0
0

Complex Probability Situations

Introduction

நிஜ வாழ்க்கை probability கேள்விகளில், பல கட்டங்கள், இணைந்த நிகழ்வுகள், மற்றும் ஒன்றை ஒன்று பாதிக்கும் முடிவுகள் அடிக்கடி வரும் - உதாரணமாக, balls ஐ with replacement அல்லது without replacement எடுப்பது, அல்லது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட experiments இன் முடிவுகளை ஒன்றாக இணைப்பது.

இத்தகைய mixed அல்லது multiple event scenarios இல் probability ஐ கணக்கிடுவது மிகவும் முக்கியம். இவ்வகை கேள்விகள் conditional probability, independent/dependent events, மற்றும் combinations of outcomes ஆகியவற்றை ஒன்றாக இணைக்கின்றன.

Pattern: Complex Probability Situations

Pattern

முக்கிய கருத்து: தொடர்ச்சியான நிகழ்வுகளுக்கு probability களை பெருக்க வேண்டும்; சூழ்நிலை மாறும்போது (எ.கா., without replacement) அதனை சரிசெய்ய வேண்டும்; மேலும், ஒரே முடிவை அடைய பல வழிகள் இருந்தால் probability களை கூட்ட வேண்டும்.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு பெட்டியில் 3 red மற்றும் 2 blue balls உள்ளன. இரண்டு balls ஒன்றுக்குப் பின் ஒன்று without replacement எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டுமே red ஆக இருக்கும் probability என்ன?

Solution

  1. Step 1: முதல் red ball வருவதற்கான probability

    மொத்தம் 5 balls இல் 3 red உள்ளன, ஆகவே P(R₁) = 3/5.

  2. Step 2: இரண்டாவது red ball வருவதற்கான probability

    ஒரு red ball எடுக்கப்பட்ட பின், 4 balls இல் 2 red மீதம் இருக்கும், ஆகவே P(R₂ | R₁) = 2/4 = 1/2.

  3. Step 3: இரு நிகழ்வுகளுக்கும் probability களை பெருக்குதல்

    எடுப்புகள் தொடர்ச்சியானவை மற்றும் dependent ஆக இருப்பதால்: P(R₁ ∩ R₂) = (3/5) × (1/2) = 3/10.

  4. Final Answer:

    3/10.

  5. Quick Check:

    Favorable outcomes = 3C2 = 3; total outcomes = 5C2 = 10 → 3/10 ✅

Quick Variations

1. Balls ஐ with replacement எடுப்பது (independent events).

2. பல boxes அல்லது containers இலிருந்து எடுப்பது.

3. குறைந்தது ஒரு நிகழ்வு நடக்கும் probability சார்ந்த கேள்விகள்.

4. dice, cards, அல்லது urns ஆகியவற்றை இணைக்கும் multi-stage experiments.

Trick to Always Use

  • Step 1: நிகழ்வுகள் dependent அல்லது independent என்பதை முதலில் கண்டறியுங்கள்.
  • Step 2: “AND” வகை கேள்விகளுக்கு, தொடர்ச்சியான probability களை பெருக்குங்கள்.
  • Step 3: “OR” வகை கேள்விகள் அல்லது பல வழிகள் இருந்தால் probability களை கூட்டுங்கள்.
  • Step 4: ஒரே நேரத்தில் பல items தேர்வு செய்யும் போது combinations பயன்படுத்துங்கள்.

Summary

Summary

  • Complex probability situations இல் பல, பெரும்பாலும் dependent, நிகழ்வுகள் இடம்பெறும்.
  • “AND” நிகழ்வுகளுக்கு → probability களை பெருக்குங்கள்.
  • “OR” நிகழ்வுகளுக்கு → probability களை கூட்டுங்கள் (அவை mutually exclusive ஆக இருந்தால்).
  • பிரச்சினையில் replacement உள்ளதா அல்லது no replacement உள்ளதா என்பதை எப்போதும் கவனியுங்கள்.
  • ஒரே நேரத்தில் பல தேர்வுகள் இருந்தால் combinations பயன்படுத்துங்கள்.

Practice

(1/5)
1. A box contains 4 red and 3 blue balls. Two balls are drawn one after another without replacement. What is the probability that both are red?
easy
A. 2/7
B. 3/10
C. 2/5
D. 4/7

Solution

  1. Step 1: Probability of first red

    P(R₁) = 4/7.

  2. Step 2: Probability of second red given first red

    P(R₂ | R₁) = 3/6 = 1/2.

  3. Step 3: Multiply sequential probabilities

    P(both red) = (4/7) × (1/2) = 2/7.

  4. Final Answer:

    2/7 → Option A.

  5. Quick Check:

    Favourable combinations = C(4,2)=6, total = C(7,2)=21 → 6/21 = 2/7 ✅
Hint: For 'both same color' without replacement, multiply sequential probabilities or use combinations.
Common Mistakes: Using replacement probabilities like (4/7)×(4/7).
2. A bag has 5 white and 4 black balls. Two balls are drawn together. Find the probability that both are black.
easy
A. 2/9
B. 1/6
C. 1/5
D. 2/7

Solution

  1. Step 1: Total ways to choose 2 balls

    Total = C(9,2) = 36.

  2. Step 2: Favourable ways (both black)

    Favourable = C(4,2) = 6.

  3. Step 3: Probability

    P = 6 / 36 = 1/6.

  4. Final Answer:

    1/6 → Option B.

  5. Quick Check:

    6 favourable out of 36 total → 1/6 ✅
Hint: When order doesn't matter, use combinations: favourable ÷ total.
Common Mistakes: Multiplying sequential fractions without accounting for unordered draw.
3. Two fair dice are thrown together. What is the probability that the sum is 7 or 11?
easy
A. 1/4
B. 2/11
C. 2/9
D. 1/6

Solution

  1. Step 1: Total ordered outcomes

    6 × 6 = 36.

  2. Step 2: Count favourable outcomes

    Sum 7 → 6 outcomes; Sum 11 → 2 outcomes; Total favourable = 8.

  3. Step 3: Probability

    P = 8 / 36 = 2/9.

  4. Final Answer:

    2/9 → Option C.

  5. Quick Check:

    8 out of 36 simplifies to 2/9 ✅
Hint: Add counts for each target sum (mutually exclusive events), then divide by 36.
Common Mistakes: Counting unordered pairs or double-counting outcomes.
4. A box contains 3 red, 4 blue, and 5 green balls. Two balls are drawn one after another without replacement. What is the probability that one is red and the other is blue?
medium
A. 1/6
B. 3/11
C. 12/55
D. 2/11

Solution

  1. Step 1: Total balls and total pairs

    Total = 12 balls; total pairs = C(12,2) = 66.

  2. Step 2: Favourable pairs (1 red & 1 blue)

    Favourable = C(3,1) × C(4,1) = 3 × 4 = 12.

  3. Step 3: Probability

    P = 12 / 66 = 2/11.

  4. Final Answer:

    2/11 → Option D.

  5. Quick Check:

    12 favourable out of 66 total → 2/11 ✅
Hint: For two different colours, multiply choices for each and divide by total combinations.
Common Mistakes: Using sequential fractions incorrectly or forgetting combinations count.
5. A bag contains 6 red, 5 blue, and 4 green balls. Two balls are drawn at random. Find the probability that both balls are of the same colour.
medium
A. 31/105
B. 13/30
C. 19/45
D. 11/30

Solution

  1. Step 1: Total ways to choose 2

    Total = C(15,2) = 105.

  2. Step 2: Favourable ways (same colour)

    Red: C(6,2)=15; Blue: C(5,2)=10; Green: C(4,2)=6. Sum = 15 + 10 + 6 = 31.

  3. Step 3: Probability

    P = 31 / 105 (cannot simplify) = 31/105.

  4. Final Answer:

    31/105 → Option A.

  5. Quick Check:

    31 favourable out of 105 total → 31/105 ✅
Hint: Add combinations for each colour and divide by total combinations.
Common Mistakes: Attempting to combine probabilities incorrectly instead of using combinations.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes