு ஒன்றுடன் ஒன்று தொடர்பு கொண்டுள்ளன என்பதை பகுப்பாய்வு செய்ய உதவுகிறது.

இந்த கருத்துகள், probability மதிப்புகளை கூட்டும் போது அல்லது இணைந்த நிகழ்வுகளை (எ.கா., “A அல்லது B நடக்கும்”) புரிந்துகொள்ளும் போது பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Pattern: Mutually Exclusive and Exhaustive Events

Pattern

Mutually Exclusive நிகழ்வுகள் ஒன்றாக நடைபெற முடியாது; Exhaustive நிகழ்வுகள் எல்லா சாத்தியமான முடிவுகளையும் உள்ளடக்கும்.

  • Mutually Exclusive: P(A ∩ B) = 0
  • Exhaustive Events: P(A) + P(B) + ... = 1

Example: ஒரு coin எறியும் போது, Head வருவதும் Tail வருவதும் mutually exclusive (ஒரே நேரத்தில் நடக்க முடியாது). மேலும், அவை ஒன்றாக சேர்ந்து exhaustive ஆகும், ஏனெனில் அவற்றில் ஒன்று கட்டாயமாக நடக்கும்.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு die சுழற்றும்போது, நிகழ்வு A = “even number வருவது” மற்றும் நிகழ்வு B = “odd number வருவது” என எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த நிகழ்வுகள் mutually exclusive மற்றும்/அல்லது exhaustive ஆக உள்ளனவா?

Solution

  1. Step 1: முடிவுகளை வரையறுத்தல்

    A = {2, 4, 6} மற்றும் B = {1, 3, 5}.

  2. Step 2: intersection ஐ சரிபார்த்தல்

    A ∩ B = {} → empty set, ஆகவே இவை mutually exclusive.

  3. Step 3: exhaustiveness ஐ சரிபார்த்தல்

    A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → die இன் எல்லா சாத்தியமான முடிவுகளும் → exhaustive.

  4. Final Answer:

    mutually exclusive மற்றும் exhaustive.

  5. Quick Check:

    P(A ∩ B) = 0 மற்றும் P(A ∪ B) = 1 ✅

Quick Variations

1. இரண்டு அட்டைகள் “red” மற்றும் “black” suits → mutually exclusive ஆனால் exhaustive.

2. ஒரு die இல் even number vs multiple of 3 → mutually exclusive அல்ல (6 பொதுவாக உள்ளது).

3. ஒரு die சுழற்றி A = {1,2,3}, B = {4,5,6} → exhaustive மற்றும் mutually exclusive.

Trick to Always Use

  • Step 1: intersection ஐ சரிபார்க்கவும் - A ∩ B = ∅ என்றால், அவை mutually exclusive.
  • Step 2: union ஐ சரிபார்க்கவும் - A ∪ B எல்லா முடிவுகளையும் உள்ளடக்கியிருந்தால், அவை exhaustive.
  • Step 3: mutually exclusive நிகழ்வுகளுக்கு, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) என்பதை பயன்படுத்துங்கள்.

Summary

Summary

Mutually Exclusive மற்றும் Exhaustive Events pattern இல்:

  • Mutually exclusive → ஒன்றாக நடைபெற முடியாது (P(A ∩ B) = 0).
  • Exhaustive → நிகழ்வுகளில் ஒன்று கட்டாயமாக நடக்கும் (probabilities கூட்டுத்தொகை = 1).
  • இந்த கருத்துகள் “either-or” probability கேள்விகளை எளிதாக்க உதவுகின்றன.
  • நிகழ்வுகளை சரியாக வகைப்படுத்த, intersection மற்றும் union இரண்டையும் எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.

Practice

(1/5)
1. When a fair coin is tossed once, let event A = {Head} and event B = {Tail}. Which statement is true?
easy
A. They are both mutually exclusive and exhaustive
B. They are mutually exclusive only
C. They are exhaustive only
D. They are neither

Solution

  1. Step 1: List outcomes

    Sample space S = {H, T}.

  2. Step 2: Check intersection

    A ∩ B = ∅ → cannot occur together → mutually exclusive.

  3. Step 3: Check union

    A ∪ B = {H, T} = S → covers all outcomes → exhaustive.

  4. Final Answer:

    mutually exclusive and exhaustive → Option A.

  5. Quick Check:

    P(A ∩ B) = 0 and P(A ∪ B) = 1 ✅
Hint: Mutually exclusive → intersection empty. Exhaustive → union = sample space.
Common Mistakes: Thinking 'mutually exclusive' alone implies not exhaustive.
2. On a single roll of a fair six-sided die, let A = 'even number' and B = 'multiple of 3'. Which classification is correct?
easy
A. Both mutually exclusive and exhaustive
B. Mutually exclusive only
C. Exhaustive only
D. Neither mutually exclusive nor exhaustive

Solution

  1. Step 1: List sets

    A = {2,4,6}, B = {3,6}.

  2. Step 2: Check intersection

    A ∩ B = {6} ≠ ∅ → not mutually exclusive.

  3. Step 3: Check union

    A ∪ B = {2,3,4,6} which ≠ {1,2,3,4,5,6} → not exhaustive.

  4. Final Answer:

    Neither mutually exclusive nor exhaustive → Option D.

  5. Quick Check:

    6 belongs to both (so not exclusive); 1 and 5 are missing from union (so not exhaustive) ✅
Hint: Look for shared elements (intersection) first; then check if union covers all outcomes.
Common Mistakes: Assuming even vs multiple-of-3 are disjoint or cover the whole sample space.
3. Events A = {1,2,3} and B = {4,5} are defined on a single roll of a fair six-sided die. Which statement is correct?
easy
A. Both mutually exclusive and exhaustive
B. Mutually exclusive only
C. Exhaustive only
D. Neither

Solution

  1. Step 1: Identify sets

    A = {1,2,3}, B = {4,5}.

  2. Step 2: Intersection

    A ∩ B = ∅ → they are mutually exclusive.

  3. Step 3: Union

    A ∪ B = {1,2,3,4,5} which does not include 6 → not exhaustive.

    4. Final Answer:

    Mutually exclusive only → Option B.

  4. Quick Check:

    They don't overlap, but their union misses outcome 6 → not exhaustive ✅
Hint: Mutual exclusion is intersection-empty; exhaustiveness needs full coverage of sample space.
Common Mistakes: Confusing non-overlap with covering all outcomes.
4. If events A and B are mutually exclusive and P(A) = 0.30, P(B) = 0.40, what is P(A ∪ B)?
medium
A. 0.10
B. 0.12
C. 0.70
D. 0.18

Solution

  1. Step 1: Use formula for mutually exclusive events

    If A and B are mutually exclusive, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

  2. Step 2: Substitute values

    P(A ∪ B) = 0.30 + 0.40 = 0.70.

  3. Final Answer:

    0.70 → Option C.

  4. Quick Check:

    Since they can't occur together, union is sum of probabilities → 0.70 ✅
Hint: For mutually exclusive events, simply add probabilities for the union.
Common Mistakes: Trying to subtract intersection (which is zero here) or multiplying instead of adding.
5. Let event A = 'draw a red card' and event B = 'draw a black card' from a standard 52-card deck. Which classification fits A and B?
medium
A. They are both mutually exclusive and exhaustive
B. Mutually exclusive only
C. Exhaustive only
D. Neither

Solution

  1. Step 1: Identify sets

    Red cards = 26 cards, Black cards = 26 cards.

  2. Step 2: Intersection

    Red ∩ Black = ∅ → mutually exclusive.

    3. Step 3: Union

    Red ∪ Black = all 52 cards → exhaustive.

  3. Final Answer:

    Both mutually exclusive and exhaustive → Option A.

  4. Quick Check:

    P(Red ∩ Black)=0 and P(Red ∪ Black)=1 ✅
Hint: Opposite exhaustive categories (like red/black) are usually both exclusive and exhaustive.
Common Mistakes: Thinking suits (Hearts/Spades) are exhaustive of colours (they're not).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes