0
0

Independent and Dependent Events

Introduction

probability-இல், events independent அல்லது dependent ஆக இருக்கலாம். எந்த வகை event என்று அறிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம்; ஏனெனில் அதைப் பொறுத்து probabilities-ஐ நேரடியாக பெருக்கலாமா அல்லது முன் நிகழ்ந்த outcome-ஐ வைத்து சரிசெய்ய வேண்டுமா என்பதைக் தீர்மானிக்கலாம்.

coin toss, cards draw, அல்லது replacement உடன்/இல்லாமல் objects தேர்வு செய்வது போன்ற பல events ஒன்றாக நிகழும் போது எப்படி handle செய்ய வேண்டும் என்பதை இந்த pattern உதவுகிறது.

Pattern: Independent and Dependent Events

Pattern

Independent events ஒன்றுக்கொன்று தாக்கம் செய்யாது; dependent events ஒன்றின் outcome மற்றொன்றை பாதிக்கும்.

Formulas:
Independent Events: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Dependent Events: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)

Step-by-Step Example

Question

(i) Two coins ஒன்றாக toss செய்யப்படுகின்றன. two heads கிடைக்கும் probability என்ன?
(ii) replacement இல்லாமல் deck-இலிருந்து two cards எடுக்கப்படுகின்றன. இரண்டும் Kings ஆக இருக்கும் probability என்ன?

Solution

  1. Part (i) - கணக்கிடுவதற்கு முன் independence-ஐ புரிந்துகொள்ளவும்

    Step 1: event type-ஐ அடையாளம் காண்க
    ஒவ்வொரு coin toss-உம் independent ஆகும். ஒரு toss-ல் Head வருவதற்கான probability = 1/2.

    Step 2: independent events-க்கு probabilities-ஐ பெருக்கவும்
    independent events என்பதால் probabilities-ஐ பெருக்கவும்: (1/2) × (1/2) = 1/4.

    Final Answer: two heads கிடைக்கும் probability = 1/4.

    Quick Check:
    HH என்பது total 4 outcomes-இல் 1 → 1/4 ✅

  2. Part (ii) - கணக்கிடுவதற்கு முன் dependence-ஐ புரிந்துகொள்ளவும்

    Step 1: முதல் event-ன் probability-ஐ கணக்கிடவும்
    Total cards = 52, Kings = 4. ஆகவே, P(1st King) = 4/52 = 1/13.

    Step 2: card remove ஆன பிறகு probability-ஐ update செய்யவும்
    ஒரு King remove ஆன பின், 51 cards-இல் 3 Kings மீதமிருக்கும் → P(2nd King | 1st King) = 3/51.

    Step 3: dependent events-க்கு probabilities-ஐ பெருக்கவும்
    dependent probabilities: (1/13) × (3/51) = 3 / 663 = 1/221.

    Final Answer: இரண்டும் Kings ஆக இருக்கும் probability = 1/221.

    Quick Check:
    இரண்டு Kings-க்கு combination method-ல் கிடைக்கும் பதிலுடன் பொருந்துகிறது → 1/221 ✅

Quick Variations

1. multiple coins toss செய்வது → independent events.

2. replacement இல்லாமல் cards draw செய்வது → dependent events.

3. replacement உடன் bag-இலிருந்து colored balls எடுப்பது → independent.

4. replacement இல்லாமல் எடுப்பது → dependent.

Trick to Always Use

  • Step 1: ஒரு event மற்றொன்றை பாதிக்கிறதா என்று பாருங்கள் - பாதித்தால் → dependent.
  • Step 2: independent events-க்கு → direct probabilities-ஐ பெருக்கவும்.
  • Step 3: dependent events-க்கு → adjusted conditional probability (P(B|A))-ஐ பயன்படுத்தி பெருக்கவும்.

Summary

Summary

Independent and Dependent Events pattern-இல்:

  • Independent → events ஒன்றுக்கொன்று பாதிப்பு இல்லை: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
  • Dependent → முதல் event, இரண்டாவதை பாதிக்கும்: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
  • With replacement = independent; Without replacement = dependent.
  • சரியான formula-ஐ பயன்படுத்துவதற்கு முன் எப்போதும் situation-ஐ ஆய்வு செய்யவும்.

Practice

(1/5)
1. Two coins are tossed simultaneously. What is the probability that both show heads?
easy
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/6

Solution

  1. Step 1: Identify total outcomes

    For two coins → total ordered outcomes = {HH, HT, TH, TT} = 4.

  2. Step 2: Identify favourable outcomes

    Favourable outcome for both heads = {HH} → 1.

  3. Step 3: Compute probability

    P(both heads) = favourable ÷ total = 1 ÷ 4 = 1/4.

  4. Final Answer:

    1/4 → Option C.

  5. Quick Check:

    Independent events: (1/2) × (1/2) = 1/4 ✅
Hint: Multiply probabilities of independent events (1/2 × 1/2 for coin tosses).
Common Mistakes: Assuming outcomes are not equally likely or forgetting to multiply probabilities.
2. A coin is tossed twice. What is the probability that the first toss is a Head and the second is a Tail?
easy
A. 1/4
B. 1/2
C. 1/3
D. 1/8

Solution

  1. Step 1: Recognise independence

    Each toss is independent; probabilities don't change between tosses.

  2. Step 2: Individual probabilities

    P(Head) = 1/2, P(Tail) = 1/2.

  3. Step 3: Multiply

    P(Head then Tail) = (1/2) × (1/2) = 1/4.

  4. Final Answer:

    1/4 → Option A.

  5. Quick Check:

    Out of {HH, HT, TH, TT}, HT is one → 1/4 ✅
Hint: For ordered independent events, multiply single-event probabilities.
Common Mistakes: Treating independent events as dependent and changing probabilities incorrectly.
3. A card is drawn from a deck, replaced, and another card is drawn. What is the probability that both are Aces?
easy
A. 1/169
B. 1/221
C. 1/13
D. 1/26

Solution

  1. Step 1: Recognise independence (replacement)

    Replacement makes the two draws independent; probabilities stay the same.

  2. Step 2: Single-draw probability

    P(Ace on one draw) = 4/52 = 1/13.

  3. Step 3: Multiply

    P(both Aces) = (1/13) × (1/13) = 1/169.

  4. Final Answer:

    1/169 → Option A.

  5. Quick Check:

    Replacement keeps probability constant → (1/13)² = 1/169 ✅
Hint: With replacement → square the single-draw probability for two identical events.
Common Mistakes: Using 52 for second draw (no replacement) or forgetting independence.
4. Two cards are drawn successively from a deck without replacement. What is the probability that both are Queens?
medium
A. 1/169
B. 1/1326
C. 1/325
D. 1/221

Solution

  1. Step 1: Recognise dependence

    Without replacement → the second draw depends on the first.

  2. Step 2: First draw probability

    P(1st Queen) = 4/52 = 1/13.

  3. Step 3: Conditional second draw

    After drawing one Queen, remaining Queens = 3 and remaining cards = 51 → P(2nd Queen | 1st Queen) = 3/51.

  4. Step 4: Multiply

    P(both Queens) = (1/13) × (3/51) = 3/663 = 1/221.

  5. Final Answer:

    1/221 → Option D.

  6. Quick Check:

    Equivalent to 4C2 ÷ 52C2 = 6/1326 = 1/221 ✅
Hint: For without replacement, compute P(A) × P(B|A) stepwise.
Common Mistakes: Using same denominator for both draws (ignoring reduced deck).
5. A bag contains 5 red and 3 blue balls. Two balls are drawn one after another without replacement. What is the probability that both are red?
medium
A. 1/3
B. 5/14
C. 5/7
D. 10/21

Solution

  1. Step 1: Recognise dependence

    No replacement → second draw probability changes based on first draw.

  2. Step 2: First draw probability

    P(1st red) = 5/8.

  3. Step 3: Conditional second draw

    If first was red, remaining red = 4 and total = 7 → P(2nd red | 1st red) = 4/7.

  4. Step 4: Multiply

    P(both red) = (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14.

  5. Final Answer:

    5/14 → Option B.

  6. Quick Check:

    Adjust denominator after first draw → 5/8 × 4/7 = 5/14 ✅
Hint: Reduce the total after each draw and multiply conditional probabilities.
Common Mistakes: Treating without replacement as with replacement (keeping denominator fixed).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes