Recommended
Introduction
Bayes’ Theorem என்பது, புதிய evidence கிடைக்கும் போது probability மதிப்புகளை revise செய்ய உதவுகிறது. இது medical diagnosis, machine learning, மற்றும் decision-making போன்ற நிஜ வாழ்க்கை பயன்பாடுகளில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொடர்புடைய data ஐ கவனித்த பின், ஒரு நிகழ்வு நடைபெறும் வாய்ப்பை கண்டறிய இது மிகவும் உதவியாக இருக்கும்.
Pattern: Bayes’ Theorem
Bayes’ Theorem, நிகழ்வு B நடந்ததை கவனித்த பின், நிகழ்வு A இன் probability ஐ update செய்கிறது.
Formula:
P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / [P(B | A)P(A) + P(B | A′)P(A′)]
Step-by-Step Example
Question
இரண்டு machines, M₁ மற்றும் M₂, bulbs தயாரிக்கின்றன. M₁, bulbs இல் 40% உற்பத்தி செய்து, 2% defect rate கொண்டுள்ளது. M₂, bulbs இல் 60% உற்பத்தி செய்து, 3% defect rate கொண்டுள்ளது. ஒரு bulb defective எனில், அது M₁ மூலம் தயாரிக்கப்பட்டிருக்கும் probability என்ன?
Solution
-
Step 1: அறியப்பட்ட probability களை வரையறுத்தல்
P(M₁) = 0.4, P(M₂) = 0.6
P(D|M₁) = 0.02, P(D|M₂) = 0.03 -
Step 2: Bayes’ Theorem பயன்படுத்துதல்
P(M₁|D) = [P(D|M₁) × P(M₁)] / [P(D|M₁)P(M₁) + P(D|M₂)P(M₂)] -
Step 3: Substitute செய்து simplify செய்தல்
= (0.02 × 0.4) / [(0.02 × 0.4) + (0.03 × 0.6)]
= 0.008 / (0.008 + 0.018) = 0.008 / 0.026 = 0.3077 -
Final Answer:
30.77% (≈ 0.31) -
Quick Check:
M₁, மொத்த defective rate 0.026 இல் 0.008 bulbs அளவிற்கு பங்களிக்கிறது → 0.008/0.026 = 0.3077 ✅
Quick Variations
1. Medical Test: positive test கிடைத்த நிலையில், உண்மையில் disease இருப்பதற்கான probability ஐ கண்டறிதல்.
2. Quality Control: defective product கிடைத்த நிலையில், அது எந்த machine மூலம் தயாரிக்கப்பட்டது என்பதை கண்டறிதல்.
3. Email Classification: ஒரு email சில குறிப்பிட்ட words கொண்டுள்ளது என்ற நிலையில், அது spam ஆக இருப்பதற்கான probability ஐ கண்டறிதல்.
Trick to Always Use
- Step 1: எல்லா hypotheses (A, A′) மற்றும் அவற்றின் priors ஐ கண்டறியுங்கள்.
- Step 2: P(B|A) மற்றும் P(B|A′) - ஒவ்வொரு hypothesis கீழும் evidence இன் likelihood ஐ கணக்கிடுங்கள்.
- Step 3: Bayes’ formula பயன்படுத்தி, numerator ஐ மொத்த evidence probability மூலம் வகுக்கவும்.
- Step 4: எளிதாக புரிந்து கொள்ள decimal ஐ percentage ஆக மாற்றுங்கள்.
Summary
Bayes’ Theorem pattern இல்:
- P(A|B) போன்ற reverse probabilities ஐ கண்டறிய உதவுகிறது.
- பயன்படுத்தப்படும் formula: P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / [P(B|A)P(A) + P(B|A′)P(A′)].
- Priors (P(A)), likelihoods (P(B|A)) ஆகியவற்றை கண்டறிந்து, B இன் மொத்த probability கொண்டு normalize செய்ய வேண்டும்.
- புதிய evidence கிடைத்த பின், உங்கள் belief ஐ update செய்ய வேண்டிய சூழல்களில் மிகவும் பயனுள்ளது.
- Quick Check: denominator இல் உள்ள probability களின் கூட்டுத்தொகை, evidence இன் மொத்த probability ஆக இருக்க வேண்டும்.