Raised Fist0

Complex Probability Situations

Start learning this pattern below

Jump into concepts and practice - no test required

or
Recommended
Test this pattern10 questions across easy, medium, and hard to know if this pattern is strong

Introduction

நிஜ வாழ்க்கை probability கேள்விகளில், பல கட்டங்கள், இணைந்த நிகழ்வுகள், மற்றும் ஒன்றை ஒன்று பாதிக்கும் முடிவுகள் அடிக்கடி வரும் - உதாரணமாக, balls ஐ with replacement அல்லது without replacement எடுப்பது, அல்லது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட experiments இன் முடிவுகளை ஒன்றாக இணைப்பது.

இத்தகைய mixed அல்லது multiple event scenarios இல் probability ஐ கணக்கிடுவது மிகவும் முக்கியம். இவ்வகை கேள்விகள் conditional probability, independent/dependent events, மற்றும் combinations of outcomes ஆகியவற்றை ஒன்றாக இணைக்கின்றன.

Pattern: Complex Probability Situations

Pattern: Complex Probability Situations

முக்கிய கருத்து: தொடர்ச்சியான நிகழ்வுகளுக்கு probability களை பெருக்க வேண்டும்; சூழ்நிலை மாறும்போது (எ.கா., without replacement) அதனை சரிசெய்ய வேண்டும்; மேலும், ஒரே முடிவை அடைய பல வழிகள் இருந்தால் probability களை கூட்ட வேண்டும்.

Step-by-Step Example

Question

ஒரு பெட்டியில் 3 red மற்றும் 2 blue balls உள்ளன. இரண்டு balls ஒன்றுக்குப் பின் ஒன்று without replacement எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டுமே red ஆக இருக்கும் probability என்ன?

Solution

  1. Step 1: முதல் red ball வருவதற்கான probability

    மொத்தம் 5 balls இல் 3 red உள்ளன, ஆகவே P(R₁) = 3/5.

  2. Step 2: இரண்டாவது red ball வருவதற்கான probability

    ஒரு red ball எடுக்கப்பட்ட பின், 4 balls இல் 2 red மீதம் இருக்கும், ஆகவே P(R₂ | R₁) = 2/4 = 1/2.

  3. Step 3: இரு நிகழ்வுகளுக்கும் probability களை பெருக்குதல்

    எடுப்புகள் தொடர்ச்சியானவை மற்றும் dependent ஆக இருப்பதால்: P(R₁ ∩ R₂) = (3/5) × (1/2) = 3/10.

  4. Final Answer:

    3/10.

  5. Quick Check:

    Favorable outcomes = 3C2 = 3; total outcomes = 5C2 = 10 → 3/10 ✅

Quick Variations

1. Balls ஐ with replacement எடுப்பது (independent events).

2. பல boxes அல்லது containers இலிருந்து எடுப்பது.

3. குறைந்தது ஒரு நிகழ்வு நடக்கும் probability சார்ந்த கேள்விகள்.

4. dice, cards, அல்லது urns ஆகியவற்றை இணைக்கும் multi-stage experiments.

Trick to Always Use

  • Step 1: நிகழ்வுகள் dependent அல்லது independent என்பதை முதலில் கண்டறியுங்கள்.
  • Step 2: “AND” வகை கேள்விகளுக்கு, தொடர்ச்சியான probability களை பெருக்குங்கள்.
  • Step 3: “OR” வகை கேள்விகள் அல்லது பல வழிகள் இருந்தால் probability களை கூட்டுங்கள்.
  • Step 4: ஒரே நேரத்தில் பல items தேர்வு செய்யும் போது combinations பயன்படுத்துங்கள்.

Summary

  • Complex probability situations இல் பல, பெரும்பாலும் dependent, நிகழ்வுகள் இடம்பெறும்.
  • “AND” நிகழ்வுகளுக்கு → probability களை பெருக்குங்கள்.
  • “OR” நிகழ்வுகளுக்கு → probability களை கூட்டுங்கள் (அவை mutually exclusive ஆக இருந்தால்).
  • பிரச்சினையில் replacement உள்ளதா அல்லது no replacement உள்ளதா என்பதை எப்போதும் கவனியுங்கள்.
  • ஒரே நேரத்தில் பல தேர்வுகள் இருந்தால் combinations பயன்படுத்துங்கள்.

Practice

(1/5)
1. A box contains 4 red and 3 blue balls. Two balls are drawn one after another without replacement. What is the probability that both are red?
easy
A. 2/7
B. 3/10
C. 2/5
D. 4/7

Solution

  1. Step 1: Probability of first red

    P(R₁) = 4/7.

  2. Step 2: Probability of second red given first red

    P(R₂ | R₁) = 3/6 = 1/2.

  3. Step 3: Multiply sequential probabilities

    P(both red) = (4/7) × (1/2) = 2/7.

  4. Final Answer:

    2/7 → Option A.

  5. Quick Check:

    Favourable combinations = C(4,2)=6, total = C(7,2)=21 → 6/21 = 2/7 ✅
Hint: For 'both same color' without replacement, multiply sequential probabilities or use combinations.
Common Mistakes: Using replacement probabilities like (4/7)×(4/7).
2. A bag has 5 white and 4 black balls. Two balls are drawn together. Find the probability that both are black.
easy
A. 2/9
B. 1/6
C. 1/5
D. 2/7

Solution

  1. Step 1: Total ways to choose 2 balls

    Total = C(9,2) = 36.

  2. Step 2: Favourable ways (both black)

    Favourable = C(4,2) = 6.

  3. Step 3: Probability

    P = 6 / 36 = 1/6.

  4. Final Answer:

    1/6 → Option B.

  5. Quick Check:

    6 favourable out of 36 total → 1/6 ✅
Hint: When order doesn't matter, use combinations: favourable ÷ total.
Common Mistakes: Multiplying sequential fractions without accounting for unordered draw.
3. Two fair dice are thrown together. What is the probability that the sum is 7 or 11?
easy
A. 1/4
B. 2/11
C. 2/9
D. 1/6

Solution

  1. Step 1: Total ordered outcomes

    6 × 6 = 36.

  2. Step 2: Count favourable outcomes

    Sum 7 → 6 outcomes; Sum 11 → 2 outcomes; Total favourable = 8.

  3. Step 3: Probability

    P = 8 / 36 = 2/9.

  4. Final Answer:

    2/9 → Option C.

  5. Quick Check:

    8 out of 36 simplifies to 2/9 ✅
Hint: Add counts for each target sum (mutually exclusive events), then divide by 36.
Common Mistakes: Counting unordered pairs or double-counting outcomes.
4. A box contains 3 red, 4 blue, and 5 green balls. Two balls are drawn one after another without replacement. What is the probability that one is red and the other is blue?
medium
A. 1/6
B. 3/11
C. 12/55
D. 2/11

Solution

  1. Step 1: Total balls and total pairs

    Total = 12 balls; total pairs = C(12,2) = 66.

  2. Step 2: Favourable pairs (1 red & 1 blue)

    Favourable = C(3,1) × C(4,1) = 3 × 4 = 12.

  3. Step 3: Probability

    P = 12 / 66 = 2/11.

  4. Final Answer:

    2/11 → Option D.

  5. Quick Check:

    12 favourable out of 66 total → 2/11 ✅
Hint: For two different colours, multiply choices for each and divide by total combinations.
Common Mistakes: Using sequential fractions incorrectly or forgetting combinations count.
5. A bag contains 6 red, 5 blue, and 4 green balls. Two balls are drawn at random. Find the probability that both balls are of the same colour.
medium
A. 31/105
B. 13/30
C. 19/45
D. 11/30

Solution

  1. Step 1: Total ways to choose 2

    Total = C(15,2) = 105.

  2. Step 2: Favourable ways (same colour)

    Red: C(6,2)=15; Blue: C(5,2)=10; Green: C(4,2)=6. Sum = 15 + 10 + 6 = 31.

  3. Step 3: Probability

    P = 31 / 105 (cannot simplify) = 31/105.

  4. Final Answer:

    31/105 → Option A.

  5. Quick Check:

    31 favourable out of 105 total → 31/105 ✅
Hint: Add combinations for each colour and divide by total combinations.
Common Mistakes: Attempting to combine probabilities incorrectly instead of using combinations.