0
0

Complementary Events

Introduction

probability-இல், ஒவ்வொரு event-க்கும் ஒரு complementary event இருக்கும் - அதாவது, அசல் event நிகழாத அனைத்து outcomes-களையும் குறிக்கும் event. என்ன நடக்கவில்லை என்பதை கணக்கிடுவது எளிதாக இருக்கும் பிரச்சினைகளை தீர்க்க complementary events-ஐ புரிந்து கொள்வது மிகவும் முக்கியம்.

இந்த pattern, அடிப்படை விதியான P(not E) = 1 - P(E) பயன்படுத்தி probability கணக்குகளை எளிமைப்படுத்த உதவுகிறது.

Pattern: Complementary Events

Pattern

ஒரு event நிகழாததற்கான probability என்பது, அந்த event நிகழும் probability-யிலிருந்து 1-ஐ கழித்ததற்கு சமம்.

Formula: P(not E) = 1 - P(E)

probabilities அனைத்தும் சேர்த்து 1 ஆக இருப்பதால், ஒன்று தெரிந்தால் மற்றொன்றை விரைவாக கணக்கிட இந்த உறவு உதவுகிறது.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு die ஒருமுறை roll செய்யப்படுகிறது. 6 வராததற்கான probability-ஐ கண்டறியவும்.

Solution

  1. Step 1: எல்லா possible outcomes-ஐ பட்டியலிடவும்

    die-இல் உள்ள total possible outcomes = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → total = 6.

  2. Step 2: favourable outcomes-ஐ அடையாளம் காண்க

    6 வருவதற்கான favourable outcomes எண்ணிக்கை = 1 (’6’ மட்டும்).

  3. Step 3: 6 வருவதற்கான probability-ஐ கணக்கிடவும்

    P(getting a 6) = 1 / 6 = 1/6.

  4. Step 4: complementary rule-ஐ பயன்படுத்தவும்

    P(not getting a 6) = 1 - 1/6 = 5/6.

  5. Final Answer:

    5/6

  6. Quick Check:

    P(getting 6) + P(not getting 6) = 1/6 + 5/6 = 1 ✅

Quick Variations

1. “At least one” வகை பிரச்சினைகள் (எ.கா., P(at least one head) = 1 - P(no heads)).

2. குறிப்பிட்ட card அல்லது color வராததற்கான probability-ஐ கண்டறிதல்.

3. “none”, “not happening”, அல்லது “failure” outcomes அடங்கிய சூழல்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1: event நிகழுவதற்கான probability-ஐ கண்டறியவும் (P(E)).
  • Step 2: 1-இலிருந்து கழித்து P(not E)-ஐ பெறவும்.
  • Step 3: எப்போதும் P(E) + P(not E) = 1 என்பதை சரிபார்க்கவும்.

Summary

Summary

Complementary Events pattern-இல்:

  • P(not E) = 1 - P(E).
  • எதிர் event-ஐ கணக்கிடுவது எளிதாக இருக்கும் போது இதைப் பயன்படுத்தவும்.
  • validation-க்கு மொத்த probability = 1 என்பதை எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.
  • “at least one” மற்றும் “none” வகை பிரச்சினைகளில் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

Practice

(1/5)
1. A box contains 7 white balls and 3 black balls. One ball is drawn at random. What is the probability that the ball is not black?
easy
A. 7/10
B. 3/10
C. 1/2
D. 4/5

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Total balls = 7 white + 3 black = 10.

  2. Step 2: Identify P(black)

    P(black) = 3 / 10 = 3/10.

  3. Step 3: Use complement

    P(not black) = 1 - P(black) = 1 - 3/10 = 7/10.

  4. Final Answer:

    7/10 → Option A.

  5. Quick Check:

    Not black = white count 7 → 7/10 ✅
Hint: Find P(E) for the unwanted event first, then subtract from 1.
Common Mistakes: Forgetting to include all balls when computing the total.
2. Two fair coins are tossed. What is the probability of getting at least one Head?
easy
A. 3/4
B. 1/4
C. 1/2
D. 1

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Sample space for two coins = {HH, HT, TH, TT} → 4 outcomes.

  2. Step 2: Identify complement (no Heads)

    Complement = {TT} → P(no Heads) = 1/4.

  3. Step 3: Apply complement rule

    P(at least one Head) = 1 - P(no Heads) = 1 - 1/4 = 3/4.

  4. Final Answer:

    3/4 → Option A.

  5. Quick Check:

    Direct count: {HH, HT, TH} = 3 favourable out of 4 → 3/4 ✅
Hint: For 'at least one' problems, compute P(none) and subtract from 1.
Common Mistakes: Counting HT and TH as one outcome (they are distinct) leading to wrong totals.
3. One card is drawn from a standard 52-card deck. What is the probability that the card is not a Spade?
easy
A. 1/4
B. 3/4
C. 1/2
D. 13/52

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Total cards = 52.

  2. Step 2: Identify P(Spade)

    Number of spades = 13 → P(Spade) = 13/52 = 1/4.

  3. Step 3: Use complement

    P(not Spade) = 1 - P(Spade) = 1 - 1/4 = 3/4.

  4. Final Answer:

    3/4 → Option B.

  5. Quick Check:

    Spades = 13, not spade = 39 → 39/52 = 3/4 ✅
Hint: P(not E) = 1 - P(E); for suits P(E) often equals 13/52 = 1/4.
Common Mistakes: Using 26 (red cards) values instead of correctly identifying the suit count.
4. A bag contains 4 red and 6 blue balls. One ball is drawn at random. What is the probability that the drawn ball is not blue?
medium
A. 3/5
B. 7/10
C. 2/5
D. 4/6

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Total balls = 4 red + 6 blue = 10.

  2. Step 2: Identify P(blue)

    P(blue) = 6 / 10 = 3/5.

  3. Step 3: Use complement

    P(not blue) = 1 - P(blue) = 1 - 3/5 = 2/5.

  4. Final Answer:

    2/5 → Option C.

  5. Quick Check:

    Not blue = red count 4 → 4/10 = 2/5 ✅
Hint: Either compute 1 - P(blue) or directly use favourable count for 'not' event.
Common Mistakes: Forgetting to compute total before applying complement.
5. Three fair coins are tossed. What is the probability that the outcome is not exactly one Head?
medium
A. 3/8
B. 1/2
C. 5/16
D. 5/8

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    Total outcomes for 3 coins = 2³ = 8.

  2. Step 2: Identify P(exactly one Head)

    Exactly one Head outcomes = {HTT, THT, TTH} → 3 outcomes → P(exactly one Head) = 3/8.

  3. Step 3: Use complement

    P(not exactly one Head) = 1 - 3/8 = 5/8.

  4. Final Answer:

    5/8 → Option D.

  5. Quick Check:

    Other outcomes count = 8 - 3 = 5 → 5/8 ✅
Hint: Compute the unwanted case count (exactly one) and subtract from 1.
Common Mistakes: Miscounting arrangements for exactly one Head (forgetting permutations).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes