0
0

Conditional Probability

Introduction

Conditional Probability என்பது, ஒரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நடந்துள்ளது என்ற நிபந்தனையின் கீழ், மற்றொரு நிகழ்வு நடைபெறும் வாய்ப்பை அளவிடுகிறது. இது Probabilityயில் மிக முக்கியமான கருத்துகளில் ஒன்று ஆகும் மற்றும் வானிலை முன்னறிவிப்பு, தரக் கட்டுப்பாடு, ஆபத்து பகுப்பாய்வு போன்ற நிஜ வாழ்க்கை சூழல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முக்கிய கருத்து என்னவென்றால், கட்டுப்படுத்தப்பட்ட sample space மீது கவனம் செலுத்துவது - முதல் நிகழ்வு நடந்துள்ள முடிவுகள் மட்டுமே இரண்டாவது நிகழ்வை மதிப்பீடு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Pattern: Conditional Probability

Pattern

நிகழ்வு A நடந்துள்ளது என்ற நிலையில், நிகழ்வு B நடைபெறும் வாய்ப்பு:

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
இந்த formula, ஒரு தொடர்புடைய நிகழ்வு ஏற்கனவே நடந்துள்ளது என்ற நிபந்தனையின் கீழ், மற்றொரு நிகழ்வின் வாய்ப்பை கண்டறிய உதவுகிறது.

Step-by-Step Example

Question

standard deck ஆகும் 52 அட்டைகளில் இருந்து ஒரு அட்டை எடுக்கப்படுகிறது. அது King ஆக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு என்ன, அது ஒரு face card என்று கொடுக்கப்பட்ட நிலையில்?

Solution

  1. Step 1: அறியப்பட்ட தகவலை கண்டறிதல்

    மொத்த அட்டைகள் = 52. Face cards என்பவை {J, Q, K} - 4 suits இலிருந்து → மொத்தம் 12 face cards.

  2. Step 2: சாதகமான நிகழ்வுகளை கண்டறிதல்

    face cards இல், Kings = 4 (ஒவ்வொரு suit இலும் ஒன்று).

  3. Step 3: conditional probability formula பயன்படுத்துதல்

    P(King | Face card) = P(King ∩ Face card) ÷ P(Face card) = (4/52) ÷ (12/52) = 4/12 = 1/3.

  4. Final Answer:

    1/3.

  5. Quick Check:

    12 face cards இல், 4 Kings → 4/12 = 1/3 ✅

Quick Variations

1. அட்டை ஒரு face card எனக் கொடுக்கப்பட்ட நிலையில், அது சிவப்பு அட்டை ஆகும் வாய்ப்பு.

2. ஒரு மாணவர் Science தேர்ச்சி பெற்றுள்ளார் என்ற நிலையில், Math தேர்ச்சி பெறும் வாய்ப்பு.

3. ஒரு குறிப்பிட்ட machine இலிருந்து தேர்வு செய்யப்பட்டது என்ற நிலையில், ஒரு defective item ஆகும் வாய்ப்பு.

Trick to Always Use

  • Step 1: நிபந்தனை உண்மையாக இருக்கும் sample space ஐ மட்டும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.
  • Step 2: P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) என்ற formula ஐ பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 3: “given that” என்பதைக் கவனியுங்கள் - அதுவே உங்கள் புதிய denominator.

Summary

Summary

Conditional Probability pattern இல்:

  • Formula: P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
  • “given” நிகழ்வு (A) புதிய sample space ஆக மாறுகிறது.
  • நிகழ்வுகள் தொடர்புடையவை என்றால் பயன்படுத்தப்படுகிறது; அவை கட்டாயமாக independent ஆக இருக்க வேண்டியதில்லை.
  • P(A) ≠ 0 என்பதை எப்போதும் சரிபார்க்கவும் (நடக்க முடியாத நிகழ்வின் மீது condition போட முடியாது).

Practice

(1/5)
1. A single card is drawn from a well-shuffled 52-card deck. Given that the card is a Heart, what is the probability that it is an Ace?
easy
A. 1/13
B. 1/4
C. 1/26
D. 1/52

Solution

  1. Step 1: Restrict the sample space

    If the card is a Heart, the sample space is the 13 Heart cards.

  2. Step 2: Count favourable outcomes

    There is exactly 1 Ace of Hearts among the 13 Hearts.

  3. Step 3: Apply conditional probability

    P(Ace | Heart) = 1 / 13 = 1/13.

  4. Final Answer:

    1/13 → Option A.

  5. Quick Check:

    Out of 13 Hearts only one is an Ace → 1/13 ✅
Hint: When given a suit, use only that suit's 13 cards as the denominator.
Common Mistakes: Using 52 as denominator instead of the conditional 13.
2. Two fair dice are rolled. Given that at least one die shows 4, what is the probability that the sum of the dice is 7?
easy
A. 2/11
B. 1/6
C. 1/5
D. 3/11

Solution

  1. Step 1: Build the conditional sample space

    Ordered outcomes with at least one 4: (4,1..6) and (1..6,4) minus (4,4) counted twice → 6 + 6 - 1 = 11 outcomes.

  2. Step 2: Find favourable outcomes

    Ordered pairs that sum to 7 and include a 4 are (3,4) and (4,3) → 2 favourable outcomes.

  3. Step 3: Compute conditional probability

    P(sum = 7 | at least one 4) = 2 / 11 = 2/11.

  4. Final Answer:

    2/11 → Option A.

  5. Quick Check:

    Total conditional outcomes = 11 and only two give sum 7 → 2/11 ✅
Hint: List ordered pairs for the condition first, then count favourable ones.
Common Mistakes: Treating unordered pairs or forgetting to subtract the double-counted (4,4).
3. In a class, 60% of students passed Mathematics, 50% passed Science, and 30% passed both subjects. Given that a student passed Mathematics, what is the probability that they also passed Science?
easy
A. 1/3
B. 1/2
C. 3/5
D. 2/3

Solution

  1. Step 1: Identify given probabilities

    P(Math) = 0.60, P(Math ∩ Science) = 0.30.

  2. Step 2: Use conditional formula

    P(Science | Math) = P(Math ∩ Science) / P(Math) = 0.30 / 0.60 = 0.5.

  3. Final Answer:

    1/2 → Option B.

  4. Quick Check:

    Half of the Math-passers also passed Science since 30% out of 60% = 1/2 ✅
Hint: Divide the intersection probability by the given event's probability.
Common Mistakes: Using P(Science) instead of P(Math ∩ Science) in the numerator.
4. Two cards are drawn successively from a well-shuffled 52-card deck without replacement. Given that the first card drawn is an Ace, what is the probability that the second card is also an Ace?
medium
A. 1/13
B. 1/17
C. 3/51
D. 1/52

Solution

  1. Step 1: Recognise the condition

    The first card is known to be an Ace, so one Ace has been removed from the deck.

  2. Step 2: Count remaining favourable and total cards

    Remaining Aces = 3, remaining cards = 51 → P = 3/51.

  3. Step 3: Simplify (optional)

    3/51 simplifies to 1/17, but the conditional probability directly is 3/51.

  4. Final Answer:

    3/51 → Option C.

  5. Quick Check:

    After one Ace is drawn there are 3 Aces left out of 51 cards → 3/51 ✅
Hint: After removing a known card, update counts for the second draw: favourable/remaining total.
Common Mistakes: Keeping denominator 52 (forgetting card was not replaced).
5. Box A contains 3 red and 2 blue balls. Box B contains 1 red and 4 blue balls. A box is chosen at random and one ball is drawn; it is red. What is the probability that the ball was drawn from Box A?
medium
A. 3/5
B. 1/3
C. 1/4
D. 3/4

Solution

  1. Step 1: Write known probabilities

    P(A) = 1/2, P(B) = 1/2. P(red | A) = 3/5. P(red | B) = 1/5.

  2. Step 2: Use Bayes' rule

    P(A | red) = P(red | A)P(A) / [P(red | A)P(A) + P(red | B)P(B)].

  3. Step 3: Plug in numbers

    = (3/5 × 1/2) / (3/5 × 1/2 + 1/5 × 1/2) = (3/10) / (3/10 + 1/10) = (3/10) / (4/10) = 3/4.

  4. Final Answer:

    3/4 → Option D.

  5. Quick Check:

    Box A is more likely to produce a red (3/5 vs 1/5), so after seeing red the posterior favors A → 3/4 ✅
Hint: Use Bayes: posterior ∝ prior × likelihood, then normalize.
Common Mistakes: Forgetting to weight by the prior probability of choosing each box.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes